偶合KdV方程的行波解分支

全壽湘， 趙海霞， 唐生強(qiáng)

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學(xué) 廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004)

在非線性波研究中，偶合KdV方程為[1]：

qt+aqnqx+brmrx+βqxxx=0；

(1)

rt+kqlrx+αrxxx=0。

(2)

其中，q=q(x,t),r=r(x,t)，a、b、α、β、k為非零常數(shù)，l、m、n為正整數(shù)。偶合KdV方程是描述雙層淺水波動(dòng)力學(xué)的主要模型，能解釋諸如漏油事件引起的雙層流體的物理現(xiàn)象。Krishnan等[1]用圖方法推導(dǎo)了偶合KdV方程解的結(jié)構(gòu)，討論了在非線性冪律的情形下，當(dāng)方程僅有1個(gè)或2個(gè)非線性冪律參數(shù)支持拓?fù)涔伦咏饣蚣げń鈺r(shí)，該方程有拓?fù)涔伦咏?，并用乘方法推出守恒定律，以此求出偶合KdV方程的守恒量，但其并未研究該方程的行波解的動(dòng)力系統(tǒng)分支性態(tài)。為此，研究l=m=n條件下偶合KdV方程行波解的動(dòng)力系統(tǒng)分支性態(tài)，并給出在這個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)空間的所有行波解。

1 偶合KdV方程的動(dòng)力系統(tǒng)

令r(x,t)=σq(x,t),σ≠0，l=m=n，則式(1)、(2)可化為：

(3)

(4)

?=0，

(5)

(6)

(7)

顯然，式(7)是一個(gè)Hamilton系統(tǒng)，它的首次積分為

(8)

系統(tǒng)(7)是一個(gè)五參數(shù)空間(k，n，α，c，g)的平面自治動(dòng)力系統(tǒng)，對(duì)一個(gè)固定的α和不同的n、k，研究當(dāng)參數(shù)c、g變化時(shí)，在相平面(φ,y)內(nèi)系統(tǒng)(7)的相圖的分支。由于所考慮的物理模型對(duì)有界行波解才有意義，僅關(guān)注系統(tǒng)(7)的有界解。

2 系統(tǒng)(7)的相圖分支

只討論α>0，k>0時(shí)的情形，若α<0或k<0，則可作α→-α，k→-k，c→-c，g→-g變換，將其轉(zhuǎn)化為原系統(tǒng)。記

有

當(dāng)f(φ0)<0時(shí)，系統(tǒng)(7)無(wú)奇點(diǎn)；當(dāng)f(φ0)>0，c>0，f(0)=g>0或g<0時(shí)，系統(tǒng)(7)存在2個(gè)奇點(diǎn)：Si(φi,0),i=1,2,φ1<0<φ2或0<φ1<φ2；當(dāng)f(φ0)>0，c<0，f(0)=g>0或g<0時(shí)，系統(tǒng)(7)存在2個(gè)奇點(diǎn)：Si(φi,0),i=1,2,φ1<0<φ2或φ1<φ2<0。

在(c，g)參數(shù)平面分別隱含下述關(guān)系：

假設(shè)M(φi，yi)是系統(tǒng)(7)的線性化系統(tǒng)在奇點(diǎn)(φi，yi)的系數(shù)矩陣，則有

由平面動(dòng)力系統(tǒng)理論可知，對(duì)一個(gè)平面自治可積系統(tǒng)的奇點(diǎn)：若J<0，則奇點(diǎn)是一個(gè)鞍點(diǎn)；若J>0，且tr(M(φi,yi))=0，則奇點(diǎn)是一個(gè)中心點(diǎn)；若J>0，且(tr(M(φi,yi)))2-4J(φi,yi)=0，則奇點(diǎn)是一個(gè)結(jié)點(diǎn)；若J=0，且奇點(diǎn)的指標(biāo)為0，則奇點(diǎn)是一個(gè)高階奇點(diǎn)。

對(duì)式(8)所定義的函數(shù)H(φ,y)，記

在(c，g)參數(shù)平面，系統(tǒng)(7)的相圖分支曲線Li,i=1,2,3，直線g=0和c=0將參數(shù)空間劃分成若干個(gè)區(qū)域，如圖1所示。

圖1 k>0時(shí)，系統(tǒng)(7)在(c,g)參數(shù)平面內(nèi)的分支曲線

當(dāng)n=2l1-1時(shí)，A2區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，系統(tǒng)(7)相圖

如圖2所示。

當(dāng)n=2l1時(shí)，B1與B4、B2與B3、B5與B6區(qū)域的相圖分別關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖3所示。

3 當(dāng)n=1，n=2，g≠0時(shí)，方程(5)的顯式精確行波解

3.1 n=1時(shí)方程(5)的顯式精確行波解

當(dāng)n=1時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(7)，分支曲線如圖1(a)所示。

圖2 n=2l1-1時(shí)系統(tǒng)(7)的相圖

圖3 n=2l1時(shí)，系統(tǒng)(7)的相圖

當(dāng)(c,g)∈A1時(shí)，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h2,h1)有代數(shù)方程：

(9)

由式(9)可得，

解之得周期波解：

當(dāng)(c,g)∈A1時(shí)，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h1為系統(tǒng)(7)過(guò)奇點(diǎn)(φ1,0)的同宿軌，其代數(shù)方程為

(10)

由式(10)可得,

解之得孤立波解：

3.2 n=2時(shí)方程(5)的顯式精確行波解

當(dāng)n=2時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(7)，分支曲線如圖1(b)所示。圖3中B1與B4、B2與B3、B5與B6的相圖分別關(guān)于y軸對(duì)稱，因此只討論(c,g)∈B1，(c,g)∈B2，(c,g)∈B5的精確解。

當(dāng)(c,g)∈B1，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h1,+∞)有代數(shù)方程：

(11)

由式(11)可得

解之得周期波解：

φ(ξ)=

其中，

當(dāng)(c,g)∈B2，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h，h∈(h1，h3]及h∈(h2,+∞)的代數(shù)方程形同式(11)，故其解的情形與(c,g)∈B1相似，此處不再贅述。由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h，h∈(h3,h2)有代數(shù)方程：

φD<φE<φF<φG。

(12)

由式(12)可得，

解之得周期波解：

φ(ξ)=

其中，

由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h2為系統(tǒng)(7)過(guò)奇點(diǎn)(φ2,0)的同宿軌，其代數(shù)方程為：

(13)

由式(13)可得，

解之得孤立波解：

φ(ξ)=

當(dāng)(c,g)∈B5，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h，h∈(h1，+∞)的代數(shù)方程形同式(11)，故其解的情形與(c,g)∈B1相似，此處不再贅述。

4 g=0時(shí)方程(5)的顯式精確行波解

4.1 方程(5)的孤立波解

當(dāng)c>0時(shí)，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=0為系統(tǒng)(7)過(guò)奇點(diǎn)(0,0)的同宿軌(圖2(b)，圖3(g))，其代數(shù)方程為

(14)

由式(14)可得，

解之可得

當(dāng)n=2l1時(shí)，

當(dāng)n=2l1-1時(shí)，

當(dāng)c<0，n=1時(shí)，由(8)所定義的軌線H(φ,y)=h1為系統(tǒng)(7)過(guò)奇點(diǎn)(φ1,0)的同宿軌(圖2(c))，φ1=2c/k，其代數(shù)方程為

(15)

由式(15)可得

解之得孤立波解：

4.2 方程(5)的周期波解

當(dāng)n=1時(shí)，由式(8)所定義的H(φ,y)=h，h∈(h2,h1)(圖2(b)、(c))的代數(shù)方程形同方程(9)，故其解與之相似，此處不再贅述。

當(dāng)n=2,c>0時(shí)(圖3(g))，由式(8)所定義的H(φ,y)=h，h∈(h1,0)有代數(shù)方程：

0<φM<φN。

(16)

由式(16)可得

解之得周期波解：

φ(ξ)=

由式(8)所定義的H(φ,y)=h，h∈(0,+∞)有代數(shù)方程：

(17)

由式(17)可得，

解之得周期波解：

當(dāng)n=2,c<0(圖3(h))，由式(8)所定義的H(φ,y)=h，h∈(0,+∞)的代數(shù)方程形同方程(17)，故其解的情形與之相似，此處不再贅述。

5 方程(4)的光滑孤立波解和無(wú)窮多光滑周期波解

2)若n=2l1-1，g=0，則相對(duì)于由(7)所定義的曲線H(φ,y)=h1的分支，方程(4)有1個(gè)光滑峰形孤立波解；相對(duì)于由系統(tǒng)(7)所定義的曲線H(φ，y)=h，h∈(h2,h1)的分支，方程(4)有一族光滑周期波解(見(jiàn)圖2(b)、(c))。

3)若n=2l1，c>0，g=0，則相對(duì)于由系統(tǒng)(7)所定義的曲線H(φ,y)=0的分支，方程(4)有2個(gè)光滑孤立波解，分別為谷形光滑孤立波解和峰形光滑孤立波解；相對(duì)于由系統(tǒng)(7)所定義的曲線H(φ，y)=h，h∈(h1,0)及h∈(0,+∞)的分支，方程(4)有2族光滑周期波解(見(jiàn)圖(3(g)))。

4)若n=2l1，c<0，則相對(duì)于由系統(tǒng)(7)所定義的曲線H(φ，y)=h，h∈(h1,+∞)的分支，方程(4)有1族光滑周期波解(見(jiàn)圖3(e)、(f)、(h))。

一般地，在g≠0，h≠0情況下，使用首次積分式(8)和系統(tǒng)(7)的第一個(gè)方程，不可能得到方程(4)的用參數(shù)表示的顯式精確行波解。

6 結(jié)束語(yǔ)

利用平面動(dòng)力系統(tǒng)理論，分析系統(tǒng)(7)在給定參數(shù)區(qū)域內(nèi)的分支情況，并作出相應(yīng)的相圖。結(jié)合相圖，得到了幾種參數(shù)區(qū)域下偶合KdV方程的有界行波解的參數(shù)表達(dá)式。得到了不同參數(shù)條件下，偶合KdV方程存在孤立波解和無(wú)窮多光滑周期波解的充分條件。