動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)距離最值的求解策略

上海市松江一中

董頂國 (郵編：201600)

上海市嘉定二中

牟忠智 (郵編：201802)

距離問題為大家熟知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離、動(dòng)點(diǎn)到定直線距離、動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)距離常常成為高考命題的第一視角得到青睞.前兩種距離有模式可尋，但對(duì)于動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)距離，學(xué)生頗感棘手.下面筆者對(duì)該問題從不同角度進(jìn)行靈活化歸，化“動(dòng)”為“靜”，煥發(fā)新的活力.

1 利用反函數(shù)圖象的對(duì)稱化歸為點(diǎn)到直線的距離

圖1

點(diǎn)評(píng)該類問題重在從對(duì)稱中尋求突破，事實(shí)上，只要是兩曲線(也可能是曲線部分)關(guān)于某直線對(duì)稱，則兩曲線上動(dòng)點(diǎn)距離最值問題通?？蓜潥w為一曲線上動(dòng)點(diǎn)到該線的距離最值問題.

2 利用圓的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離

圖2

圖3

解題分析(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min.設(shè)圓(x+5)2+y2=4的圓心為F1(-5,0)，設(shè)圓(x-5)2+y2=1的圓心為F2(5,0),|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1，所以(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=|PF1|+2-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=9.

點(diǎn)評(píng)該類問題的核心是利用圓的幾何性質(zhì)，把兩動(dòng)點(diǎn)距離劃歸為動(dòng)點(diǎn)到圓心的距離問題，減少了變量個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化了思考過程.

3 利用線的平移化歸線與曲線關(guān)系

圖4

(Ⅰ)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(Ⅱ)過曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30o的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值.

(Ⅱ)作PH⊥l于點(diǎn)H，|PA|=2|PH|，|PA|的最值問題即|PH|的最值問題，最值點(diǎn)P即為與l平行的橢圓切線的切點(diǎn)，|PA|的最值化歸為切線與直線l的距離問題.

設(shè)切線方程為y=-2x+m，帶入橢圓方程得25x2-16mx+4m2-36=0.

4 利用動(dòng)點(diǎn)“依托”關(guān)系，建模化歸函數(shù)最值

較多的問題中兩動(dòng)點(diǎn)不是隨意變化，而總是存在某種依存關(guān)系，利用這種依存關(guān)系，恰當(dāng)引入變量建模求解.

圖5

例4(2014北京高考卷)已知橢圓C:x2+2y2=4.

(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y=2，點(diǎn)B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值.

(2)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.

點(diǎn)評(píng)該問題通過動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系的建立，減少參量個(gè)數(shù)，利用曲線方程中的坐標(biāo)關(guān)系代換，借助曲線范圍，較好構(gòu)建函數(shù)模型求解.再如：

(I)求橢圓C的方程；(Ⅱ)求線段MN的長度的最小值；(Ⅲ)略.

圖6

點(diǎn)評(píng)該問題中動(dòng)點(diǎn)距離雖受曲線上動(dòng)點(diǎn)的直接制約，但動(dòng)點(diǎn)均為線線交點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際問題，恰當(dāng)?shù)囊階S的斜率k,構(gòu)建關(guān)于k的函數(shù)簡(jiǎn)捷求解.

5 借助導(dǎo)數(shù)工具，尋求轉(zhuǎn)換條件

對(duì)于分別在兩函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，其距離的常見轉(zhuǎn)化無法實(shí)施時(shí)，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，化歸切線間的距離求解.