代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

安徽天柱山旅游學(xué)校

徐景瑜 (郵編：246300)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解決問(wèn)題是十分重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，由于高中數(shù)學(xué)本身對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求比較高，導(dǎo)致很多學(xué)生面對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生無(wú)從下手的感覺(jué)，這就會(huì)對(duì)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)效果產(chǎn)生極大影響，同時(shí)也降低了學(xué)生的考試成績(jī).代換法是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用比較常見(jiàn)的一種方法，其可以幫助學(xué)生將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單、形象的問(wèn)題，能極大的幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升.

1 代換法的相關(guān)概述

代換法是高中數(shù)學(xué)解題中比較常見(jiàn)的一種方法，學(xué)生在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到各種復(fù)雜存在的數(shù)學(xué)題，這些題目中有兩個(gè)，甚至是多個(gè)未知條件，而代換法的應(yīng)用可以幫助學(xué)生更好地理清各個(gè)條件之間的相互關(guān)聯(lián)，并對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，結(jié)合各種變量的條件轉(zhuǎn)換，將一種問(wèn)題求解轉(zhuǎn)變成另一種問(wèn)題的求解，從而簡(jiǎn)化了解題思路，降低了學(xué)生的解題難度.

在實(shí)際中，代換法的表現(xiàn)形式有很多，常見(jiàn)的有三角函數(shù)代換、變量代換、函數(shù)代換、等量及不等量代換、圖形代換等，在具體的解題過(guò)程中，需要結(jié)合題目信息，進(jìn)行靈活的代換，這樣才可以真正的發(fā)揮出代換法的解題優(yōu)勢(shì).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)代換法這種解題方法時(shí)，其核心在于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，同時(shí)在具體的實(shí)施中需要對(duì)以下幾個(gè)問(wèn)題加以討論：(1)高中數(shù)學(xué)的各個(gè)板塊是邏輯相通的，采用代換法時(shí)，需要進(jìn)行全方面考慮，解題思維不能局限在一個(gè)方向，如換元法屬于代換法的具體表現(xiàn)，但是代換法可以進(jìn)行換元法以外的其他途徑轉(zhuǎn)變，如數(shù)形轉(zhuǎn)變，所以要結(jié)合題目已知信息進(jìn)行靈活的代換；(2)在代換的過(guò)程中，不能被問(wèn)題導(dǎo)向左右思維，需要學(xué)生結(jié)合題目的信息，進(jìn)行發(fā)散性思考，這樣才可以發(fā)揮出代換法的優(yōu)勢(shì)；(3)在考慮問(wèn)題的解決方法時(shí)，不能單純地考慮某一種方法，需要與其他方法結(jié)合起來(lái)，這樣才可以保證解題思維更加明確、清晰.

2 代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

2.1 圖形代換的應(yīng)用

圖形代換是一種十分常見(jiàn)的代換模式，其多用于方程問(wèn)題中，很多時(shí)候?qū)W生在求解方程問(wèn)題時(shí)，會(huì)感覺(jué)題目中給出的信息十分繁雜，無(wú)法從中整理出有用的信息，這就會(huì)影響到學(xué)生的解題準(zhǔn)確性.對(duì)此，在實(shí)踐教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生采取圖形代換的解題方法，將相關(guān)方程問(wèn)題轉(zhuǎn)變成圖形問(wèn)題，從圖形的角度來(lái)思考方程，并指引學(xué)生將相應(yīng)的圖形畫(huà)出來(lái)，讓學(xué)生可以通過(guò)直觀的圖形來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

圖1

在求解(2)時(shí)，也需要結(jié)合(1)做出的圖形進(jìn)行：

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，

由y1=kx1-k,y2=kx2-k，得

(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.

則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

從而kMA+kMB=0，故MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA=∠OMB.

對(duì)于這類綜合性問(wèn)題，題目給出的已知信息比較有限，但是隱藏的信息卻比較多，為了讓學(xué)生可以更好地將題目中的信息充分挖掘出來(lái)，順利地進(jìn)行解題.高中數(shù)學(xué)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生采取圖形代換的方法，把理論性的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成形象的圖形問(wèn)題，根據(jù)題目中的信息，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，對(duì)圖形進(jìn)行思考、解答，這樣就可以讓學(xué)生更好地打開(kāi)思路，有助于學(xué)生解題效率提升.

2.2 三角代換法的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中，三角代換具有很廣泛的應(yīng)用，其解題模式比較靈活，其通過(guò)將代換法在三角函數(shù)中的具體應(yīng)用，能將一些復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)表達(dá)向三角表達(dá)的轉(zhuǎn)變，達(dá)到了簡(jiǎn)化題目、明確解題思路的效果.

例2一條直線過(guò)點(diǎn)P(3，2)與,x、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，若ABO的面積最小(O為原點(diǎn))，求此時(shí)直線的方程.

在解這個(gè)問(wèn)題時(shí)，有很多學(xué)生會(huì)單純地從代數(shù)的角度進(jìn)行解題，整個(gè)過(guò)程十分困難，這時(shí)教師就可以指引學(xué)生采取三角代換的方法，在本題中，可以根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，將相應(yīng)的方程求解出來(lái)，然后求出其斜率，也就是tanθ，這樣三角代換思想自然形成，就可以從三角函數(shù)的角度進(jìn)行解題.

從而得出直線方程是2x+3y-12=0.

2.3 等量代換

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，概率問(wèn)題一直是一個(gè)難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)概率問(wèn)題理解不清楚，導(dǎo)致在解題過(guò)程中無(wú)法對(duì)題目進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化.實(shí)際中，概率問(wèn)題涉及范圍比較廣，如果學(xué)生本身的理解能力比較差，并且不會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，那么就很難順利地解題.對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中采取等量代換的模式，在解題過(guò)程中對(duì)不影響最終結(jié)果的因素進(jìn)行等量代換.

例3某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

令f′(p)=0，得p=0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí)，f′(p)>0；當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí)，f′(p)<0.

所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元，由于EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題中，通過(guò)代換法的應(yīng)用，可以顯著提高學(xué)生的解題效率，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理，這對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提升有極大幫助.因此，在實(shí)踐教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師必須引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立良好的代換意識(shí)，結(jié)合題目中的已知條件，合理地運(yùn)用代換法進(jìn)行解題，促進(jìn)學(xué)生解題準(zhǔn)確性的提升.