再構(gòu)知識系統(tǒng) 落實核心素養(yǎng)
——“一次函數(shù)復(fù)習(xí)”的教學(xué)設(shè)計與評析

安徽省合肥市包河區(qū)教研室

汪洪潮 (郵編：230051)

安徽省合肥市海頓學(xué)校

曹玉華 (郵編：230051)

前不久，在合肥市包河區(qū)九年級數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課研討活動中，筆者執(zhí)教了一節(jié)復(fù)習(xí)課，課題是“一次函數(shù)”.為上好本節(jié)課，筆者認真查看了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》對一次函數(shù)的要求，重拾教科書，再理知識結(jié)構(gòu)，大膽設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，有效組織實施，給與會老師留下深刻印象.現(xiàn)對本節(jié)課做回顧評析，與各位同仁分享交流.

1 學(xué)情分析

該授課班級生源整齊，基礎(chǔ)扎實，接受能力強，數(shù)學(xué)成績好.學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了一次函數(shù)相關(guān)知識，積累了用一次函數(shù)模型解決問題的基本方法和初步經(jīng)驗，具有一定的觀察、概括經(jīng)驗和能力，會運用基本數(shù)學(xué)思想方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題.此時學(xué)生的思維主要以具體直觀形象思維為主，處在由具體直觀形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的階段.

2 復(fù)習(xí)目標

(1)掌握一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，會用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式；理解一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式(組)的關(guān)系；理解一次函數(shù)的圖象是一條直線；運用一次函數(shù)模型解決實際問題.

(2)經(jīng)歷梳理一次函數(shù)相關(guān)知識的過程，感受函數(shù)學(xué)習(xí)的基本套路和方法，提高觀察、分析和解決問題的能力，提高綜合運用函數(shù)模型解決實際問題的能力.

(3)體會數(shù)學(xué)知識的普遍聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)來源于生活，體會數(shù)形結(jié)合思想.

3 范例設(shè)計

3.1 復(fù)習(xí)回顧，知識再構(gòu)

師：八年級我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的有關(guān)知識，還記得學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？怎么學(xué)習(xí)的？

生1：一次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)、一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式(組)的關(guān)系、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識.

生2：通過畫圖、觀察圖象的方法研究一次函數(shù)，用到了待定系數(shù)法、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

師：我們學(xué)習(xí)一次函數(shù)，是從生活中的實例出發(fā)，通過抽象、概括得到一次函數(shù)的定義，接著學(xué)習(xí)一次函數(shù)的三種表達形式：解析式、列表法和圖象法；再利用數(shù)形結(jié)合的方法，由特殊到一般地研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；接下來學(xué)習(xí)一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式(組)的聯(lián)系，最后學(xué)習(xí)一次函數(shù)模型的應(yīng)用.你能將這些知識和涉及的思想方法有條理地梳理出來嗎？

師生配合，共同完成如下知識結(jié)構(gòu)圖：

教學(xué)示范說明本片段教師通過三個問題，調(diào)動學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)一次函數(shù)的有關(guān)知識、思想方法和邏輯順序.由于學(xué)生頭腦中的舊知往往是零散的，孤立的，因此教師必須引導(dǎo)學(xué)生從知識結(jié)構(gòu)的角度，梳理知識的發(fā)生、發(fā)展順序，重構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，理清一次函數(shù)研究的基本內(nèi)容和一般方法.

師：通過學(xué)習(xí)，我們知道一次函數(shù)的表達式是y=kx+b，其中k≠0，k、b是常數(shù)，那么常數(shù)k、b有什么幾何意義呢？

生3：當k>0時，圖象呈上升趨勢，y隨x的增大而增大；當k<0時，圖象呈下降趨勢，y隨x的增大而減小.

生4：|k|越大，直線越陡，|k|越小，直線越平緩.

生5：b是圖象與y軸的交點縱坐標，也叫截距，當b>0時，圖象交y軸于正半軸；當b<0時，圖象交y軸于負半軸.

師：回答的很全面，并注意了分類討論.k的值決定了直線的陡與緩，即直線相對于x軸的傾斜程度，我們還學(xué)過哪個量也用來刻畫傾斜程度？

功能分析第一環(huán)節(jié)的目的是回顧一次函數(shù)概念、圖象及性質(zhì)，揭示k、b的幾何意義，幫助學(xué)生建立起“數(shù)”與“形”的聯(lián)系.將后續(xù)學(xué)習(xí)的坡度、坡角等相近概念與k聯(lián)系，將不同領(lǐng)域知識進行綜合，既揭示它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，也為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊.

教學(xué)示范說明：復(fù)習(xí)回顧環(huán)節(jié)，不僅要引導(dǎo)學(xué)生梳理一次函數(shù)的有關(guān)知識和研究方法，還要理清研究一次函數(shù)的基本套路，這種套路也是研究其它函數(shù)的基本套路.教學(xué)時，要通過“文字語言”、“圖形語言”、“符號語言”的相互配合與轉(zhuǎn)化，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)語言理解，對函數(shù)性質(zhì)的理解，對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解.

3.2 回歸生活，加深理解

師：列出下列問題的函數(shù)關(guān)系式，并思考求函數(shù)解析式用的是什么方法？這里的k和b有什么現(xiàn)實意義嗎？

(1)張師傅每小時加工零件30個，則他加工零件的總數(shù)y(個)與他加工時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系是；

(2)商店出售某種瓜籽，購買瓜籽及包裝袋的費用如下表：

瓜籽數(shù)量x(kg)1234…瓜籽和包裝袋的費用y(元)2.24.26.28.2…

則瓜籽和包裝袋的費用y(元)與購買瓜籽的數(shù)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系是.

生7：(1)y=30x；(2)y=2x+0.2.求函數(shù)解析式用的是待定系數(shù)法.

生8：第(1)個問題中，k的意義是指工作效率；第(2)個問題中，k的意義是指瓜籽的單價；b的意義是指包裝袋的費用.

師：第(2)個問題中，k是如何求得的？

所以y=2x+0.2.

功能分析由淺入深，設(shè)置兩道簡單的實際應(yīng)用問題，將正比例函數(shù)概念、待定系數(shù)法、常數(shù)k、b的實際意義等問題進行檢測和回顧.既訓(xùn)練了學(xué)生的解題能力，又將一次函數(shù)模型應(yīng)用于生活實踐，賦予函數(shù)更深、更廣的現(xiàn)實意義，有利于學(xué)生對函數(shù)模型的理解和應(yīng)用.通過將任意兩點坐標(x1,y1)、(x2,y2)代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于k的解，有利于幫助學(xué)生理解k的本質(zhì)是變化率，為高中學(xué)習(xí)做鋪墊.

3.3 深度思考，揭示本質(zhì)

師：為什么一次函數(shù)的圖象是一條直線呢？

圖1

所以∠BAF=∠CBN，即線段AB和線段BC的傾斜程度相同，即AB∥BC.

又知它們經(jīng)過同一點B，故A、B、C三點在同一直線上.

師：思路嚴謹，很有創(chuàng)意！其實，兩條直線解析式中只要k相同，或直線與x軸正半軸夾角相同，直線的傾斜程度就相同，這樣的直線就是平行的.因此，常數(shù)k和傾斜角α是刻畫兩條直線位置關(guān)系的重要元素，具體關(guān)系如何，可以課后繼續(xù)探究.

功能分析在八年級學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖象及性質(zhì)時，對“一次函數(shù)的圖象是一條直線”這一結(jié)論是通過畫圖直觀感知的，或者通過列表觀察得到結(jié)論的，但都沒有進行嚴格的證明.在中考復(fù)習(xí)時，結(jié)合三角函數(shù)知識及坡度等概念，對該結(jié)論進行證明，不僅回答了初學(xué)時對“為什么一次函數(shù)的圖象是一條直線”的困惑，還將直線的傾斜程度、坡度、變化率等概念有機聯(lián)系，揭示了知識的本質(zhì).

3.4 數(shù)形結(jié)合，建立聯(lián)系

師：畫一次函數(shù)y=2x+0.2圖象的一般步驟是什么？

生11：畫一次函數(shù)的圖象有三個步驟：列表，描點，連線.

師：如果一次函數(shù)y1=k1x+b1的圖象如圖2所示，如何觀察圖象呢？從圖象中可以得到什么信息呢？

生12：在圖象上任意找一點，過這一點作x軸垂線，垂線交x軸所得點的橫坐標是自變量的取值；過這一點作y軸垂線，垂線交y軸所得點的縱坐標是函數(shù)的值.

生13：由圖象可知，當x<0時，y>60,x=0時，y=60,x>0時，y<60；當x<2時，y>0,x=2時，y=0,x>2時，y<0.

生14：當0

圖2

生15：由直線與y軸交于(0,60)，可知直線的截距是60，即直線解析式中b=60；再由待定系數(shù)法，可求得直線的解析式為y1=-30x+60.

圖3

師：如圖3，如果增加一條直線y2=k2x+b2，觀察圖象，你又能得出哪些結(jié)論？

生16：由待定系數(shù)法可求得直線的解析式為y2=20x-10.

生18：由交點坐標，還可以得到：當x>1.4時，-30x+60>20x-10；當x=1.4時，-30x+60=20x-10；當x<1.4，-30x+60<20x-10.

師：由圖象信息，我們可以求出解析式、方程(組)的解、不等式的解集，圖中還能看出不等式組及其解集嗎？

生19：可以，如不等式組

師：兩條直線與坐標軸圍成了△ABC，你能求出它的面積嗎？

師：求函數(shù)圖象與坐標軸圍成的三角形面積時，通常以平行于坐標軸的邊為底，計算出底邊的長及其相應(yīng)的高.如果底邊在x軸上(或與x軸平行)，且端點橫坐標分別為x1、x2，則其長為|x2-x1|，如果在y軸上(或與y軸平行)，且端點縱坐標分別為y1、y2，則其長為|y2-y1|.

教學(xué)示范說明函數(shù)解析式是從“數(shù)”的角度揭示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)圖象則是從“形”的角度刻畫兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.二者各有優(yōu)劣，正如“數(shù)形結(jié)合百般好”，研究一次函數(shù)問題，必須密切聯(lián)系“數(shù)”與“形”兩個方面.通過觀察圖象特征，結(jié)合點的坐標，有機地將一次函數(shù)、一次方程(組)、一次不等式(組)等內(nèi)容有機融合在一起，從而幫助學(xué)生深刻理解和把握“三個一次”之間的聯(lián)系.補充“求三角形面積”問題，目的是引導(dǎo)學(xué)生感受用代數(shù)方法解決幾何問題，滲透“兩點間距離的坐標公式”.

3.5 應(yīng)用模型，回歸生活

圖4

例1 如圖4，A、B兩地相距60km，甲從A地去B地，乙從B地去A地，圖中l(wèi)1、l2分別表示甲、乙兩人離B地的距離y(km)與甲出發(fā)時間x(h)的函數(shù)關(guān)系圖象.

(1)根據(jù)圖象，說說乙的行駛時間和速度；

(2)解釋交點A的實際意義；

(3)甲出發(fā)多少時間，兩人之間的距離恰好相距5km；

(4)若用y3(km)表示甲、乙兩人之間的距離，你能在坐標系中畫出y3(km)關(guān)于時間x(h)的函數(shù)關(guān)系圖象嗎？

功能分析一次函數(shù)模型在生活中很常見，當物體勻速運動、單價一定、工作效率不變等時，往往都可以用一次函數(shù)模型去刻畫.本例題以行程問題為載體，由淺入深，由易到難，設(shè)置四個問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究.問題設(shè)置先由“形”到“數(shù)”，再由“數(shù)”到“形”，拓展了學(xué)生思維的深度與廣度，滲透數(shù)形結(jié)合與分類討論思想，讓學(xué)生充分感受一次函數(shù)模型是刻畫現(xiàn)實世界的有效工具.

教學(xué)示范說明本例是在復(fù)習(xí)一次函數(shù)解析式、“三個一次”的基礎(chǔ)上推進的.教學(xué)時，要關(guān)注前后兩個圖形的聯(lián)系，淡化重復(fù)計算，注重方法分析，及時歸納總結(jié)解決問題的思路和方法，即理解圖象中關(guān)鍵點及每段圖象的實際意義，利用待定系數(shù)法求出相應(yīng)圖象的函數(shù)解析式，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行解答.本例的難點是第(4)問理解“甲、乙兩人之間的距離y3km”與“甲出發(fā)時間xh”之間的函數(shù)關(guān)系，可以輔助線段圖或用幾何畫板演示幫助學(xué)生理解，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會按時間節(jié)點分類討論.

例2 為了解某臺新機床生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，工作人員每隔1小時對該機床生產(chǎn)的合格產(chǎn)品數(shù)量進行統(tǒng)計，記錄的數(shù)據(jù)如下表：

時間t/小時123456合格產(chǎn)品數(shù)量y/件152944627589

操作：在下面的平面直角坐標系中描出表格中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點；

思考：(1)根據(jù)圖中點的分布情況，猜測y關(guān)于t的函數(shù)形式，求出其表達式；

(2)根據(jù)你建立的模型，估計多少小時該機床生產(chǎn)的合格產(chǎn)品數(shù)量達到300件.

功能分析本題是用一次函數(shù)模擬數(shù)據(jù)，是統(tǒng)計推理，屬于歸納推理范圍，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要方面，展示了函數(shù)模型的應(yīng)用價值，突出建立數(shù)學(xué)模型的思想方法和實際意義.由于表格中數(shù)據(jù)并非嚴格的線性變化，解答時，需要學(xué)生先描點、觀察，再將圖象近似地看成一條直線，然后選擇盡可能靠近直線的點，求出函數(shù)解析式，再去估算最后的結(jié)果.

教學(xué)示范說明用函數(shù)模型去解決實際生活中的問題，同以往直接給出標準的函數(shù)表達式去解決問題不同，教學(xué)中要給學(xué)生充分的時間，讓他們在體會、交流與探究中學(xué)習(xí)，總結(jié)歸納一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)三種模型的異同點，掌握用一次函數(shù)模型模擬實際問題的方法.

4 設(shè)計說明

本節(jié)復(fù)習(xí)課采用問題驅(qū)動下的學(xué)生自主重建知識結(jié)構(gòu)，自主探究模型應(yīng)用的學(xué)習(xí)方式，在問題解決的過程中，將知識的回顧、綜合、拓展糅為一體，將能力提升與思維發(fā)展融于其中.整個教學(xué)過程很好地體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，體現(xiàn)了新課程理念下教師的角色轉(zhuǎn)變.重點突出以下幾個方面.

4.1 舊知梳理，關(guān)注研究方法與套路

作為中考復(fù)習(xí)課，對一次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)已經(jīng)完成，本課通過對舊知梳理，引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)歸納研究一次函數(shù)的基本套路：呈現(xiàn)生活實例，抽象概括得到一次函數(shù)的概念，從特例正比例函數(shù)入手，研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，探究一次函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系，應(yīng)用一次函數(shù)模型的解決實際問題.這種套路也是學(xué)習(xí)和研究其它函數(shù)的基本套路.在具體的學(xué)習(xí)過程中，抽象與概括、從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法.

4.2 用函數(shù)觀點審視，重建認知結(jié)構(gòu)

在中考復(fù)習(xí)中，對已學(xué)過的舊知，需要不斷地重新認知，重新構(gòu)建知識體系.這既包含對舊知的再認識，也包括與相關(guān)知識的聯(lián)系和綜合.本課通過對一次函數(shù)相關(guān)知識的回顧，將一次方程(組)、一次不等式(組)、銳角的正切值、坡度等知識融入課堂，這種再認識不是原來水平上的重復(fù)，而是在更高的起點上的動態(tài)分析，是用一次函數(shù)知識統(tǒng)領(lǐng)這些數(shù)學(xué)對象，既體現(xiàn)函數(shù)的重要性，也為后續(xù)研究做鋪墊.

4.3 重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透

本課教學(xué)，不僅著眼于具體題目的解答，關(guān)注符號語言與圖形語言的相互轉(zhuǎn)換，更關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟.教學(xué)時，通過具體的案例，將數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、分類討論、模型思想、轉(zhuǎn)化、類比等思想滲透其中，并通過相應(yīng)練習(xí)促進學(xué)生對基本思想方法的領(lǐng)悟.

4.4 重視函數(shù)模型的實際應(yīng)用

抽象的函數(shù)概念必須通過具體的應(yīng)用才能得到深刻的理解.本課教學(xué)著力于將函數(shù)知識應(yīng)用于問題解決中，通過問題的引申，將函數(shù)圖象、交點坐標、函數(shù)模型等問題與實際場景相結(jié)合，使學(xué)生在解決實際問題的過程中，感受函數(shù)自變量取值范圍的現(xiàn)實意義，感受收集數(shù)據(jù)與分析數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，提高實踐意識和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，增長建立數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗，這種能力和經(jīng)驗對學(xué)生的終身發(fā)展是大有裨益的.