單值Neutrosophic sets環(huán)境下基于參照系數(shù)的VIKOR方法

范建平，劉勝男，吳美琴

(山西大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，山西 太原 030006)

1 引言

多屬性決策方法是指用定性或定量指標(biāo)對有限個方案進(jìn)行決策的方法，在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用極為廣泛。VIKOR(VlseKriterijumska Optimizacija IKompromisno Resenje)是一種常用的多屬性決策方法，由Opricovic[1]提出，屬于多屬性決策中最佳妥協(xié)解方法，同時可以使得群體效用最大，個體遺憾最小。VIKOR方法自提出后被用來解決一系列實際問題，如方案評估、產(chǎn)業(yè)發(fā)展等[2-4]。許多學(xué)者把VIKOR拓展到模糊環(huán)境下，提出一系列的模糊VIKOR方法，并廣泛應(yīng)用到醫(yī)療、供應(yīng)商選擇、風(fēng)險管理等多個領(lǐng)域[5-9]。由于VIKOR涉及減法公式，精確數(shù)環(huán)境下可以直接利用VIKOR方法。在模糊環(huán)境下，Liao Huchang和Xu Zeshui[10]提到猶豫模糊集的減法公式，但公式使用不方便，因此在模糊環(huán)境下使用VIKOR方法一般不采用直接做差?，F(xiàn)存文獻(xiàn)對模糊VIKOR方法的處理有以下幾種：(1)通過去模糊化的方式把模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為精確數(shù)[11-12]，但會造成信息不能被完全利用；(2)和其他方法如Choquet積分算子、AHP、模糊集的集結(jié)算子等結(jié)合消除不便之處[13-16]，但計算過程較為復(fù)雜；(3)將距離公式引入VIKOR方法[17-19]，應(yīng)用較為廣泛；(4)其他的方法[20-21]。

模糊環(huán)境下的VIKOR方法雖然能解決大部分的決策問題，但仍有不適用的范圍，尤其是當(dāng)信息不確定和不一致時。例如當(dāng)邀請一個專家判斷某一表述的準(zhǔn)確性時，他可能會說這句話真實的程度是0.5，錯誤的程度是0.6，不確定的程度是0.2。這一情況就超出模糊集及其拓展集合的適用范圍。

Smarandache[22]提出的中智集(neutrosophic sets, NS)可以很好的解決上述提到的問題，已經(jīng)與多種傳統(tǒng)多屬性決策方法結(jié)合并被廣泛應(yīng)用到醫(yī)療保健、投資等多個領(lǐng)域[23-28]。單值中智集(single-valued neutrosophic sets, SVNS)是中智集的一類，由于表達(dá)形式簡便，更易被應(yīng)用到現(xiàn)實中。Wang Haibin等[29]首次提出單值中智集思想，Ye Jun[30-31]把單值中智集的思想概念化，并提出一些運算及相似度公式。但Peng Juanjuan等[32-33]舉例指出，Ye Jun[31]的簡單中智集的運算法則等有與理論違背的地方，對此進(jìn)行了改進(jìn)。為對兩個單值中智數(shù)的大小進(jìn)行比較，Peng Juanjuan等[33]根據(jù)直覺模糊數(shù)的記分函數(shù)、精確函數(shù)提出了簡單中智數(shù)的記分函數(shù)、精確函數(shù)和確定函數(shù)，并據(jù)此比較兩個單值中智數(shù)的大小。Majumdar和Samanta[34]根據(jù)模糊集的歐式距離公式，給出了單值中智集的標(biāo)準(zhǔn)歐式距離公式。

本文用單值中智集的正確值、不確定值和謬誤值表示不同的坐標(biāo)軸，構(gòu)建三維空間，并把傳統(tǒng)VIKOR方法拓展到該環(huán)境下。傳統(tǒng)VIKOR方法根據(jù)方案與正理想解的貼近度進(jìn)行妥協(xié)排序，在一維空間中是合理的。但在一維以上空間中，僅考慮方案與正理想解的貼近度而忽略方案與負(fù)理想解的貼近度會造成信息的缺失，得到的評價結(jié)果不合理。因此，為綜合考慮正、負(fù)理想解對方法的影響，本文通過設(shè)置“參照系數(shù)”把方案與負(fù)理想解的貼近度引入到VIKOR方法中，使得決策者可以通過改變參數(shù)的大小選擇不同的參照標(biāo)準(zhǔn)。另外，本文建立最大化“相對距離”模型求解權(quán)重值，使得在該權(quán)重下每個方法的相對實力都最好。

2 單值中智集

現(xiàn)實生活的不確定性使得不是所有的屬性值都可以用精確數(shù)表示，尤其是定性指標(biāo)。更多情況下會用不精確數(shù)或語言變量對屬性進(jìn)行描述。Zadeh[35]于1965年首次提出模糊集的概念，用以表示不確定信息。為使模糊集進(jìn)一步完善，Atanassov[36]于1986年提出了直覺模糊集，比模糊集的適用范圍更廣。之后，又出現(xiàn)區(qū)間模糊集[37]、區(qū)間直覺模糊集[38]、猶豫模糊集[39]等拓展集合，為決策帶來更大的空間。但是仍有局限性，例如無法解決信息的不連續(xù)和不一致情況。中智集的提出解決了這一問題。以下給出中智集、單值中智集的定義，單值中智集的運算及相關(guān)性質(zhì)。

定義1[22]令X是一個對象(點)集，X中的元素記為x。X上的中智集A由事物的真實值TA(x)，不確定值IA(x)，謬誤值FA(x)組成，是[0-,1+]中的非標(biāo)準(zhǔn)子集，即TA(x):X→[0-,1+]，IA(x):X→[0-,1+]，F(xiàn)A(x):X→[0-,1+]。由于TA(x)、IA(x)、FA(x)的和沒有限制，因此滿足關(guān)系0-≤supTA(x) + supIA(x)+supFA(x)≤3+。

為使中智集的思想更好的用到現(xiàn)實生活中，Ye Jun[30-31]提出簡單中智集的概念及一些運算。

定義2[30]令X是一個對象(點)集，X中的元素記為x。當(dāng)TA(x)、IA(x)、FA(x)退化成[0,1]中的標(biāo)準(zhǔn)子集時，即TA(x):X→[0,1]，IA(x):X→[0,1]，F(xiàn)A(x):X→[0,1]，其和滿足0≤TA(x)+IA(x)+FA(x)≤3，稱為簡單中智集。記為A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}。

簡單中智集可簡寫為A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉。當(dāng)TA(x),IA(x),FA(x)，均為[0,1]之間的子區(qū)間時，簡單中智集退化成區(qū)間中智集(interval neutrosophic sets, INS)；當(dāng)TA(x)，IA(x)，F(xiàn)A(x)均為[0,1]之間的一個精確數(shù)時，簡單中智集退化成單值中智集(single-valued neutrosophic sets, SVNS)。特別的，當(dāng)X中僅有一個元素時，A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉是一個單值中智數(shù)，記為A=〈TA,IA,FA〉。本文用單值中智數(shù)表示多屬性決策問題的屬性值。

定義3[32-33]對單值中智集A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉,B=〈TB(x),IB(x),FB(x)〉，有：

(1)A⊕B=〈TA(x)+TB(x)-TA(x)TB(x),IA(x)IB(x),FA(x)FB(x)〉；

(2)A?B=〈TA(x)TB(x),IA(x)+IB(x)-IA(x)IB(x),FA(x)+FB(x)-FA(x)FB(x)〉；

定理1[32-33]對單值中智集A,B,C，性質(zhì)如下：

(1)A⊕B=B⊕A

(2)A?B=B?A

(3)λ(A⊕B)=λA⊕λB,λ>0

(5)λ1A⊕λ2A=(λ1+λ2)A,λ1>0,λ2>0

(6)Aλ1?Aλ2=A(λ1+λ2),λ1>0,λ2>0

定義4[33]對單值中智數(shù)A=〈TA,IA,FA〉，其記分函數(shù)s(A)、精確函數(shù)a(A)和確定函數(shù)c(A)定義如下：

(1)s(A)=(TA+1-IA+1-FA)/3

(2)a(A)=TA-FA

(3)c(A)=TA

定理2[33]A，B為兩個單值中智數(shù)：

(1)若s(A)>s(B)，那么A比B大，即A>B；

(2)若s(A)=s(B),a(A)>a(B)，那么A比B大，即A>B；

(3)若s(A)=s(B),a(A)=a(B),c(A)>c(B)，

那么A比B大，即A>B；

(4)若s(A)=s(B),a(A)=a(B),c(A)=c(B)，那么A等于B，即A=B。

定義5[34]令A(yù)={〈TA(x1),IA(x1),FA(x1)〉〈TA(x2),IA(x2),FA(x2)〉,…,〈TA(xn),IA(xn),FA(xn)〉},B={〈TB(x1),IB(x1),FB(x1)〉，〈TB(x2),IB(x1),FB(x2)〉,…,〈TB(xn),IB(xn),FB(xn)〉為兩個簡單中智集，那么A，B之間的標(biāo)準(zhǔn)歐式距離為：

3 單值中智集環(huán)境下的VIKOR方法

VIKOR方法根據(jù)準(zhǔn)則函數(shù)進(jìn)行評估，根據(jù)方案與正理想解的貼近度進(jìn)行妥協(xié)排序，妥協(xié)排序的多準(zhǔn)則測量是從Lp測度發(fā)展來的，是妥協(xié)方法的集結(jié)函數(shù)：

在精確數(shù)環(huán)境下，方案的屬性值由精確數(shù)表示。該情況可以看成是由一系列精確數(shù)形成的一維空間。一維空間下，若方案與正理想解的距離越小，那么與負(fù)理想解的距離就越大。此時，僅考慮方案與正理想解的貼近度得到的最佳妥協(xié)解就可以滿足距離正理想解最近同時距離負(fù)理想解距離最遠(yuǎn)，如圖1所示。

圖1 精確數(shù)空間

在模糊環(huán)境下，方案的屬性值由模糊數(shù)表示。Yang Yingjie和Chiclana[40]用隸屬度、非隸屬度及猶豫度建立坐標(biāo)系，在二維及三維空間中考慮模糊數(shù)的性質(zhì)。在該情況下，方案與正理想解的距離越小，不代表其與負(fù)理想解的距離越大。如圖2所示，A,B為兩個備選方案，屬性值由直覺模糊數(shù)表示。此時，得到的最佳妥協(xié)解不滿足與正理想解的距離最小同時與負(fù)理想解的距離最大。

圖2 直覺模糊集空間

3.1 最大化“相對距離”的權(quán)重獲取模型

Cao Qingwei等[41]以最大化每個方案與負(fù)理想解的加權(quán)距離為目標(biāo)函數(shù)建立模型，得到每個指標(biāo)的權(quán)重，使得在該權(quán)重下每個方案與負(fù)理想解的距離都最大。本文提出“相對距離”的概念，即把每個方案與負(fù)理想解、正理想解距離的差值最大化作為目標(biāo)函數(shù)，通過線性模型求解得到權(quán)重，可以使得在該權(quán)重下每個方案的相對實力是最好的。

0≤ωj≤1,j=1,2,…,n

(1)

模型(1)是一個條件約束問題，可以通過構(gòu)造Lagrange函數(shù)求解。設(shè)λ為Lagrange乘數(shù)，那么Lagrange函數(shù)為：

(2)

等式(2)對ω和λ求導(dǎo)得：

(3)

等式(3)是關(guān)于ωj(j=1,2,…,n)和λ的方程，聯(lián)立方程得到權(quán)重值，并對權(quán)重值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

3.2 基于“參照系數(shù)”的VIKOR方法

用單值中智集的正確值、不確定值和繆誤值建立做坐標(biāo)系，把單值中智集投影到三維空間中圖3所示。在該環(huán)境下，B,C,D表示3個備選方案，隨著備選方案與正理想解的距離縮小的同時，其與負(fù)理想解的距離也在縮小。因此，以正理想解為參照對象得到的最佳妥協(xié)解與以負(fù)理想解為參照對象得到的最佳妥協(xié)解也是不同的。故在單值中智集環(huán)境下僅考慮方案與正理想解的貼近度不能全面的反映方案的優(yōu)劣。

本文的基本思想是：分別以方案與正理想解的貼近度和方案與負(fù)理想解的貼近度為參照對象，得到方案的群體效用S正,S負(fù)和個體遺憾R正,R負(fù)。通過在S正和S負(fù)，R正和R負(fù)之間引入?yún)⒄障禂?shù)得到最終的群體效用值和個體遺憾值。需

圖3 單值中智集空間

要注意的是，以方案與正理想解的貼近度為參照對象時，結(jié)果越小越好；以方案與負(fù)理想解的貼近度為參照對象時，結(jié)果則越大越好。因此，為保持排序的同步性，采用S負(fù)和R負(fù)的倒數(shù)進(jìn)行整合?？蚣苋鐖D4所示。

假設(shè)方案i在指標(biāo)j下的屬性值由單值中智數(shù)表示，指標(biāo)的權(quán)重根據(jù)模型(1)得到。具體步驟如下：

步驟2. 分別以正、負(fù)理想解為參照對象計算方案i的S和R；

(4)

(5)

圖4 基于參照系數(shù)的VIKOR方法框架圖

Step 3. 計算方案i的S值和R值；

(6)

其中，λ∈[0,1]為參照系數(shù)，代表決策者更注重方案與正理想解的貼近度還是方案與負(fù)理想解的貼近度，參照系數(shù)不同則參照標(biāo)準(zhǔn)不同。λ>0.5表示決策者更注重方案與正理想解的貼近度；λ<0.5表示決策者更注重方案與負(fù)理想解的貼近度；λ=0.5表示決策者態(tài)度居中。

步驟4. 計算方案i的Q值；

(7)

其中S+=maxSi,S-=minSi,R+=maxRi,R-=minRi。根據(jù)S、R、Q值確定排序結(jié)果。v可以被認(rèn)為是一個權(quán)重，v>0.5表示決策者更注重群體效用，即滿足大多數(shù)人的意見；v<0.5表示決策者更注重個體遺憾，即這里折中取v=0.5。

步驟5. 根據(jù)Q的升序?qū)Y(jié)果排序。

步驟6. 對妥協(xié)解進(jìn)行檢驗，假設(shè)A為妥協(xié)

解，那么Q的值應(yīng)滿足以下兩個條件：

條件2：決策過程中可接受的穩(wěn)定性，即根據(jù)S或(和)R的值，A也是最好的方案。

4 對比分析

為驗證對原始VIKOR方法修正的有效性，用本文提出的基于參照系數(shù)的VIKOR方法對Zhang Nian和Wei Guiwu[42]中的算例進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[42]通過猶豫模糊集的距離公式把VIKOR和TOPSIS拓展到猶豫模糊環(huán)境下，并對兩個結(jié)果進(jìn)行對比。具體結(jié)果如下所示，表1給出分別以正、負(fù)理想解為參照對象時方案的S和R。不同參照系數(shù)取值下的結(jié)果如表2所示。

表2 不同取值下的結(jié)果

不同參照系數(shù)下的排序結(jié)果及妥協(xié)解如表3和圖5所示。表3最后一列為λ=1時，即原始VIKOR方法，文獻(xiàn)[42]的結(jié)果。從結(jié)果可以看出，當(dāng)λ=1，即僅考慮方案與正理想解的貼近度時，排序結(jié)果為A1>A4>A2>A3，最佳妥協(xié)解為A1和A4；當(dāng)λ=0，即僅考慮方案與負(fù)理想解的貼近度時，排序結(jié)果為A2>A4>A1>A3，最佳妥協(xié)解為A2和A4。即參照標(biāo)準(zhǔn)不同，得到的排序和最佳妥協(xié)解完全不同。而當(dāng)0.1≤λ≤0.9，即決策者同時考慮正、負(fù)理想解對方案的影響時，排序結(jié)果均為A4>A2>A1>A3，最佳妥協(xié)解為A2和A4。這說明，在單值中智集構(gòu)成的三維空間中，正、負(fù)理想解對最佳妥協(xié)解的產(chǎn)生都有影響，且決策者的偏好不同，得到的最佳妥協(xié)解也不一樣。因此，在VIKOR方法中同時考慮方案與正、負(fù)理想解的貼近度得到的最佳妥協(xié)解更為合理，即引入?yún)⒄障禂?shù)是有效的。決策者可以根據(jù)自身偏好改變參照系數(shù)的大小，從而得到滿意的最佳妥協(xié)解。圖5能更直觀的反映這一變化。

圖5 Q值波動圖

5 實例

考慮企業(yè)選擇合作伙伴的問題，現(xiàn)有一個企業(yè)，要從4家公司中選擇其中一個作為自己的合作伙伴。記A1,A2,A3,A4，從C1創(chuàng)新能力，C2管理能力，C3服務(wù)水平和C4發(fā)展?jié)摿?個方面對4家公司進(jìn)行評價。通過專家賦值的方式給出4家公司在每個指標(biāo)下的指標(biāo)值，結(jié)果由單值中智數(shù)表示。如表4。

表3 不同參照系數(shù)下的排序結(jié)果

表4 單值中智集環(huán)境下的決策矩陣

根據(jù)定義4和定理2得到正、負(fù)理想解為：

A+=〈(0.8 0.3 0.40), (0.60 0.10 0.1), (0.4 0.5 0.25), (0.60 0.20 0.10)〉;

A-=〈(0.60 0.2 0.4), (0.50 0 0.50), (0.2 0.50 0.20), (0.50 0.20 0.20)〉

根據(jù)定義5得到方案與正、負(fù)理想解的距離及相對距離，如表5。將相對距離帶入模型(1)，根據(jù)(2)和(3)得到指標(biāo)的權(quán)重值為：ω1=0.3008,ω2=0.2064,ω3=0.2451,ω4=0.2477。根據(jù)(4)和(5)得到分別以正、負(fù)理想解為參照標(biāo)準(zhǔn)時方案的S和R，如表6所示。選取不同的參照系數(shù)值，根據(jù)(6)和(7)得到S,R和Q值，如表7所示。根據(jù)Q值對方案進(jìn)行排序，結(jié)果如表8和圖6所示。

表5 方案的相對距離

表6 分別以正理想解和負(fù)理想解為參照對象的結(jié)果

表7 不同參照系數(shù)取值下的結(jié)果

表8 不同參照系數(shù)取值下的排序及妥協(xié)解

圖6 Q值波動圖

從表8可以看出，參照系數(shù)的改變會引起排序結(jié)果改變。當(dāng)參照系數(shù)λ≤0.7時，排序結(jié)果A2>A3>A1>A4，最佳妥協(xié)解為A2和A3，公司2和公司3均為最佳合作伙伴；當(dāng)參照系數(shù)λ增大為0.8、0.9時，排序結(jié)果為A3>A2>A1>A4，最佳妥協(xié)解仍為A2和A3；當(dāng)參照系數(shù)λ=1時，排序結(jié)果為A1>A3>A2>A4，最佳妥協(xié)解為A1和A3，即公司1和公司3均為最佳合作伙伴。因此，決策者選擇不同的參照標(biāo)準(zhǔn)，選擇的合作伙伴是不一樣的，同時考慮正、負(fù)理想解對方案的影響得到的結(jié)果更能滿足決策者的偏好。但公司3在整個過程中均為最佳妥協(xié)解，因此該公司可以僅選擇公司3為合作伙伴。

從圖6可以看出，方案4的Q值在整個參照系數(shù)λ的變化過程中始終處于較高水平，即排名始終處于最后一位；方案1的Q值在參照系數(shù)λ的變化過程中有緩慢降低的趨勢，在λ取1時，達(dá)到最低點。這意味著，若決策者僅考慮方案與正理想解的貼近度，方案1會排在第一位。反之則排名靠后；方案3的Q值在前期緩慢下降，最后明顯上升。但在整個過程中，方案3始終處于前兩位；方案2在λ<1時，Q值較小，但λ取1時迅速上升。這說明，若決策者僅考慮方案與正理想解的貼近度，方案2僅排在第3位。反之，則方案2排在第一位。

6 結(jié)語

單值中智集作為中智集中一種特殊的集合，已經(jīng)被逐漸應(yīng)用到?jīng)Q策的各個領(lǐng)域。本文根據(jù)單值中智集的相關(guān)性質(zhì)，提出基于“相對距離”獲得權(quán)重的方法，并把VIKOR方法拓展到單值中智集環(huán)境下的。同時通過設(shè)置參照系數(shù)把方案與負(fù)理想解的貼近度引入VIKOR方法。經(jīng)對比分析，決策者以方案與正理想解的貼近度為基準(zhǔn)得到的排序及最佳妥協(xié)解，和決策者以方案與負(fù)理想解的貼近度為基準(zhǔn)得到的排序及最佳妥協(xié)解是不同的。而當(dāng)決策者同時考慮方案與正、負(fù)理想解的貼近度時，決策者的偏好不同，方案的最終得分也不一樣，得到的排序結(jié)果和最佳妥協(xié)解也可能會發(fā)生變化。實例分析部分也表明，決策者綜合考慮不同偏好水平下的排序結(jié)果及妥協(xié)解得到的最佳妥協(xié)解更為合理。

本文具有以下創(chuàng)新點：(1)把傳統(tǒng)VIKOR方法拓展到單值中智集環(huán)境下，比傳統(tǒng)VIKOR和模糊VIKOR的適用范圍更廣，尤其是當(dāng)信息不連續(xù)和不一致時；(2)建立最大化“相對距離”的權(quán)重獲取模型，使得在該權(quán)重下每個方案的相對實力都是最好的；(3)通過設(shè)置參照系數(shù)把方案與負(fù)理想解的貼近度引入到傳統(tǒng)的VIKOR方法中，使得決策者可以通過改變參照系數(shù)的取值選取不同的參照標(biāo)準(zhǔn)。

本文所選的對比分析案例及實例的排序結(jié)果的波動都不是很大，且均有一個方案始終屬于妥協(xié)解。這種情況下，決策者可以通過該方法得到的結(jié)果明確的選取一個方案做為最佳妥協(xié)解。但當(dāng)決策者選取的參照標(biāo)準(zhǔn)不同，排序結(jié)果波動較大且妥協(xié)解的變動很大時，也會造成決策者的迷茫。因此，進(jìn)一步研究可以考慮如何把方案與正、負(fù)理想解的貼近度整合為一個確定的公式，從而得到一個“相對的”最佳妥協(xié)解，消除由于偏好不同所造成的決策迷茫問題。