幾何直觀得結(jié)論 代數(shù)證明把理說

山東省鄒平市第一中學(xué)

扈希峰 (郵編：256200)

山東省鄒平市長山中學(xué)

王海燕 (郵編：256207)

函數(shù)性質(zhì)的探討是數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，在高考試題中，函數(shù)性質(zhì)的分析不僅僅是重點(diǎn)，也經(jīng)常作為整套題中的難點(diǎn)，往往安排在最后一題最后一問中.由于很多這樣的題目表述比較抽象，所給出的參考答案也比較復(fù)雜，并設(shè)計(jì)一些技巧，使得很多學(xué)生望而生畏.如果在平時(shí)的教學(xué)過程中，注重培養(yǎng)觀察能力，提高直觀洞察力，這樣的題目其實(shí)并非真的那么難.

幾何直觀是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)里提出的十個(gè)核心概念之一，標(biāo)準(zhǔn)里提出幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助它可把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.用最通俗的話說幾何直觀就是看圖想事，看圖說理.本文將具體分析幾道“難題”，揭示幾何直觀觀察對(duì)解答代數(shù)問題的啟示作用.

例1(2007年高考全國卷(20))設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x．

(Ⅰ)證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≥2；

(Ⅱ)若對(duì)所有x≥0，都有f(x)≥ax，求a的取值范圍．

(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立)

(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax，則g′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a，

(ⅰ)若a≤2，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)=ex+e-x-a>2-a≥0，故g(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，所以x≥0時(shí)，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．

綜上，滿足條件的a的取值范圍是(-∞，2]．

評(píng)注(1)從(Ⅱ)中“對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax恒成立”可以看到左邊是指數(shù)型函數(shù)，右邊是熟悉的一次函數(shù)，在x=0處的函數(shù)值相同，函數(shù)f(x)在x=0切線的斜率與y=ax的斜率相等，得到相切即臨界位置的情況(如圖1)，很容易得到參數(shù)討論的臨界值，再由幾何意義得到參數(shù)取值范圍，然后在每種情況下進(jìn)行嚴(yán)格證明即可.此做法形象直觀，討論清晰，說理方便.

圖1

(2)通過一些特殊點(diǎn)(端點(diǎn)值，零點(diǎn)值等)，尋求結(jié)論成立的必要條件，進(jìn)而優(yōu)化解題方法.該題(Ⅱ)中通過端點(diǎn)值a=f′(0)=2得到分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而在每種情況下進(jìn)行研究即可.首先,我們要知道一個(gè)簡單的結(jié)論：對(duì)于連續(xù)函數(shù)y=f(x),在x=x0處有f(x0)<0,則必定存在x0的一個(gè)鄰域(x0,x0+ε),使得當(dāng)x∈(x0,x0+ε)時(shí)，都有f(x)<0.

導(dǎo)數(shù)幾何直觀從“形”的角度，端點(diǎn)效應(yīng)是從“數(shù)”的角度對(duì)該問題進(jìn)行解釋和求解.尋找解題的關(guān)鍵點(diǎn)，分類討論的臨界值，整體把握題目，思路清晰，順利解答.

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)如果對(duì)任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范圍．

解析(Ⅰ)

(Ⅱ)令g(x)=ax-f(x)，則

故當(dāng)x∈[0，arccos3a)時(shí)，h′(x)>0．因此h(x)在[0，arccos3a)上單調(diào)增加．

圖2

例3(2010年高考全國卷(21))函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析(Ⅰ)a=0時(shí)，f(x)=ex-1-x，f′(x)=ex-1.

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>0.

故f(x)在(-∞,0)單調(diào)減少，在(0,+∞)單調(diào)增加.

(Ⅱ)f′(x)=ex-1-2ax，由(Ⅰ)知ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x，

故當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí)，f′(x)<0，而f(0)=0，于是當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí)，f(x)<0.

評(píng)注對(duì)于(Ⅱ)中“當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0”，易知f(0)=0，f′(0)=0，而f′′(0)=1-2a，采用端點(diǎn)效應(yīng)，令f′′(0)=1-2a=0得到分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而說理求解.

圖3

證明已知0≤x≤1，顯然有2x4≤2x成立.

評(píng)注如圖3，通過圖象可清楚的看到結(jié)論顯然成立.該試題的命制注重了切線臨界狀態(tài)、端點(diǎn)效應(yīng)方面的設(shè)計(jì).探究試題的命題背景、命題方法，會(huì)有助于在解題中尋找入口、理順?biāo)悸贰㈤_闊視野，從而提高解題水平.

最后，在具體思考討論有關(guān)函數(shù)的題目時(shí)，如果比較復(fù)雜，應(yīng)該先畫出函數(shù)圖象的草圖(或?qū)㈩}目條件等價(jià)變形后畫出函數(shù)的圖象)，對(duì)照題目的文字?jǐn)⑹?，弄清楚題目條件、結(jié)論有什么直觀意義(或幾何解釋)，題中的條件是否足以保證得到這樣的結(jié)果或者關(guān)系.