基于響應面法的永磁電機轉(zhuǎn)矩多目標優(yōu)化

杜曉彬，黃開勝，譚耿銳，黃 信

(廣東工業(yè)大學，廣州 510006)

0 引 言

注塑機作為塑膠制品的主要加工設(shè)備，近年來不斷發(fā)展，并由傳統(tǒng)的以異步電動機拖動的機型逐步過渡到以永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)來拖動[1-2]。相較于異步電動機，PMSM損耗較小，功率因數(shù)和效率較高，且控制性能良好。然而，在工業(yè)生產(chǎn)中，若注塑機存在較大的轉(zhuǎn)矩波動，則會影響到生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，導致產(chǎn)品合格率的下降；而在制成各種形狀的塑料制品中，常常要求注塑機有較大的轉(zhuǎn)矩輸出。故對于注塑機用PMSM進行轉(zhuǎn)矩優(yōu)化很有必要。

當前電機設(shè)計中，主要從電機控制和電機本體設(shè)計兩個方面對電機輸出轉(zhuǎn)矩進行優(yōu)化。文獻[3]從優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)、溫度場分析、機械應力分析方面入手，分析了槽口寬度、極槽配合、磁鋼參數(shù)對轉(zhuǎn)矩波動的影響。文獻[4]采用有限元法，分析了極槽配合和磁鋼參數(shù)對于紋波轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，結(jié)果表明，選擇合適的磁鋼參數(shù)和極槽配合能有效地降低齒槽轉(zhuǎn)矩，抑制轉(zhuǎn)矩紋波。文獻[5]針對一款風機用PMSM轉(zhuǎn)矩波動比較大的特點，采用不等磁鋼厚度的方法，降低了轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)，使電機性能得到優(yōu)化。文獻[6] 提出一種通過將有限狀態(tài)模型預測控制運用于無位置傳感器的無刷直流電動機方法來抑制換相轉(zhuǎn)矩脈動。

本文以一臺36槽8極表貼式PMSM為對象，通過有限元仿真軟件建立模型，為優(yōu)化電機輸出轉(zhuǎn)矩，以磁鋼厚度、偏心距、極弧系數(shù)為優(yōu)化參數(shù)，對電機輸出轉(zhuǎn)矩的3個參數(shù)，即轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)、起動轉(zhuǎn)矩值、輸出轉(zhuǎn)矩均值進行優(yōu)化。采用了響應面法(以下簡稱RSM)中心組合設(shè)計(以下簡稱CCD)模型構(gòu)建了樣本數(shù)據(jù)組，并采用多元二次模型將實驗樣本數(shù)據(jù)和實驗結(jié)果進行擬合，并求得其最優(yōu)參數(shù)結(jié)果。通過有限元仿真軟件檢驗該結(jié)果，證明了利用RSM能有效優(yōu)化電機的輸出轉(zhuǎn)矩。

1 RSM實驗設(shè)計流程

1.1 RSM數(shù)學模型

RSM是根據(jù)合理設(shè)計的實驗方法，組成不同水平實驗參數(shù)的配對組合進行實驗，通過多元二維乃至多元高維的擬合回歸方程對實驗樣本數(shù)據(jù)進行擬合回歸，并根據(jù)方差分析的方法對擬合結(jié)果進行評價，以達到求得最優(yōu)解的結(jié)果[7]。常用的RSM有Box-Behnken設(shè)計(以下簡稱BBD)、CCD與均勻外殼設(shè)計(以下簡稱USU)3種方法。相對于其他兩種方法，CCD能將各因素的高水平安排在同一個組內(nèi)，對因素和水平的組合具有廣泛的適用性[8-9]，故本文采用CCD來進行優(yōu)化。

圖1CCD布點示意圖

采用磁鋼厚度、偏心距、極弧系數(shù)3個試驗變量作為響應面的輸入變量，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)、起動轉(zhuǎn)矩幅值、轉(zhuǎn)矩均值為響應量，當輸入變量在小范圍內(nèi)變化時，可以采用多元二維模型進行擬合，并且考慮變量交互作用，則擬合模型：

(1)

式中:β0為模型截距;β1i,β2i,β3i為模型系數(shù);ε為模型誤差;xi代表輸入變量;f為響應量。

1.2 響應面最優(yōu)解求解

通過最小二乘法對數(shù)據(jù)進行擬合，則擬合結(jié)果：

(2)

在響應面中，當逼近最優(yōu)解時，響應面的曲率與實際模型的曲率誤差很小，則模型中存在最優(yōu)解的必要條件為響應函數(shù)的一階偏導數(shù)為零。即：

(3)

則響應面的最優(yōu)解：

(4)

2 PMSM模型建立以及響應面優(yōu)化

2.1 PMSM初始模型建立及分析

本文采用36槽8極表貼式PMSM模型，相關(guān)初始參數(shù)如表1所示。利用ANSYS Maxwell 2D軟件建立模型，仿真得到轉(zhuǎn)矩波形，如圖2所示。

表1 PMSM初始模型相關(guān)參數(shù)

圖2初始模型輸出轉(zhuǎn)矩波形

由圖2可知，起動轉(zhuǎn)矩幅值Tm為808.24N·m，輸出轉(zhuǎn)矩均值Tavg為558.80 N·m，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)按照如下公式計算：

(5)

式中:Tmax,Tmin為穩(wěn)定下的最大、最小瞬時轉(zhuǎn)矩。經(jīng)計算，初始模型轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)為1.94%。

2.2 表貼式磁鋼參數(shù)變化對PMSM性能的影響

相對于內(nèi)置式磁鋼，表貼式磁鋼在PMSM中應用更為廣泛，其優(yōu)點是能使得氣隙磁密更加正弦化，提高電機的性能[10]。在進行電機設(shè)計時，磁鋼厚度、偏心距和極弧系數(shù)是磁鋼結(jié)構(gòu)的主要設(shè)計變量。

對于磁鋼厚度來說，磁鋼厚度過小會造成加工難度，且在極限工況下會造成磁鋼的不可逆退磁，也會影響著起動轉(zhuǎn)矩幅值和輸出轉(zhuǎn)矩效率[11-12]；若是采用過厚的磁鋼，則會造成材料的浪費。故本文選取的磁鋼厚度在4.1～4.5 mm之間。

對于偏心距和極弧系數(shù)來說，選擇恰當?shù)钠木嗪蜆O弧系數(shù)，能有效地降低齒槽轉(zhuǎn)矩；同時使得氣隙磁密擁有較大的正弦化，降低氣隙磁密的諧波畸變率，對于轉(zhuǎn)矩波動有抑制作用。故本文選取偏心距在18～22 mm范圍內(nèi)，極弧系數(shù)在0.6～0.85范圍內(nèi)。

2.3 RSM模型擬合回歸及模型評價

根據(jù)CCD模型理論，選取各個因素變量的水平表如表2所示，實驗組合安排以及實驗結(jié)果如表3所示。

表2 實驗因素水平表

表3 CCD實驗安排及有限元仿真結(jié)果

采用有限元軟件按照表3實驗組進行仿真，由于在有限元軟件ANSYS Maxwell 2D計算過程中采用自適應剖分，即在計算過程中不斷根據(jù)計算結(jié)果進一步自動剖分，導致同樣參數(shù)的PMSM模型剖分與計算結(jié)果有細微的差別，所以，實驗組15～19結(jié)果會有細微不同。

仿真結(jié)果利用Design-Expert進行統(tǒng)計分析計算，采用多元二維的模型對實驗結(jié)果進行擬合，并剔除不顯著的變量后修正模型，則轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)Km，起動轉(zhuǎn)矩幅值Tm，輸出轉(zhuǎn)矩均值Tavg，關(guān)于3個優(yōu)化參數(shù)的最優(yōu)模型：

Km=1.86+0.019x1-0.13x2-0.50x3+

(6)

Tm=823.31+20.17x1-7.65x2+45.35x3+

0.25x1x2+1.28x1x3-2.67x2x3+

(7)

Tavg=571.13+14.59x1-6.57x2+45.13x3+

0.14x1x2+1.13x1x3-2.72x2x3+

(8)

為評價模型的擬合程度，采用方差分析的方法對3個擬合模型進行評價，各項的顯著性由P值判定。從表4、表5、表6可以看出，對于轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)Km，起動轉(zhuǎn)矩幅值Tm和轉(zhuǎn)矩均值Tavg的擬合模型P值皆小于0.05，說明模型擬合結(jié)果良好，具有統(tǒng)計學意義。3個模型擬失值的P值均大于0.05，說明擬合結(jié)果的誤差較小，誤差不顯著?；貧w方程的校正決定系數(shù)可以在考慮自變量個數(shù)的影響下對模型的優(yōu)劣進行評價，并且判定實驗因素與響應之間關(guān)系是否顯著。由Design-Expert統(tǒng)計分析結(jié)果顯示Km，Tm，Tavg的校正決定系數(shù)分別為0.973 9，0.996 0，0.998 2，均大于0.9，實驗因素與響應之間關(guān)系顯著，模型充分表示實驗因素與響應之間的關(guān)系。

表4 Km擬合模型方差分析

表5 Tm擬合模型方差分析

表6 Tavg擬合模型方差分析

由Design-Expert軟件進行分析計算，可以得到模型的最優(yōu)解：磁鋼厚度4.5 mm，偏心距21.87 mm，極弧系數(shù)0.84。得到的PMSM最優(yōu)結(jié)果：轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)Km為1.59%，Tm為874.08 N·m，Tavg為613.94 N·m。

3 有限元仿真分析

為了驗證RSM分析得到的最優(yōu)參數(shù)解，利用有限元軟件ANSYS Maxwell 2D建立新模型，模型參數(shù)按照分析結(jié)果設(shè)置，考慮到實際工藝情況，磁鋼厚度取值為4.5 mm，偏心距取值21.9 mm，極弧系數(shù)取值0.84。仿真結(jié)果如圖3所示，可以看出，輸出轉(zhuǎn)矩波動明顯減小了，為1.54%，且起動轉(zhuǎn)矩的幅值增大，為873.08 N·m，輸出轉(zhuǎn)矩均值也有了一定的提高，為612.63 N·m。

圖3優(yōu)化前后模型轉(zhuǎn)矩波形對比

4 結(jié) 語

本文研究了一種優(yōu)化PMSM輸出轉(zhuǎn)矩的方法。針對影響電機輸出轉(zhuǎn)矩的參數(shù)變量，即磁鋼厚度、偏心距、極弧系數(shù)，采用RSM與有限元相結(jié)合的方法，利用CCD模型，安排了實驗水平的組合搭配，通過有限元仿真實驗得到輸出轉(zhuǎn)矩的3個參數(shù)，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)、起動轉(zhuǎn)矩幅值和輸出轉(zhuǎn)矩均值作為響應量，構(gòu)建變量與響應量的響應函數(shù)。通過方差分析對響應函數(shù)的合理性進行了評價，利用Design-Expert軟件進行分析計算，得到最優(yōu)解。結(jié)果表明，采用RSM與有限元相結(jié)合的方法能有效地優(yōu)化PMSM的輸出轉(zhuǎn)矩，驗證了該方法的準確性與可行性。