“圓”源不斷

吳曉剛

在每年的中考數(shù)學(xué)大戲里，圓都是重頭戲。有關(guān)圓的中考試題很多來(lái)源于教材，下面，我們擷取兩例，以幫助同學(xué)們固本清源。

【原題再現(xiàn)】蘇科版九（上）57頁(yè)例2：

【解析】連接DB。AB是⊙O的直徑，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，可得∠ADB=90°，再由∠ADC=50°可得∠CDB=40°?！螦CD，∠ABD都是[AD]所對(duì)的圓周角，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”，可得∠ACD=∠ABD=60°，最后利用外角性質(zhì)，可得∠CEB=∠ABD+∠EDB=60°+40°=100°。

【點(diǎn)評(píng)】本題意圖是讓同學(xué)們掌握?qǐng)A周角定理，學(xué)會(huì)通過(guò)構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角來(lái)解決圓中的角度問(wèn)題。一條弦所對(duì)的弧有兩條，本題還可以利用另一個(gè)半圓上的點(diǎn)C，連接BC，構(gòu)造直角∠ACB來(lái)解決。

【解析】連接BD。由AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑可得∠ABD=90°，若∠BAD=50°，則∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°，所以∠ACB=∠D=40°。

【點(diǎn)評(píng)】本題是教材例題的翻版，只是對(duì)圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了異化，單純考查圓周角的知識(shí)，突出了“遇到直徑，構(gòu)造直角”的轉(zhuǎn)化方法。

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積。這僅僅是巧合嗎？請(qǐng)你幫她完成下面的探索。

【點(diǎn)評(píng)】本題是南京市中考數(shù)學(xué)的壓軸題，此題是對(duì)教材習(xí)題的深度挖掘。做這道中考題，同學(xué)們更應(yīng)該汲取的是其中的學(xué)習(xí)方法。研究一個(gè)問(wèn)題要從特殊到一般，思考不受局限，運(yùn)用多種角度、逆向思維，會(huì)有很多精彩的發(fā)現(xiàn)。事實(shí)上，本題可以進(jìn)一步推廣到一般三角形中：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n，∠C=α，則S△ABC=[mntanα2]，同學(xué)們到了高中可以進(jìn)一步驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。

（作者單位：江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）