關(guān)注核心素養(yǎng)，立足全面發(fā)展
——以“微專(zhuān)題探究：看似無(wú)圓卻有圓”為例

☉山東省淄博市淄川區(qū)楊寨中學(xué) 劉 慧

☉山東省淄博市淄川區(qū)楊寨中學(xué) 王 廷

一、引言

2014年3月30日，教育部在《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中提出“發(fā)展核心素養(yǎng)體系”.從此，一個(gè)嶄新的名詞“核心素養(yǎng)”進(jìn)入了大眾視野，并引起了廣泛關(guān)注.

2016年9月13日，《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式發(fā)布，明確指出中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會(huì)參與3個(gè)方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新等六大素養(yǎng)，具體細(xì)化為18個(gè)基本要點(diǎn).至此，由課題組歷時(shí)3年完成的核心素養(yǎng)體系終于完成，也為廣大教師今后的教學(xué)實(shí)踐指明了方向.

在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，如何關(guān)注核心素養(yǎng)，從而培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展，是每一位教師面臨的新課題.下面，筆者以“微專(zhuān)題探究：看似無(wú)圓卻有圓”為例，談?wù)剬?duì)此的實(shí)踐探索及思考.

二、教學(xué)實(shí)踐

1.課前熱身，引入課題

熱身題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=20°，∠CAD=80°，則∠BDC=_____，∠DBC=_____.

圖1

圖2

教學(xué)說(shuō)明：本題是有關(guān)輔助圓的一道經(jīng)典題.此題可以用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)來(lái)解決，但比較煩瑣；也可以添加輔助圓（如圖2）來(lái)解決，會(huì)簡(jiǎn)單許多.學(xué)生先利用課前時(shí)間完成此題.課堂開(kāi)始，教師引用美國(guó)數(shù)學(xué)家維納所說(shuō)的“鉆研數(shù)學(xué)，這是一種需要全部靈活性和刻苦耐勞的智力體操”進(jìn)行引入，自然過(guò)渡到熱身題.教師選取不同的學(xué)生展示自己的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生分析、對(duì)比不同的方法，從而引出本節(jié)課的課題“微專(zhuān)題探究：看似無(wú)圓卻有圓”.

2.模型提煉，拓展思維

（1）模型一：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng).

問(wèn)題：（1）通過(guò)熱身題，思考：題目中出現(xiàn)什么條件時(shí)可以添加輔助圓？依據(jù)是什么？

（2）通過(guò)熱身題，可以得出添加輔助圓的哪種模型？

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生積極思考，發(fā)現(xiàn)題目的特點(diǎn)，總結(jié)添加輔助圓的基本模型：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，并理解這種模型的基本依據(jù).這里較多的學(xué)生認(rèn)為添加輔助圓的依據(jù)是“圓的半徑相等”，這其實(shí)并不準(zhǔn)確，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)該是圓的靜態(tài)定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫作圓.

（2）模型二：四邊形對(duì)角互補(bǔ).

例1 如圖3，Rt△ABC和Rt△ABD的斜邊重合，且AC=8，BC=6，∠BAD=45°，連接兩個(gè)直角頂點(diǎn)C、D，則線段CD的長(zhǎng)度為_(kāi)______.

問(wèn)題：（1）當(dāng)題目中出現(xiàn)什么條件時(shí)，可以添加輔助圓呢？依據(jù)是什么？

圖3

圖4

（2）更一般地，如果∠ACB和∠ADB互補(bǔ)（如圖4），那么A、B、C、D四點(diǎn)還在同一圓上嗎？

教學(xué)說(shuō)明：例1是由一道習(xí)題改編而成的，原題圖中是有圓的，筆者特意將此題中的圓隱去，旨在讓學(xué)生自己分析題目特點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)其中隱藏的圓.學(xué)生根據(jù)“兩個(gè)直角三角形有公共斜邊”這一特點(diǎn)，不難添加輔助圓，但對(duì)于添加的依據(jù)依然不甚明了.教師需引導(dǎo)學(xué)生把此問(wèn)題轉(zhuǎn)化成模型一，即找到公共斜邊的中點(diǎn)O，連接CO和DO（如圖5），根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AO=BO=CO=DO，再利用模型一的結(jié)論即可說(shuō)明添加輔助圓的原理.添加了輔助圓之后，這個(gè)例題也就不難解決了.接下來(lái)教師追問(wèn)問(wèn)題（2），對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生基本能猜想到結(jié)論，但原理依然不清楚，很多學(xué)生認(rèn)為是“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”，這也是不準(zhǔn)確的.這個(gè)結(jié)論的證明可以用反證法.由于這個(gè)方法初中階段涉及較少，學(xué)生比較陌生，且不是中考考查內(nèi)容的重點(diǎn)，因此，筆者在這里采用了微課教學(xué)的形式，把證明過(guò)程錄制成了一個(gè)微課視頻，一方面，可以減輕課堂容量的壓力，另一方面，可以進(jìn)行資源共享，讓學(xué)生課下拓展學(xué)習(xí).通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題，可以得出第二種添加輔助圓的基本模型：四邊形對(duì)角互補(bǔ).

（3）模型三：同底同側(cè)張等角.

問(wèn)題：（1）如圖6，如果把圖5中的△ABD翻折到上方，與△ABC在AB的同側(cè)，那么A、B、C、D四點(diǎn)還共圓嗎？

（2）如圖7，如果∠ACB=∠ADB=α，那么A、B、C、D四點(diǎn)還共圓嗎？你能得到更一般的結(jié)論嗎？

教學(xué)說(shuō)明：這兩個(gè)問(wèn)題是在模型二的基礎(chǔ)上，借助軸對(duì)稱變換及類(lèi)比的方法進(jìn)行拓展引申，從而得到添加輔助圓的第三種基本模型：同底同側(cè)張等角.有了前面模型二的探索，學(xué)生不難得到結(jié)論，且對(duì)于輔助圓的添加依據(jù)也會(huì)通過(guò)類(lèi)比輕松獲得.

圖5

圖6

圖7

圖8

（4）模型四：動(dòng)點(diǎn)定角度對(duì)定線段.

例2如圖8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____.

拓展：如果∠APB=α（α是定值），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡又是什么呢？

教學(xué)說(shuō)明：這個(gè)例題是動(dòng)點(diǎn)求最值的問(wèn)題.對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生往往不能結(jié)合條件找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了幫助學(xué)生克服這個(gè)難點(diǎn)，筆者借助幾何畫(huà)板來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示.通過(guò)對(duì)條件的分析，可以發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P始終滿足∠APB=90°，借助幾何畫(huà)板可以清晰觀察到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓?。ㄈ鐖D9），于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了“圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最小距離”問(wèn)題，例題自然就可以解決了.接下來(lái)筆者追問(wèn)拓展問(wèn)題，有了前面模型二和模型三的探索，結(jié)合幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生會(huì)得到更一般的結(jié)論，即：當(dāng)α是直角時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是除點(diǎn)A和點(diǎn)B外的圓（如圖10）；當(dāng)α是銳角時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是優(yōu)?。ㄈ鐖D11）；當(dāng)α是鈍角時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是劣?。ㄈ鐖D12）.從而，得出添加輔助圓的第四種基本模型：動(dòng)點(diǎn)定角度對(duì)定線段.

圖9

圖10

圖11

圖12

3.模型總結(jié)，凝練精華

通過(guò)之前的探究，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下：我們得到了哪些輔助圓的模型呢？請(qǐng)同學(xué)們把基本圖形畫(huà)出來(lái).

教學(xué)說(shuō)明：學(xué)生獨(dú)立畫(huà)出輔助圓模型的基本圖，同時(shí)學(xué)生代表上臺(tái)板演.通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)前面零散的模型進(jìn)行系統(tǒng)整理.部分學(xué)生可能畫(huà)得不全面，通過(guò)組內(nèi)交流共享，可以進(jìn)一步補(bǔ)充完善，接下來(lái)師生共同總結(jié)，形成完整的知識(shí)鏈.

4.模型應(yīng)用，體驗(yàn)成功

練習(xí)1：如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E 是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是______.

練習(xí)2：如圖14，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，M為AB邊的中點(diǎn)，連接ME、MD、ED.求證：

圖13

（1）△MED為等腰三角形；

（2）∠EMD=2∠DAC.

圖14

圖15

練習(xí)3：（選做）如圖15，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_______.

教學(xué)說(shuō)明：練習(xí)1是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)此題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)輔助圓在解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)的作用.學(xué)生在展示此題時(shí)結(jié)合了幾何畫(huà)板，可以更直觀地觀察到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.練習(xí)2是對(duì)第三種模型的應(yīng)用，通過(guò)此題來(lái)彌補(bǔ)該模型沒(méi)有例題對(duì)應(yīng)的缺陷，同時(shí)通過(guò)學(xué)生板書(shū)，規(guī)范學(xué)生的解答過(guò)程.練習(xí)3對(duì)應(yīng)最后一種模型的一般情況，難度稍大，供學(xué)有余力的學(xué)生選做，體現(xiàn)分層教學(xué).

5.總結(jié)收獲，感悟升華

師：同學(xué)們，這節(jié)課有什么收獲呢？

教學(xué)說(shuō)明：學(xué)生自由發(fā)言，談?wù)勼w會(huì)和收獲，把學(xué)到的知識(shí)、方法、思想進(jìn)行升華提煉.這一環(huán)節(jié)，學(xué)生往往停留在對(duì)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極感悟本節(jié)課在數(shù)學(xué)方法和思想上的收獲并進(jìn)行合理表達(dá).

6.教師寄語(yǔ)，師生共情

教師寄語(yǔ)：只要做到圖中無(wú)圓，心中有圓，你就能成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有“圓”人！祝同學(xué)們中考成功！

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)教師寄語(yǔ)，讓學(xué)生在語(yǔ)言上感受數(shù)學(xué)的魅力，同時(shí)對(duì)學(xué)生即將進(jìn)行的中考表示祝福，與學(xué)生產(chǎn)生共情，從而激勵(lì)學(xué)生為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)繼續(xù)努力.

三、核心素養(yǎng)分析

筆者通過(guò)上述課堂教學(xué)實(shí)踐，力求讓學(xué)生在核心素養(yǎng)方面有一定的發(fā)展.下面筆者結(jié)合具體的實(shí)踐過(guò)程，對(duì)可以培養(yǎng)學(xué)生哪些核心素養(yǎng)做進(jìn)一步的分析.

在人文底蘊(yùn)方面，筆者通過(guò)一開(kāi)始的名人名言及課堂尾聲的教師寄語(yǔ)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的人文積淀和人文情懷有一定的感性體驗(yàn).另外，在探究模型三時(shí)，筆者運(yùn)用了軸對(duì)稱的動(dòng)態(tài)變化，讓學(xué)生感受到了幾何圖形的變化之美，有利于培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣.

在科學(xué)精神方面，通過(guò)模型提煉環(huán)節(jié)，讓學(xué)生積極探索添加輔助圓的幾種常見(jiàn)模型，從而培養(yǎng)了學(xué)生勇于探究的科學(xué)素養(yǎng).同時(shí)，在探究的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從形象到抽象的過(guò)程，從而有效提升了理性思維的能力.在探尋添加輔助圓的依據(jù)時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了不少問(wèn)題，通過(guò)教師的引導(dǎo)和學(xué)生的討論，最終明確了真正的依據(jù)，在此過(guò)程中可以鍛煉學(xué)生的批判質(zhì)疑精神.

在學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)方面，通過(guò)課前熱身環(huán)節(jié)，讓學(xué)生充分利用課前的點(diǎn)滴時(shí)間進(jìn)行課前準(zhǔn)備，從而培養(yǎng)了學(xué)生樂(lè)學(xué)善學(xué)的素養(yǎng).在模型總結(jié)環(huán)節(jié)中，學(xué)生自己畫(huà)輔助圓的基本圖形，然后組內(nèi)共享訂正，這樣可以引導(dǎo)學(xué)生重視總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法和技能，從而培養(yǎng)了學(xué)生勤于總結(jié)、勤于反思的數(shù)學(xué)素養(yǎng).另外，在做練習(xí)1時(shí)，個(gè)別學(xué)生看到動(dòng)點(diǎn)始終是直角頂點(diǎn)，誤以為是第四種模型，這是一種非常典型的錯(cuò)誤，經(jīng)過(guò)師生的共同討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了此題中雖然動(dòng)點(diǎn)的角度是定值，但所對(duì)的線段不是定值，因此不屬于第四種模型.通過(guò)對(duì)易混知識(shí)點(diǎn)的區(qū)別和辨析，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生勤于反思的科學(xué)素養(yǎng).

在健康生活方面，學(xué)生在課前熱身、小組合作探究和獨(dú)立解決習(xí)題等環(huán)節(jié)中都發(fā)展了自我管理的能力素養(yǎng).

在責(zé)任擔(dān)當(dāng)方面，通過(guò)美國(guó)數(shù)學(xué)家維納的名言，增加了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的國(guó)際理解.

在實(shí)踐創(chuàng)新方面，學(xué)生在模型應(yīng)用環(huán)節(jié)中，能積極運(yùn)用所學(xué)的基本模型來(lái)分析題目，構(gòu)造出輔助圓從而解決問(wèn)題，有效提升了問(wèn)題解決的能力.同時(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)行展示的學(xué)生能結(jié)合幾何畫(huà)板來(lái)演示動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，鍛煉了對(duì)技術(shù)運(yùn)用的能力.

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)知識(shí)是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的土壤，而數(shù)學(xué)課程與教學(xué)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.基于核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)需要教師關(guān)注核心素養(yǎng)體系，以培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展為落腳點(diǎn)，將核心素養(yǎng)的理論知識(shí)切實(shí)貫徹到課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中，這需要每一位教師在教學(xué)過(guò)程中不斷探索和實(shí)踐.