基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念教學(xué)

鄒衛(wèi)剛 俞小英

摘要：數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)某一件數(shù)學(xué)事物由感性認(rèn)知上升為理性認(rèn)知的一種概括定義，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的基礎(chǔ)，是激發(fā)與升華數(shù)學(xué)思維的保障。而高中數(shù)學(xué)課堂中，從學(xué)生學(xué)習(xí)角度分析，概念教學(xué)基本分為概念認(rèn)知、概念辨析、概念應(yīng)用這三個(gè)環(huán)節(jié)，而本文研究的就是概念認(rèn)知這個(gè)第一環(huán)節(jié)。學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，概念的認(rèn)知是教師給予，學(xué)生在探索中發(fā)現(xiàn)生成的，學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)理解是至關(guān)重要的。很多教師認(rèn)為概念的生成是浪費(fèi)時(shí)間的過(guò)程，只要通過(guò)自己的解說(shuō)，將概念解釋清晰，學(xué)生努力接受并理解，概念認(rèn)識(shí)環(huán)節(jié)就成功完成。事實(shí)上，對(duì)于數(shù)學(xué)概念，若學(xué)生被動(dòng)地接受理解，更多的是對(duì)概念的記憶性理解，而如果是學(xué)生探索過(guò)程中逐漸生成概念，更多的是對(duì)概念的本質(zhì)性理解，顯然，后者是正確之道。本文我們將根據(jù)不同的概念類(lèi)型，通過(guò)實(shí)際教學(xué)案例，談?wù)劯拍钌傻南鄳?yīng)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);核心素養(yǎng);概念教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）01-0110

一、“命名型概念”的生成，尋找本質(zhì)

高中的數(shù)學(xué)概念有些實(shí)際上是“穿了新衣的舊人”。有的概念從本質(zhì)上來(lái)講并不是新內(nèi)容，是我們?cè)诟咧星暗膶W(xué)習(xí)中已理解并掌握的知識(shí)，因?yàn)橹R(shí)體系或其他原因的需求，才給予新的命名，形成了新的概念，這種概念筆者將它歸類(lèi)為“命名型概念”，此類(lèi)概念的生成，只需將已學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)強(qiáng)化，重新命名，并讓學(xué)生明確是“舊人新衣”，概念自然就生成，而且明確概念的本質(zhì)。

案例1：函數(shù)的零點(diǎn)概念教學(xué)

分析：“函數(shù)的零點(diǎn)”這一概念，實(shí)質(zhì)是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。而根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知，函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)以及它的橫坐標(biāo)是已經(jīng)掌握的知識(shí)。因此該節(jié)課只需復(fù)習(xí)強(qiáng)化函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，然后，將這個(gè)舊知識(shí)取個(gè)新名稱(chēng)即可。筆者認(rèn)為該概念的生成可以設(shè)計(jì)如下。

問(wèn)題1：請(qǐng)完成以下表格，并回憶以前所學(xué)的相關(guān)知識(shí)。

問(wèn)題2：從以上表格中，你能否總結(jié)出方程的根和相應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系？

問(wèn)題3：某一函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)很重要，它和相應(yīng)方程的根相等，那么我們是否可以給他定義一個(gè)名詞？它的本質(zhì)是f（x）=0時(shí)x在坐標(biāo)軸上的取值，因此，我們把它稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn)。

小結(jié)：函數(shù)的零點(diǎn)，就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是我們初中就已認(rèn)知的內(nèi)容，如今我們給了它一個(gè)新的名詞，同時(shí)它與相應(yīng)方程的跟相等。

在此案例中，很自然地就生成了函數(shù)零點(diǎn)的概念，學(xué)生也十分清晰，此概念從本質(zhì)上而言，并不算是新知識(shí)，只是舊的內(nèi)容給了新的名稱(chēng)。概念掌握了，本質(zhì)也明確了，緣由也清楚了。

二、“相似型概念”的生成，尋找同胞

高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系決定了我們學(xué)習(xí)的很多概念都存在相似性。比如指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、等差數(shù)列和等比數(shù)列等，在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，只需根據(jù)同胞的內(nèi)容與特征，通過(guò)類(lèi)比的方式，自主完成概念的生成即可。

案例2：等比數(shù)列的概念教學(xué)

分析：在學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)，學(xué)生剛剛完成等差數(shù)列的研究與學(xué)習(xí)。根據(jù)兩個(gè)概念的相似性，我們只需復(fù)習(xí)等差數(shù)列，類(lèi)比總結(jié)，讓學(xué)生自主生成等比數(shù)列概念。

問(wèn)題1：根據(jù)已學(xué)知識(shí)填寫(xiě)表格第一列空格，并通過(guò)類(lèi)比的方法，猜想并填寫(xiě)表格第二列空格。

問(wèn)題2：請(qǐng)根據(jù)以上表格，探究等比數(shù)列與等差數(shù)列在本質(zhì)上的相似性，并說(shuō)說(shuō)他們的特殊性對(duì)我們研究數(shù)列的意義與作用。

問(wèn)題3：請(qǐng)根據(jù)以上表格，探究等比數(shù)列和等差數(shù)列的區(qū)別，并說(shuō)一說(shuō)我們?cè)诮鉀Q等比數(shù)列中要注意的細(xì)節(jié)問(wèn)題。

小結(jié)：等比數(shù)列和等差數(shù)列在實(shí)質(zhì)上的形似性在于：數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)都有簡(jiǎn)單并特殊的關(guān)系，這層關(guān)系使我們較為方便的研究這兩類(lèi)數(shù)列，同時(shí)也可以在實(shí)際生活中運(yùn)用知識(shí)解決符合這兩類(lèi)數(shù)列模型的問(wèn)題。

此案例中，通過(guò)類(lèi)比的方法，學(xué)生通過(guò)已學(xué)知識(shí)，輕松自主完成對(duì)等比數(shù)列這一概念的生成，并且能夠充分挖掘兩類(lèi)數(shù)列的共同特征，從而進(jìn)一步加深對(duì)兩類(lèi)特殊數(shù)列的認(rèn)識(shí)與理解。如此自主類(lèi)比生成的概念，是無(wú)需教師后期強(qiáng)化記憶的，從認(rèn)知角度而言，這是學(xué)生自發(fā)形成的知識(shí)，其印象的深刻性是教師的傳授所無(wú)法比擬的。

三、“全新型概念”的生成，尋找緣由

某些高中數(shù)學(xué)概念對(duì)于學(xué)生而言是陌生人。在這種情況下，概念教學(xué)往往會(huì)比較困難，如果引導(dǎo)生成設(shè)計(jì)不夠合理，概念的給出就會(huì)顯得十分突兀，最后的結(jié)果只能是學(xué)生被動(dòng)理解。這種情況下，教師不妨嘗試把此概念形成的緣由和背景用形象的方式展示給學(xué)生，讓學(xué)生了解我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)此概念，此概念的學(xué)習(xí)對(duì)我們數(shù)學(xué)知識(shí)體系的銜接與完善，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用有何作用。

案例3：集合的概念教學(xué)

分析：集合，是學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的第一個(gè)概念。因此，如何自然地清晰生成此概念，對(duì)于學(xué)生對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心都至關(guān)重要。其實(shí)，集合是我們高中代數(shù)的重要工具，因此，我們?cè)谝龑?dǎo)教學(xué)時(shí)，完全可以把這一目的意義展示給學(xué)生，讓學(xué)生知曉學(xué)習(xí)此概念的緣由。

問(wèn)題1：某校很多班級(jí)的學(xué)生一起在操場(chǎng)上上體育課，此時(shí)聽(tīng)到教師吹哨喊：“集合！”，高一（1）班的A同學(xué)對(duì)此口令沒(méi)有反應(yīng)，繼續(xù)打球。教師補(bǔ)充一句：“高一（2）班同學(xué)，集合！”A同學(xué)聽(tīng)到后，立馬停止活動(dòng)，迅速集合。請(qǐng)你分析一下這兩個(gè)情景的原因？

問(wèn)題2：生活中，我們經(jīng)常需要根據(jù)某一需求將某些事物歸類(lèi)，如所有的自然數(shù)，我們校園內(nèi)的所有梧桐樹(shù)，A同學(xué)的所有文具等，我們能否用一個(gè)統(tǒng)一的概念來(lái)定義它們呢？如此既可以方便我們的描述，又可以完善我們的數(shù)學(xué)體系。

如此引導(dǎo)，學(xué)生比較自然地接受集合是我們實(shí)際生活及數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常碰到的一個(gè)概念，我們有必要將其歸納，以方便我們今后的學(xué)習(xí)。同時(shí)，也將集合這一概念的特性在概念的生成中形象地展示，學(xué)生可以輕松明確集合的確定性這一性質(zhì)。

四、“抽象型概念”的生成，尋找代表

數(shù)學(xué)的許多概念，都是對(duì)生活中事物的理性認(rèn)知，是對(duì)具體事物的抽象定義。因此，在實(shí)施抽象型概念的教學(xué)時(shí)，我們就要還原概念的具體模型，尋找抽象概念的代表，還抽象于形象，拉近學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域，降低認(rèn)知難度，從而較好地生成概念。

案例4：函數(shù)概念的教學(xué)

分析：函數(shù)的概念是高中抽象概念的典型代表，很多時(shí)候，教師灌輸式的教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)突然出現(xiàn)的集合和對(duì)應(yīng)關(guān)系不知所云，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼心理，打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與信心。筆者認(rèn)為，對(duì)于抽象的概念必須還原成具體形象的實(shí)例，讓學(xué)生感受從具體到抽象的過(guò)程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念的生成。

問(wèn)題1：某汽車(chē)以60km/小時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為S千米，行駛時(shí)間為t小時(shí)，先填寫(xiě)下表，并用t的式子表示S。

以上事件中，有幾個(gè)量的取值在發(fā)生變化？有幾個(gè)量數(shù)值未發(fā)生變化？常量和變量如何定義？變量和變量之間有無(wú)某種聯(lián)系？你能否運(yùn)用初中所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)描述這種聯(lián)系？在此，學(xué)生會(huì)提到自變量、應(yīng)變量、正比例函數(shù)等知識(shí)。

問(wèn)題2：下列四個(gè)圖像中，分別有哪幾個(gè)圖像與下表述的三件事較為吻合？

（1）離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)自己好像忘帶作業(yè)本，于是停下在書(shū)包尋找，沒(méi)找到，就返回家，找到作業(yè)本再上學(xué)。

（2）一路勻速汽車(chē)上學(xué)，中間遇到一個(gè)紅綠燈稍等片刻，后繼續(xù)勻速抵達(dá)學(xué)校。

（3）出發(fā)上學(xué)，走了一段后發(fā)現(xiàn)快要遲到了，于是加速一路小跑，來(lái)到學(xué)校。

由圖像可得知，每一個(gè)確定的時(shí)刻，都有一個(gè)確定的距離值與它對(duì)應(yīng)，讓學(xué)生再一次體會(huì)學(xué)生離家的距離與學(xué)生離家的時(shí)間兩個(gè)變量之間的這種關(guān)系。

問(wèn)題3：以上兩個(gè)問(wèn)題中，都是一個(gè)變量和另一個(gè)變量的一種關(guān)系，并且確定其中的甲變量的值，即可確定乙變量的值，這種變量之間的關(guān)系在問(wèn)題1中我們可以表述成正比例函數(shù)，那么問(wèn)題2中呢？它們是不是也算一種函數(shù)關(guān)系？你是否能用已學(xué)的函數(shù)表達(dá)式來(lái)表示？

通過(guò)兩個(gè)具體問(wèn)題，揭示了函數(shù)的本質(zhì)是變量與變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)到初中所學(xué)的三類(lèi)函數(shù)是具體的函數(shù)，而我們的函數(shù)應(yīng)該是具有相同特征的變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的抽象概括。這樣，既具體還原了函數(shù)的實(shí)例，同時(shí)又明確了函數(shù)這個(gè)抽象概念的本質(zhì)特征是什么。用實(shí)際問(wèn)題來(lái)揭示變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，顯然比直接用抽象符號(hào)去教學(xué)要形象得多，學(xué)生也可以從函數(shù)的學(xué)習(xí)中生成函數(shù)的抽象定義。

五、“難點(diǎn)型概念”的生成，尋找階梯

數(shù)學(xué)中的某些概念的理解，往往某些點(diǎn)是學(xué)生難以跨越的難點(diǎn)。若教師在概念生成的教學(xué)設(shè)計(jì)中，能預(yù)設(shè)拆分這個(gè)難點(diǎn)，為學(xué)生搭好臺(tái)階，相信對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確生成概念是十分有幫助的。

案例五：古典概型的概念教學(xué)

分析：古典概型是高中概率問(wèn)題中的一類(lèi)經(jīng)典類(lèi)型，它的兩個(gè)顯著特征（基本事件的有限性和等可能性）是理解概念的關(guān)鍵。而第二個(gè)特征等可能性往往是學(xué)生理解概念中的難點(diǎn)。究竟什么是基本事件等可能，很多學(xué)生是模糊不清的。以至于后面在解決概率問(wèn)題時(shí)，會(huì)將古典概型的公式應(yīng)用至非該概型的問(wèn)題上。筆者認(rèn)為，在教學(xué)中，我們可以利用問(wèn)題串的形式為學(xué)生鋪設(shè)臺(tái)階，然學(xué)生一步一步地體會(huì)等可能性的真正意義。

問(wèn)題1：摸球游戲中，假設(shè)袋中有大小形狀相同的四個(gè)球，紅、黃、白、黑各一個(gè)，若從中任取一球，則得到紅球的概率是多少？

問(wèn)題2：摸球游戲中，假設(shè)袋中裝有大小形狀相同的紅球3個(gè)，白球1個(gè)，從中隨機(jī)抽取一球，問(wèn)得到紅球的概率是多少？（該題中，學(xué)生有意見(jiàn)分歧，絕大多數(shù)學(xué)生覺(jué)得答案當(dāng)然應(yīng)該是1/4，但部分學(xué)生根據(jù)古典概型計(jì)算方法，列出了基本事件{紅球}、{白球}2個(gè)，于是認(rèn)為答案應(yīng)該是1/2。這時(shí)，學(xué)生顯然還未對(duì)基本事件的等可能性有準(zhǔn)確把握，于是繼續(xù)設(shè)問(wèn)。）

問(wèn)題3：摸球游戲中，假設(shè)袋中裝有100個(gè)大小形狀相同的球，其中紅球99個(gè)，白球1個(gè)，從中任取一球，則得到紅球的概率是多少？（類(lèi)比上問(wèn)，此題可有{紅球}、{白球}共2個(gè)基本事件，但這個(gè)數(shù)字上的差距，對(duì)比問(wèn)題二更容易讓學(xué)生意識(shí)到對(duì)等可能基本事件的設(shè)定，此時(shí)，很多學(xué)生開(kāi)始糾正問(wèn)題二中的錯(cuò)誤理解）

問(wèn)題4：在問(wèn)題2與問(wèn)題3的摸球游戲中，為確保所列基本事件是等可能的，我們應(yīng)該如何看待那99個(gè)大小形狀完全相同的紅球？（學(xué)生開(kāi)始意識(shí)到99個(gè)紅球應(yīng)該看成是99個(gè)不同的個(gè)體。筆者對(duì)學(xué)生回答加以肯定并強(qiáng)調(diào)，這99個(gè)球本來(lái)就是99個(gè)不同的個(gè)體）

問(wèn)題5：學(xué)生在做題時(shí)，如何區(qū)分這99個(gè)大小形狀相同的紅球呢？（很多學(xué)生搶答：可以編號(hào)。于是，引出了古典概型中學(xué)生最容易犯錯(cuò)的問(wèn)題：不同的個(gè)體應(yīng)看成不同的元素，我們可以將每一個(gè)個(gè)體編號(hào)，這樣可以確保列出的基本事件是等可能的，于是該問(wèn)題中我們應(yīng)列出{紅球1號(hào)}、{紅球2號(hào)}、{紅球3號(hào)}…{紅球99號(hào)}、{白球}這100個(gè)基本事件。）

以上階梯式問(wèn)題的巧妙設(shè)置，對(duì)學(xué)生理解古典概型中的等可能基本事件是十分有幫助的。學(xué)生通過(guò)教師設(shè)置的問(wèn)題經(jīng)歷認(rèn)知——獲疑——再次認(rèn)知——釋疑的過(guò)程，層層遞進(jìn)，最終順利生成概念。

總之，作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，概念教學(xué)應(yīng)該引起我們教師的足夠重視。忽略概念，而過(guò)急過(guò)多的強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，往往學(xué)生一知半解，依樣畫(huà)葫蘆，當(dāng)問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式和角度稍有變化時(shí)，學(xué)生往往難以應(yīng)對(duì)。只有對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有生成過(guò)程，才能使學(xué)生深刻理解概念的背景與實(shí)質(zhì)，從而提升學(xué)生理解問(wèn)題的深度與廣度，激發(fā)與升華學(xué)生的思維，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

（作者單位：①浙江省杭州市塘棲中學(xué) ? ?310000;②浙江省杭州市塘棲中學(xué) ? ?310000）