數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

筅山東省淄博市淄川區(qū)磁村中學(xué) 李廣瀟

圖1

一、利用數(shù)形結(jié)合思想比較實(shí)數(shù)的大小

我們知道，比較實(shí)數(shù)大小的方法比較多，如平方法、倒數(shù)法、作差比較法、作商比較法、估算法等.然而，有些比較實(shí)數(shù)大小問題使用這些方法解決比較麻煩，不太奏效，如果借助數(shù)形結(jié)合思想來比較實(shí)數(shù)大小，往往顯得非常簡捷.

例1證明：在這三個數(shù)中，任意兩個數(shù)之和大于第三個數(shù).

圖2

證明：如圖2，構(gòu)造一個邊長為3的正方形ABCD.分別在邊AD、CD上取點(diǎn)E、F，使AE=1，DF=1，則DE=2，CF=2.在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF=；在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=；在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=.在△BEF中，由三角形的三邊關(guān)系定理，可得在、這三個數(shù)中，任意兩個數(shù)之和大于第三個數(shù).

思考：如果一個三角形的三邊長分別為，你會求這個三角形的面積嗎？怎樣求解比較簡捷？

二、利用數(shù)形結(jié)合思想求相遇的次數(shù)

在數(shù)學(xué)上有一個著名的“柳卡問題”，它是利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的典范.一些中考題正是以“柳卡問題”為背景衍生而成的.解答此類中考題也要注意作出一次函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求兩者相遇的次數(shù).

例2一巡邏艇和一貨輪同時從A港口前往相距100千米的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100千米/時和20千米/時，巡邏艇不停地往返于A、B兩港口巡邏（巡邏艇調(diào)頭的時間忽略不計(jì)）.求貨輪從A港口出發(fā)后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次.

分析：首先應(yīng)該明白，無論是巡邏艇同向從后面追趕上貨輪，還是巡邏艇相向從前面與貨輪碰頭，都算相遇.本題若按常規(guī)方法，需要考慮巡邏艇與貨輪行駛的細(xì)節(jié)，即第一次貨輪與從B港口返回的巡邏艇迎面相遇；第二次貨輪與從A港口再次出發(fā)追趕來的巡邏艇相遇……由于貨輪與巡邏艇迎面相遇的路程在改變，巡邏艇從后面追趕貨輪的追及路程也在改變，因而比較麻煩.如果利用數(shù)形結(jié)合，只需作出貨輪從A港口出發(fā)直至行駛到B港口，以及巡邏艇從A港口出發(fā)在兩個港口往返的行駛時間與路程之間的函數(shù)關(guān)系圖，交點(diǎn)的個數(shù)即為貨輪與巡邏艇相遇的次數(shù).

圖3

解：如圖3所示，先作出貨輪從A港口出發(fā)直至行駛到B港口行駛時間與路程之間的函數(shù)關(guān)系圖（用圖中實(shí)線表示），在同一直角坐標(biāo)系中再作出巡邏艇從A港口出發(fā)在兩個港口往返的行駛時間與路程之間的函數(shù)關(guān)系圖（用圖中虛線表示）.從圖中可以看出，實(shí)線與虛線部分一共有4個交點(diǎn)，所以貨輪從A港口出發(fā)后直到B港口與巡邏艇一共相遇了4次.

點(diǎn)評：從圖3可以看出，我們不僅可以求出貨輪與巡邏艇相遇的次數(shù)，而且可以求出每次相遇的時間.

三、利用數(shù)形結(jié)合思想比較字母的大小

比較字母大小的通常方法是從數(shù)軸或函數(shù)圖像上面獲取字母間大小關(guān)系信息，利用不等式的性質(zhì)比較大小，有時很麻煩.有些比較字母大小問題如果能夠根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，可以獲得簡解.

例3已知x1、x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的兩個根，則實(shí)數(shù)x1、x2、a、b的大小關(guān)系是＿＿＿＿＿＿.

分析：表面上看，這是一個一元二次方程有關(guān)的問題，可先求出方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的兩個根，然后比較大小.利用一元二次方程的求根公式及x1＜x2，得x1=a+b-，x2=.x1-a=a+b--a=b-a-.由a＜b，得b-a＞0.顯然b-a＜則＜0.即x1-a＜0.則x1＜a.x2-b=-b==由a＜b， 得b-a＞0. 顯 然b-a＜則＞0.即x2-b＞0.則b＜x2.則x1＜a＜b＜x2.這種解法比較麻煩，主要是因?yàn)閺囊辉畏匠痰慕嵌惹蠼?聯(lián)想到二次函數(shù)的圖像與一元二次方程的關(guān)系，我們可以借助拋物線，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行巧解.

解：實(shí)數(shù)a、b是方程（xa）（x-b）=0的兩個根，它可以看作拋物線y=（x-a）（xb）與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo).方程（x-a）（x-b）=1的兩個根可看作拋物線y=（x-a）（x-b）-1與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo).拋物線y=（x-a）（x-b）-1可由拋物線y=（x-a）（x-b） 向下平移1個單位得到，如圖4所示.觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)x1、x2、a、b的大小關(guān)系為x1＜a＜b＜x2.

點(diǎn)評：顯然這樣求解十分簡捷.初看此題，有一種望而生畏、不知所措之感.注意到二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）-1與y=（x-a）（x-b）的圖像之間的關(guān)系，聯(lián)想到二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，問題迎刃而解.

圖4

初中數(shù)學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合的例子是多方面的，例如，利用數(shù)軸表示正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和0；利用數(shù)軸確定不等式組的解集時，先在數(shù)軸上分別表示出每一個不等式的解集，然后找出公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集；在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個一次函數(shù)的圖像，通過觀察圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)確定對應(yīng)二元一次方程組的近似解；在行程問題中，經(jīng)常通過畫圖理解題意、分析問題；利用拼圖的方法證明勾股定理；通過圖形面積之間的關(guān)系理解平方差公式和完全平方公式的幾何意義等.希望大家能夠真正理解數(shù)形結(jié)合思想，并靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題.