額外資源按需分配方法研究

王 恰

(中國社會科學院數量經濟與技術經濟研究所，北京 100732)

1 引言

資源分配問題是一類廣泛且十分重要的問題，屬于數學、經濟學和管理學的交叉領域。近年來，伴隨信息技術的發(fā)展，涌現(xiàn)出計算資源分配、存儲資源分配、帶寬分配、緩存區(qū)分配等一類新的分配問題。在這些問題中，硬件和軟件資源是不僅有限的，還是實時變動的，隨時可能需要增加一定數量的額外資源，或者需要縮減一定數量的資源占用。假設這些資源同時提供給n個用戶或單位(以下稱作決策單元，簡記為DMU)共同使用。這n個決策單元具有可比性，他們通過占用并消耗m種類型的資源(或稱“投入”)，獲得s種類型的經濟產出(或稱“產出”)。如果把這n個決策單元看作是一個系統(tǒng)，那么根據系統(tǒng)資源占用數量的實時增減需求，決策者應當如何在決策單元之間分配額外的資源投入，或者分攤既定的縮減任務？

為了加以區(qū)別，本文稱第一類問題為額外資源分配問題，該問題最早提出于文獻Wei Quanling等[1]的最后一段。第二類問題為縮減任務分攤問題。由于資源的稀缺性，系統(tǒng)擁有的資源數量可能無法滿足決策單元的全部需求。當系統(tǒng)即將獲得一定數量的額外資源時，每一個決策單元都希望分配到盡可能多的額外資源，那么如何分配才能使額外資源發(fā)揮最大價值？或者，當系統(tǒng)即將縮減一定數量的資源占用時，每一個決策單元潛在的動機是希望承擔盡可能少的縮減任務。如果希望分攤結果對于整個系統(tǒng)來說是最有益的，那么應當如何把資源縮減任務分攤給全部或者部分決策單元？

數據包絡分析(DEA)方法是一種以數據為導向的、評價決策單元相對有效性的數學工具，該方法的突出特點是它尤其適應于決策單元具有多個投入和多個產出的復雜情況(魏權齡[2])。在資源分配問題上，DEA方法也具有十分廣泛的應用。Emrouznejad和Yang Guoliang[3]對SCOPUS數據庫中涉及DEA方法的文獻進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)“資源分配”是DEA領域文獻常用的50個關鍵詞之一，截止2016年年底以“資源分配”作為關鍵詞的DEA文獻數量達到176篇。

在現(xiàn)有研究中，分配原則通常體現(xiàn)在分配模型的目標函數上。根據目標函數的不同，基于DEA方法的資源分配模型大致可以分為兩類。一類分配模型從最大化系統(tǒng)整體效率或者最大化系統(tǒng)總產出的角度，進行資源分配。Golany和Tamir[4]以最大化所有決策單元的產出作為目標函數，建立資源分配模型。Athanassopoulos[5]結合多目標規(guī)劃和DEA方法提出了一種Go-DEA模型，并將該模型應用于政府資金分配。F?re等[6]指出產出導向模型比投入導向模型更適用于解決資源分配問題，所以他們基于DEA產出導向模型建立分配模型。Yan Hong等[7]在保持決策單元效率不變的前提下，基于逆DEA模型建立資源分配模型。Beasley[8]以最大化平均效率為目標，建立資源分配模型。Korhonen和Syrjanen[9]在投入和產出以等比例變動的前提下，以系統(tǒng)的總產出實現(xiàn)最大為目標函數，建立資源分配模型。Asmild等[10]從使系統(tǒng)整體效率得到提高的角度考慮，提出一種只分配給無效決策單元的分配模型。Bi Gongbing等[11]的分配模型則從每一個決策單元的角度考慮，允許每一個決策單元在分配后發(fā)生投入規(guī)模的增減變動。Nasrabadi等[12]將提出系統(tǒng)表現(xiàn)的概念，并將其定義為分配資源后決策單元效率的凸組合，他們以系統(tǒng)表現(xiàn)最優(yōu)為目標函數，建立資源分配模型。Cherchye等[13]將系統(tǒng)整體效率分解為所有決策單元的產出效率，并據此分解結果進行資源分配。Fang Lei[14]對非有效決策單元設置某一程度的效率進步，以使系統(tǒng)整體效率得到改進為目標函數，建立資源分配模型。

另一類分配模型是從公平性、折中以及決策單元交叉效率的角度出發(fā)，進行資源分配。Mandell[15]指出分配模型需考慮公平性和有效性。Golany和Tamir[16]進一步指出分配模型應同時考慮公平、有效和效率，他們稱之為3E原則。為了實現(xiàn)公平分配，Athanassopoulos[17]提出一種兩階段的TARBA模型：第一階段采用DEA模型的線性形式為每個決策單元找到一組最佳的權重，第二階段依據這一組權重進行分配。Karsu和Morton[18]從分配對象相互制約平衡的角度，建立資源分配模型。李曉亞和崔晉川[19]認為中央決策者在進行資源分配時需要考慮生產效率和規(guī)?；貓髢蓚€因素，他們基于決策單元的折中權，建立資源分配模型。Du Juan等[20]基于決策單元的交叉效率，建立資源分配模型。崔玉泉等[21]基于決策單元的隨機加權交叉效率和規(guī)模彈性，建立資源分配模型。

以上研究成果對于解決額外資源問題提供了很好的借鑒，但仍然存在以下不足。第一，現(xiàn)有的模型和方法大多從系統(tǒng)最優(yōu)的角度出發(fā)，對系統(tǒng)擁有的全部資源進行重新分配，優(yōu)化模型給出的分配結果可能會造成決策單元的資源占有數量發(fā)生大幅度的增減調整。比如，那些資源利用效率較低的決策單元可能在分配后反而失去了一定數量的投入資源，甚至是不再占有任何資源?；蛘?，那些規(guī)模報酬遞減的決策單元需要讓出一部分原本占有的投入資源。第二，在多個投入多個產出的情況下，優(yōu)化模型給出的分配結果甚至還可能使決策單元某種投入對應的松弛變量由零變?yōu)榉橇?，造成決策單元由原本的強技術有效變?yōu)槿跫夹g有效(Zhang Meng等[22])。這意味著存在這樣一種分配結果：某一種額外的投入資源已經全部分配完，而其它額外投入資源尚未分配完。倘若繼續(xù)分配，那么系統(tǒng)總產出將不再增加。那么，應如何辨識出額外資源結構上的這種冗余，及時地停止分配？第三，現(xiàn)有研究對于額外資源數量幾乎沒有任何的限制。由于規(guī)模報酬效應的存在，額外資源并非越多越好，存在某些(可能不止一個)臨界值，當額外資源數量超過這些臨界值的時候，整個系統(tǒng)的全部產出將不再增加。那么，應如何辨識出額外資源規(guī)模上的這種冗余？系統(tǒng)總產出增加的極限是多少？這些問題仍然值得進一步探討。第四，現(xiàn)有方法和模型對于決策單元技術效率和規(guī)模報酬的考慮并不充分。效率反映了決策單元的資源利用能力，效率越高(低)說明單位資源投入獲得的產出越多(少)。規(guī)模報酬反映了決策單元的投入規(guī)模有效性，規(guī)模報酬遞增(遞減)說明投入規(guī)模的不足(冗余)。Wei Quanling等[1]認為額外資源分配應充分考慮決策單元的技術效率和規(guī)模報酬，但是他們尚未建立分配模型。崔玉泉等[21]的分配模型以交叉效率與規(guī)模彈性作為分配權重，但是由于交叉效率綜合了決策單元的自評與他評，是多種評價結果之間的平均結果，所以該模型得到的是一種折中的、均衡的分配結果。那么，從額外資源帶來最大化產出增加的角度，分配模型應如何綜合考慮決策單元的技術效率和規(guī)模報酬？

另一方面，關于縮減任務分攤問題，現(xiàn)有研究對此類問題鮮有深入考慮。任務分攤問題與DEA領域中的公共成本分攤問題(Cook和Kress[23]、Cook和Zhu[24]、Beasley[8]、Du Juan等[20]、Lin Ruiyue[25]、Li Yongjun等[26]、雷西洋等[27]、張冉等[28])存在某些相似之處，但也有所不同。公共成本分攤問題考慮的是，如何把建設公共平臺所需的公共成本分攤給每一個決策單元，并作為這個決策單元額外增加的投入[20]。例如，把某一企業(yè)的廣告費用支出分攤給每一個零售商[23]。在這兩類問題中，決策單元的動機是相同的，每一個決策單元希望自己承擔的縮減任務或者公共成本越少越好。不同的是，公共成本分攤問題隱含的假設是，系統(tǒng)整體擁有的投入資源將有所增加，這部分增加的投入將用于公共成本支出；而任務分攤問題隱含的假設則是，系統(tǒng)整體擁有的投入資源將有所減少。盡管一些資源分配模型(例如，Golany和Tamir[4]、Bi Gongbing等[11]、Yan Hong等[7])也可以用來解決任務分攤問題，但是這些模型得到的分配結果屬于資源的重新配置，這很可能使系統(tǒng)整體的資源利用率得到提高，造成系統(tǒng)的總產出在分攤后反而有所增加。

本文認為額外資源分配和縮減任務分攤應按照系統(tǒng)資源占用數量的實時增減需求進行“按需分配”，即：對系統(tǒng)需要額外增加或減少的那一部分資源進行配置，并非對系統(tǒng)可占用全部資源進行重新配置。

其次，從充分利用額外資源的角度，額外資源分配應使系統(tǒng)的總產出增加達到最大。當額外資源數量不足以滿足系統(tǒng)內決策單元的全部需求時，分配結果應使有限的額外資源發(fā)揮最大的價值，即分配應實現(xiàn)產出增量的最大化。當額外資源投入在規(guī)模上、或者在結構上存在冗余時，額外資源分配應適可而止，即：在額外資源投入不再帶來產出增加的時候及時地停止分配，而不必將全部額外資源分配出去。另一方面，解決任務分攤問題時應使系統(tǒng)的總產出減少實現(xiàn)最小。并且，一旦存在一種投入資源的縮減任務超過系統(tǒng)當前的擁有數量，分攤應及時地停止。

再有，不論是分配還是分攤，都應考慮到系統(tǒng)內每一個決策單元當前的資源占用情況。在額外資源分配問題中，系統(tǒng)內任何一個決策單元所占有的資源數量不應因此而被削減，即：決策單元的資源占有數量要么保持不變，要么有所增加。在任務分攤問題中，系統(tǒng)內任何一個決策單元也不應因此而擁有更多的資源，即：決策單元的資源占有數量要么保持不變，要么有所縮減。

最后，選擇哪些決策單元進行分配或分攤，這取決于在增減資源投入后決策單元產出的變動情況。對于技術有效的決策單元而言，決策者能夠依據規(guī)?？勺兩a前沿面進行判斷。那么，對于非技術有效的決策單元而言，應該如何對他們的投入和產出變動關系進行估計？佘冰玲和崔晉川[29]在“一個投入一個產出”情況下，綜合決策單元的技術效率與規(guī)模彈性建立發(fā)展曲線。發(fā)展曲線概念的提出，對于估計決策單元(特別是非技術有效的決策單元)在投入規(guī)模擴大或縮小后產出數量的變動情況，提供了一種新的思路。那么，能否將其推廣至“多個投入多個產出”情況？

綜合以上，本文在“多個投入多個產出”情況下提出一種額外資源按需分配方法。首先，綜合決策單元的技術效率與其投影點的規(guī)模彈性構建發(fā)展曲線，并由決策單元的發(fā)展曲線獲知其投入變動與產出變動的對應關系。然后，把額外資源分成若干等份，每一等份盡可能的小，把每一份額外資源分配給產出增加最大的那些決策單元；重復這一過程，直至分配完全部的額外資源，或者任意一個決策單元的產出都不再增加。最后，把決策單元在每一次分配過程中獲得的資源進行累加，得到這個決策單元最終的分配結果。本文稱這種分配過程為按需分配，因為它能夠按照系統(tǒng)實際的分配需求進行分配，分配結果不會縮減任意一個決策單元當前占有的資源數量，并且在發(fā)現(xiàn)額外資源存在冗余時能夠及時地停止分配，避免不必要的分配。

關于縮減任務分攤問題，分攤時同樣依據決策單元的發(fā)展曲線，并把每一份的縮減任務分攤給產出減小最少的那些決策單元，重復這一過程，直至完成分攤任務，或者決策單元擁有的資源已經全部被分攤。由于篇幅的限制，具體模型從略。

2 基本假設和基本模型

于是，額外資源分配問題轉化為，求解出一組ΔX1,ΔX2,…,ΔXn使系統(tǒng)的總產出增加實現(xiàn)達到最大。在多個產出的情況下，這將是一個多目標優(yōu)化問題，它的最優(yōu)解是Pareto解。

圖1 額外資源分配問題中，分配前后決策單元的投入與產出

2.1 基本假設

假設1：在額外資源分配問題中，不需要考慮額外投入資源的來源和成本。比如，這筆額外資源來自于政府補貼，額外資源的成本由政府承擔。系統(tǒng)內任意一個決策單元都是理性的，希望分配到盡可能多的額外資源。

假設2：分配目標是使系統(tǒng)的總產出增加實現(xiàn)最大化。由于該問題需要計算既定額外投入增加時最大化的產出增量是多少。相比DEA投入導向的模型，該問題更適宜采用DEA產出導向的模型(Fare等[6])，所以本文采用產出導向的模型。

假設3：額外資源分配不應縮減決策單元任意一種投入原本的占有數量，即滿足ΔXj≧0。

假設4：額外資源分配需要綜合考慮決策單元的發(fā)展曲線。分配過程中，選擇那些能夠產出增加最大的那些決策單元進行分配，從而保證每一次分配使系統(tǒng)總產出增加實現(xiàn)最大。

假設5：額外資源分配問題不考慮技術進步(假設生產可能集保持不變)，這意味著分配后決策單元的投入產出數據仍然落在原來的生產可能集中。

2.2 計算DMUs技術效率的模型：BCC模型

maxη0

λj≧0,j=1,…,n

(1)

其中，s-和s+分別表示分別投入和產出的松弛變量。λ1,λ2,…,λn分別表示DMU0賦予每個決策單元的權重。

由于松弛變量的存在，在判斷DMU0是否為技術有效時，還需要進一步求解模型(2)：

maxe1×ms-+e1×ss+

λj≧0,j=1,…,n

(2)

其中，e1×m和e1×s分別表示1×m維和1×n維的單位向量。模型(2)的最求解記為s-*和s+*，它們是一組最大的松弛變量。

根據模型(1)和(2)，BCC模型的生產可能集為：

2.3 計算DMUs規(guī)模報酬的模型：彈性模型

α>1,β≧1

λj≧0,j=1,…,n

(3)

ωj>0,j=1,…,n

(4)

2.4 計算DMUs發(fā)展曲線的算法

根據Banker等[30]，決策單元的規(guī)模報酬與其投影點的規(guī)模報酬類型相同。因而，發(fā)展曲線的基本假設是：決策單元在發(fā)展曲線上的右彈性與其投影點在BCC生產前沿面上的右彈性相等；決策單元在反方向發(fā)展曲線上的左彈性與其投影點在BCC生產前沿面上的左彈性相等。

在多個投入多個產出情況下，DMU0的發(fā)展曲線通過不斷擴大DMU0的投入規(guī)模得到。不妨設，每次以數量ξ>0擴大第i種投入(i=1,…,m)。

步驟3：把以上算法得到的線段和射線是相連的，它們共同構成DMU0的發(fā)展曲線。

重復上述步驟，計算出所有決策單元的發(fā)展曲線。為了便于使用，把DMUj(j=1,…,n)的發(fā)展曲線記作Fj(X,Y)=0。

3 額外資源按需分配算法

由于額外資源R對于當前的系統(tǒng)來說可能是不足的，也可能過量的，所以本節(jié)給出的按需分配算法把額外資源分成若干等份，每次分配僅分配一個等份的額外資源，直至分配出全部的額外資源，或者某一份額外資源的分配不能帶來任何的產出增加。

對于每一等份的額外資源，分配原則是依據決策單元的發(fā)展曲線，把這一份額外資源分配給產出增量最大的那些決策單元，從而確保這次分配使系統(tǒng)總產出增加達到最大。分配到額外資源的決策單元，他們的投入與產出將依據發(fā)展曲線的走勢進行擴大，并進入到下一次分配。未分配到額外資源的決策單元，他們的投入與產出將保持不變，并進入到下一次分配。上述分配原則保證了最終的分配結果不會縮減任意一個決策單元原本占有的資源數量。

假設把額外資源R等分為M份(M為某無窮大常數)。以下算法在每次迭代的過程中，把R/M的額外資源在決策單元之間進行分配。

s.t.Fj(Xj+ΔXj,Yj+ΔYj)=0,j=1,…,n

ΔXj≧0, ΔYj≧0,j=1,…,n

(5)

4 算例

4.1 算例1

本例在“一個投入一個產出”情況下考慮5個決策單元，見表1。其中，I(1)表示投入，O(1)表示產出。決策單元的技術效率由模型(1)計算得到。DMU1、DMU4和DMU5是強技術有效的，投影點分別是其自身。DMU2和DMU3是技術無效的，DMU2的投影點坐標為(14/5,13/5)，DMU3的投影點坐標為(3,3)，正好是DMU4的坐標。把投影點帶入模型(4)，得到每一個決策單元在其發(fā)展曲線上當前坐標位置的右彈性。圖2給出了由這5個決策單元得到BCC生產前沿線和BCC生產可能集。

表1 算例1中的5個決策單元

圖2 BCC生產可能集

根據第2.4節(jié)發(fā)展曲線的迭代算法，得到這5個決策單元發(fā)展曲線的函數表達式：

DMU1:y=2x-3，當2≦x<3時；

y=(1/2)x+(3/2)，當3≦x<5時；

y=4，當5≦x時。

DMU2:y=(12/13)x-18/13，當14/5≦x<3時；

y=(3/13)x+9/13，當3≦x<5時；

y=24/13，當5≦x時。

DMU3:y=(1/3)x+1，當3≦x<5時；

y=8/3，當5≦x時。

DMU4:y=(1/2)x+(3/2)，當3≦x<5時；

y=4，當5≦x時。

DMU5:y=4，當5≦x時。

初始狀態(tài)下，系統(tǒng)的總投入是15.8，總產出是11.2。利用第3節(jié)中的按需分配算法進行額外資源分配：

其余情況(當26/5

表2 算例1每一階段額外資源分配方案

上述分配過程說明，隨著額外資源R不斷增加，選擇進行額外資源分配的決策單元不斷發(fā)生著變化，分配次序依次為：DMU1?DMU2?DMU1,DMU4?DMU3?DMU2(?表示優(yōu)先于)。于是，決策單元的選擇過程可劃分為五個階段，見圖3中的①至⑤。在每一階段，按需額外資源分配算法每次總是優(yōu)先選擇全部發(fā)展曲線之中斜率最大的一段折線段進行分配。

第一階段的額外資源數量在0和1之間(0≦R≦1)，此時額外資源R只分配給DMU1。于是，單位額外資源投入帶來的總產出增加，取決于DMU1發(fā)展曲線在點(2,1)到點(3,3)這一段折線段的斜率。所以，第一階段系統(tǒng)總投入最大增量為1，系統(tǒng)總產出最大增量為2，邊際總產出增加為2。

進入到第二階段后，DMU1保持第一階段獲得額外資源(數量為1)，不再增加。余下的額外資源(數量為R-1)只分配給DMU2。在此階段，單位額外資源投入帶來的總產出增加，取決于DMU2發(fā)展曲線在點(14/5,6/5)到點(3,18/13)這一段折線段的斜率。所以，第二階段系統(tǒng)總投入最大增量為1/5，系統(tǒng)總產出最大增量為12/65，邊際總產出增加為12/13。

圖3 分配過程中選擇決策單元的先后次序

進入到第三階段后，DMU2保持第二階段獲得的額外資源(數量為1/5)，不再增加。DMU1除了擁有第一階段獲得的額外資源(數量為1)，還將與DMU4均分余下額外資源(數量為0.5R-0.6)。在此階段，單位額外資源投入帶來的總產出增加，取決于DMU1和DMU4發(fā)展曲線在點(3,3)到點(5,4)這一段折線段的斜率。所以，第三階段系統(tǒng)總投入最大增量為4，系統(tǒng)總產出最大增量為2，邊際總產出增加為1/2。

同理可知，第四階段的邊際總產出增加為1/3，它取決于DMU3發(fā)展曲線在點(3,2)到點(5,8/3)這一段折線段的斜率。第五階段的邊際總產出增加為3/13，它取決于DMU2發(fā)展曲線在點(3,18/13)到點(5,24/13)這一段折線段的斜率。

由此可知，從第一階段至第五階段，單位額外資源投入帶來的系統(tǒng)總產出增加不斷降低，直至系統(tǒng)總產出增加為零。因此，隨著額外資源不斷增加，邊際系統(tǒng)總產出增加是一種“臺階狀”遞減的。

圖4給出了額外資源數量與系統(tǒng)總產出增量兩者的數量關系。由于它們的關系表現(xiàn)為折線段形式，所以這條折線段的斜率(即邊際系統(tǒng)總產出增加)是“臺階狀”的，并且是遞減的。當額外資源數量達到9.2時，系統(tǒng)總產出增量達到最大，為2+12/65+2+2/3+6/13≈5.313(①至⑤階段的最大產出增量的累加)。當額外資源數量超過9.2時，系統(tǒng)總產出增量將保持5.313不變。

圖4 額外資源數量與總產出對應關系圖

4.2 算例2

本例在“兩個投入一個產出”的情況下，考慮6個決策單元。他們的投入產出數據見表3。其中，I(1)表示第一種投入，I(2) 表示第二種投入，O(1)表示產出。決策單元的技術效率和右彈性由模型(1)(2)(4)計算得到。僅有DMU2是技術無效的，其他決策單元均為強技術有效的。由這6個決策單元得到的BCC生產可能集為三維凸多面體，見圖5。

表3 算例2中的6個決策單元

注：表內技術效率和右彈性的數值為四舍五入近似值。本例采用軟件Matlab2016b計算。

注：圖中的空心圓點為DMU2的投影點。圖5 BCC生產可能集

取ξ=0.001(若精度要求更高，可在初始設置將ξ取更小的值)，計算決策單元的發(fā)展曲線。如圖6所示，只有DMU2的發(fā)展曲線保持在BCC前沿面以內，而其他決策單元的發(fā)展曲線都在BCC前沿面上。DMU5和DMU6的發(fā)展曲線上任意一點的右彈性均為零。

圖6 決策單元的發(fā)展曲線

額外資源分配同樣是優(yōu)先對發(fā)展曲線中最陡峭的部分進行分配。隨著額外資源的不斷增加，分配次序依次為：DMU1?DMU2?DMU3?DMU1?DMU2?DMU4，見圖7。

圖7 分配過程中選擇決策單元的先后次序

圖8給出了系統(tǒng)總產出增量與額外資源的三維圖。額外資源數量越大，系統(tǒng)總產出增量越大。系統(tǒng)總產出增加存在極限，這一極限的數值四舍五入后為19.975。

圖8 額外資源數量與總產出對應關系圖

在這個算例中，由于具有兩種投入，很可能出現(xiàn)一種額外投入資源已全部分配完，而另一種額外投入資源尚未分配完。相比以往的資源分配模型，按需分配算法的優(yōu)勢是這種算法能夠辨識出這種由額外投入資源結構(兩種投入的比例關系)上的冗余。

例如，考慮一種極端的情況：第一種額外投入資源是充足的，第二種額外投入資源是有限的。在圖8中，令第二種投入保持某一既定數量不變，作一個平面，那么這個平面與圖8中的凸多面體(BCC生產可能集)存在一條交線。這條交線反映出任意第一種投入資源數量對應的系統(tǒng)總產出增量，見圖9。這條交線是邊際遞減的，并且它的極限值代表了系統(tǒng)總產出增量的極限(低于19.975)。盡管第一種額外投入資源是充足的，但是系統(tǒng)只需要有限數量的第一種額外投入資源，過量的第一種額外投入資源對于這個系統(tǒng)來說是不必要的。

圖9 第一種額外投入資源數量與總產出對應關系圖

5 結語

文獻Wei Quanling等[1]的最后一段提出了這樣一類額外資源分配問題：假設有一些額外的投入資源將要分配給全部或者部分決策單元，如果我們希望分配結果對于整個系統(tǒng)(該系統(tǒng)由全部決策單元組成)來說是最有益的，那么應當如何分配這些額外的投入資源？

針對這類問題，本文提出一種額外資源按需分配方法。與現(xiàn)有方法相比，這種方法具有以下三方面特點。第一，該方法給出的分配結果不會縮減任意一個決策單元當前占有的資源數量，所以不會出現(xiàn)分配后某個決策單元的投入反而變小的情況。第二，該方法能夠給出增加任意數量的額外資源，系統(tǒng)總產出最大能夠增加多少，為決策者提供分配后系統(tǒng)預期的總投入與總產出，以及每一個決策單元預期的投入與產出。第三，這種方法還可以在發(fā)現(xiàn)額外資源的規(guī)模上和結構上存在冗余時及時地停止分配，從而避免不必要的分配。在多種投入的情況下，很可能出現(xiàn)這種情況：某種額外資源已經全部分配完，而其他投入尚未全部分配完，但是繼續(xù)對尚未分配完的投入進行分配，系統(tǒng)總產出將保持不變。不能使系統(tǒng)總產出增加的分配，實際上是無效的分配。所以，分配算法能夠自動地識別出額外資源存在的冗余并停止分配，這對于額外資源的有效利用尤為重要。

本文給出的方法仍然具有一定的局限性，仍然存在一些問題需要進一步的深入研究。首先，本文給出的計算決策單元發(fā)展曲線算法與額外資源按需分配算法在本質上都屬于“步長法”。這種方法需要針對具體情況預先設定步長。當步長設置得過大，會帶來估計偏差；步長設置得過小，會大大增加算法需要的循環(huán)次數。盡管存在著以上不足，但是“步長法”作為一種較為實用的估計方法，在對DEA生產前沿走勢進行估計時取得了比較理想的估計結果，見Asmild 等[31]和Khoshandam等[32]。那么，除了“步長法”，是否存在其他的優(yōu)化方法能夠解決額外分配問題？

再有，本文給出的額外資源分配方法僅適用于增加既定數量的系統(tǒng)總投入情況，例如增加某一行業(yè)的財政補貼、增加科研津貼，增加額外硬件資源，配置新入職人員，等等?？s減任務分攤問題面向減少既定數量的系統(tǒng)總投入情況，因篇幅限制本文對此未作展開。除此之外，還存在另外兩類“按需配置”問題也值得深入探討：1)假設決策者設定了某一系統(tǒng)總產出增加的目標(或任務)，現(xiàn)需要安排給全部或者部分決策單元完成，那么如何花費最小的代價(即使系統(tǒng)投入增加最小)使該目標得以實現(xiàn)？該問題面向增加既定數量的系統(tǒng)總產出情況，比如地方政府或者企業(yè)計劃增加既定數量的某些經濟產出。2)假設決策者計劃壓縮一定數量的現(xiàn)有產出規(guī)模，那么應當如何對每一個決策單元設置產出壓縮目標？該問題面向減少既定數量的系統(tǒng)總產出情況，現(xiàn)實中對應于淘汰過剩產能這一類非常重要的經濟問題。