高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題中需要具備的幾種數(shù)學(xué)思想

蔡艷

在有關(guān)數(shù)列問題的解題過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.學(xué)生只有能夠根據(jù)習(xí)題的特征、需求、性質(zhì)找到適合解決習(xí)題的數(shù)學(xué)思想，才能又快又準(zhǔn)地將解決問題.

一、歸納總結(jié)數(shù)列公式，完成數(shù)列的計(jì)算

對于一道數(shù)列問題，其給出了一組數(shù)，卻沒有明確這組數(shù)是不是數(shù)列，或者給出了一組數(shù)列，卻沒有說明這組數(shù)具體是什么數(shù)列.給出了數(shù)或數(shù)列以后，便要求學(xué)生完成數(shù)或數(shù)列的計(jì)算，對這種問題，學(xué)生往往不知從何處入手.在做這樣的習(xí)題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會歸納總結(jié)問題的特征，分析出這組數(shù)或數(shù)列屬于哪種數(shù)列，然后應(yīng)用相應(yīng)的公式來解題.

例1 求數(shù)列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…的前n項(xiàng)的和.

該題給出了一個數(shù)列，并給出了一個這個數(shù)列的首項(xiàng)，但沒有說明它是怎樣的數(shù)列.如果學(xué)生要計(jì)算前n項(xiàng)的和，就要根據(jù)數(shù)列中數(shù)與數(shù)的變化規(guī)律，分析它是怎樣的數(shù)列，并且分析出它的公差或公比.通過觀察這組數(shù)列的變化，可以發(fā)現(xiàn)題目要求的是自然數(shù)的奇數(shù)和.在這組數(shù)據(jù)的前n項(xiàng)中，共有1+2+…+n=12n（n+1）個奇數(shù)，依此公式可知最后一個奇數(shù)為12n（n+1）×2-1=n2+n-1.該數(shù)列前n項(xiàng)和可以看作首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為n2+n-1，公差為2的等差數(shù)列的和.應(yīng)用等差數(shù)列求前n項(xiàng)和的公式來計(jì)算，得Sn=14n2（n+1）2.

二、應(yīng)用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，分析數(shù)列問題的極值

對于一道數(shù)列問題，其給出了首項(xiàng)及第n項(xiàng)，要求求出數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大，并求出最大值.解這類問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生了解，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的性質(zhì)，因此可以應(yīng)用求函數(shù)極值的思想來分析數(shù)列問題.

三、應(yīng)用數(shù)列的圖像性質(zhì)，分析數(shù)列的數(shù)學(xué)關(guān)系

有一些數(shù)列習(xí)題，它沒有明確給出數(shù)列的每一項(xiàng)，只是給出了每項(xiàng)之間的抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后要求根據(jù)這些數(shù)學(xué)關(guān)系來分析另外的項(xiàng)的數(shù)學(xué)關(guān)系.因?yàn)檫@類習(xí)題沒有給出具體的數(shù)字，所以通常難以應(yīng)用數(shù)列公式解答.此時，教師要讓學(xué)生意識到，既然數(shù)列擁有函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)有圖象性質(zhì)，那么這意味著數(shù)列也有圖象性質(zhì).學(xué)生可以依照文本描述的數(shù)學(xué)關(guān)系來畫函數(shù)圖象，然后在函數(shù)圖象中分析數(shù)學(xué)關(guān)系.

對于這道題，學(xué)生難以直接應(yīng)用數(shù)列公式來判斷項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系.為了明晰數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，可以繪制函數(shù)圖象（如圖1）.根據(jù)已知條件，繪制出粗略的函數(shù)圖象，由S5S8構(gòu)成的函數(shù)圖象可知，Sn的圖像是一個開口向下的拋物線.視等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為函數(shù)，Sn為函數(shù)因變量，n為函數(shù)自變量，由圖1可知d<0，a7=0，S9

教師要通過習(xí)題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列知識時，讓學(xué)生掌握歸納思想、函數(shù)思想、數(shù)列思想這三種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用方法.教師開展這樣的教學(xué)活動，一方面，能讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)思想的適用特征及應(yīng)用的方法;另一方面，可引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決各種數(shù)列問題.