有側(cè)移框架臨界承載力的實用計算方法

蘭樹偉， 周東華， 雙 超， 韓春秀

(1.昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500；2.云南民族大學 電氣工程學院，昆明 650500)

框架的穩(wěn)定是工程中不能忽視的問題，有側(cè)移失穩(wěn)是框架結(jié)構(gòu)最普遍的失穩(wěn)形式。要解決有側(cè)移框架的穩(wěn)定問題，最有效的方法就是求出框架的臨界荷載，使結(jié)構(gòu)實際能夠承受的荷載低于臨界荷載，以保證結(jié)構(gòu)不發(fā)生失穩(wěn)?？蚣芙Y(jié)構(gòu)在臨界失穩(wěn)狀態(tài)下，實際能夠承受的臨界荷載稱之為框架臨界承載力?？蚣艿膫?cè)移剛度較小，通常是有側(cè)移的失穩(wěn)起控制作用，有側(cè)移框架臨界承載力的求解，是將荷載換算為集中力作用于各層柱的節(jié)點頂進行計算，不考慮柱子初始缺陷和水平荷載因素的影響，目前主要采用計算長度系數(shù)法[1-2]。該方法能夠利用《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》[3]提供的計算長度系數(shù)表格方便地求得框架柱計算長度系數(shù)，逐個構(gòu)件校核計算結(jié)構(gòu)的臨界承載力，而框架結(jié)構(gòu)中通常構(gòu)件數(shù)量很多，構(gòu)件參數(shù)變化多，實際應用多有不便；而且該法是在理想化假定下進行求解，無法考慮同層柱之間的相互支援以及上下層柱間的相互支援作用。童根樹[4]研究了框架層與層之間的相互支援作用，得出了兩層框架柱計算長度系數(shù)的精確解，并提出了三層及多層框架的求解方法，其需要求解眾多參數(shù)和求解復雜的代數(shù)方程。郝際平等[5]以傳統(tǒng)計算長度系數(shù)法為基礎(chǔ)，提出了層支援系數(shù)的概念，對多層規(guī)則框架整體穩(wěn)定進行計算,其需要逐根構(gòu)件查表求解計算長度系數(shù)，應用較為不便。本文放棄了傳統(tǒng)計算長度系數(shù)法，從結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)的物理意義出發(fā)，提出了結(jié)構(gòu)內(nèi)剛度和外剛度的概念，采用框架重復單元求解出框架結(jié)構(gòu)抗側(cè)剛度，尋求計算有側(cè)移框架臨界承載力的簡便實用計算方法，可為工程應用提供理論基礎(chǔ)，該法對高層框架和抽柱、豎向縮進等不規(guī)則框架臨界承載力的求解也有很好的精度，具有普遍的適用性，可供工程設(shè)計使用。

1 結(jié)構(gòu)二階內(nèi)、外彎矩及內(nèi)、外剛度

(1)

圖1 平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性

(2)

式(2)其物理意義為荷載外剛度對結(jié)構(gòu)內(nèi)剛度的削弱程度，當處于臨界狀態(tài)時結(jié)構(gòu)內(nèi)剛度被削弱至零。這種削弱現(xiàn)象的力學模型可利用搖擺柱受力特性來模擬(圖2(a))，內(nèi)剛度用一個彈簧表示，其剛度為K0，在搖擺柱柱頂施加荷載P，產(chǎn)生側(cè)移δ，對下端取矩：Pδ-K0δ·h=0，可得出結(jié)構(gòu)外剛度與內(nèi)剛度臨界狀態(tài)表達式

(3a)

(3b)

圖2(a)的力學模型中α=1.0。將前述彈簧用有側(cè)移失穩(wěn)三種類型受壓柱替換，其失穩(wěn)力學模型如下：①下端固定、上端自由的軸壓桿(見圖2(b)),當P→Pcr,K0→0，此時α=Pcr/P0cr=1.216；Pcr為圖2所示結(jié)構(gòu)臨界力，P0cr為圖2所示結(jié)構(gòu)荷載直接施加于原結(jié)構(gòu)柱頂?shù)呐R界力，搖擺柱柱頂荷載為零，α稱為二階效應影響系數(shù)；②兩端固定但可相對側(cè)移的軸壓桿(見圖2(c)),當P→Pcr,K0→0時,α=Pcr/P0cr=1.216；③兩端轉(zhuǎn)動約束但可相對側(cè)移的軸壓桿(圖2(d)),當P→Pcr，K0→0，隨著轉(zhuǎn)動約束剛度變化，α=Pcr/P0cr在1.0～1.216變化；可由式(4)計算求得。

(4)

式中：R1、R2分別為柱上、下端橫梁線剛度之和與柱線剛度之和之比。

(a)搖擺柱受力(b)上端自由軸壓桿(c)兩端固定軸壓桿(d)兩端轉(zhuǎn)動軸壓桿

圖2 力學模型

Fig.2 Mechanical model

有側(cè)移框架結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的力學模型,如圖2(a)所示。彈簧用框架進行替代，橫梁對柱的約束可采用圖2(d)中轉(zhuǎn)動彈簧來替代，因此其穩(wěn)定狀態(tài)可用結(jié)構(gòu)外剛度與內(nèi)剛度之間的關(guān)系式(2)進行表達，即框架有側(cè)移失穩(wěn)臨界狀態(tài)關(guān)系式為Ki-Ka=0，此時框架的內(nèi)剛度被削弱至零。其中，內(nèi)剛度Ki為未受豎向荷載作用框架整體抗側(cè)剛度，用K0表示；外剛度Ka可視為外荷載對框架抗側(cè)剛度的削弱程度。

2 確定框架結(jié)構(gòu)整體抗側(cè)剛度

如圖3(a)所示的多層框架，假定第i層層間相對位移δi，層抗側(cè)剛度為Ki，為求解框架整體抗側(cè)剛度，如圖3(b)所示將每層抗側(cè)剛度視為一個彈簧，框架整體抗側(cè)剛度可視為每個彈簧的串聯(lián)，因此，框架整體抗側(cè)剛度K0與層抗側(cè)剛度之間的關(guān)系式為

(5)

圖3 多層框架及簡化模型

Fig.3 Multi-story frame and simplified model

多層框架屬于超靜定結(jié)構(gòu)，超靜定未知量隨著層數(shù)的增加而增加，直接求解框架整體抗側(cè)剛度是非常困難的。結(jié)構(gòu)通常沿房屋高度不斷地重復一個樓層的梁、柱布置，每個樓層稱之為重復單元(見圖4)，對于梁單元來說，它同時又是另一樓層單元的一部分，因此樓層重復單元采用梁截面特征值的一半。因此，求解框架層抗側(cè)剛度，只需分析一個樓層重復單元，這樣可使超靜定未知量大大減少。假定樓層重復單元合適的邊界條件(見圖4(a))，忽略桿件軸力影響；假定反彎點在柱中和梁跨中，框架結(jié)構(gòu)樓層重復單元梁柱變形如圖4(b)所示。有如下關(guān)系[8-9]

(a)重復單元邊界條件(b)重復單元變形

圖4 框架結(jié)構(gòu)樓層重復單元

Fig.4 Story repeating element of frame structure

H=V=Kδ

(6)

(7)

圖5 多跨框架樓層重復單元

圖6 1/2對稱樓層重復單元彎矩圖

(8)

根據(jù)框架變形幾何關(guān)系(見圖4(b))，可求得：

(9)

根據(jù)式(6)、式(7)及式(9)可求得框架層抗側(cè)剛度，也稱為框架層內(nèi)剛度

(10)

框架底層受固端約束影響反彎點常常不在柱中，受此影響若采用式(10)計算底層內(nèi)剛度存在一定偏差，因此對框架底層采用反彎點在層高2/3的假定[12]。由于固端約束可視為剛度無窮大的梁，因此利用樓層重復單元計算層抗側(cè)剛度時將底層梁慣性矩乘2m+1的放大系數(shù)加以修正，按照前述圖乘法計算得到底層層抗側(cè)剛度近似計算公式為

(11)

將式(10)和式(11)代入式(5)可以得出未受到豎向荷載作用下，框架整體抗側(cè)剛度關(guān)系式為

(12)

3 框架臨界承載力計算公式

由式(3)可得框架層軸力外剛度為

(13)

式中:αij為第i層第j柱的二階效應影響系數(shù)，可由式(4)計算；Nij為第i層第j柱的軸力。

按照框架整體抗側(cè)剛度的求法，將框架整體軸力外剛度表示為

(14)

(15)

式(15)右側(cè)每個Nij都是未知量，但是這些未知量不是各自獨立的，他們之間是成比例關(guān)系的，即與初始節(jié)點荷載間的比例關(guān)系式一致的，這些系數(shù)是選取最小軸壓力Nmin作為公因子來計算的，這樣就使得眾多的未知量壓縮成了一個未知量，即：Nij=ξijNmin，其中：ξij為軸力比例系數(shù)，Nmin為最小軸壓力，則由式(15)可得框架臨界荷載的計算公式

(16a)

(Nij)cr=ξij(Nmin)cr

(16b)

式(16)即可求解出框架臨界承載力，該式要求要求各柱豎向荷載按照同一加載比例，可將各層的層抗側(cè)剛度(內(nèi)剛度)同時削弱為零，即Ki-Kpi=0。這樣各層同時失穩(wěn)而無相互支援的情況在實際工程中很少出現(xiàn)，若直接按式(16)進行計算框架臨界力，往往存在較大偏差，因此有必要分析框架層與層之間的支援作用對式(16)進行修正。為分析考慮框架各層之間相互支援作用，引入層內(nèi)外剛度比系數(shù)

(17)

該系數(shù)實際是首先分別計算各層抗側(cè)剛度(層內(nèi)剛度)與層軸力外剛度的比值，再計算各層內(nèi)外剛度比與層最小內(nèi)外剛度比的比值。層最小內(nèi)外剛度比所在樓層為薄弱層，層內(nèi)外剛度比系數(shù)χi=1，該層最容易發(fā)生失穩(wěn)；其余各層層內(nèi)外剛度比系數(shù)χi>1，說明存在富裕剛度，可對其余樓層進行剛度支援，最終達到框架各層同時失穩(wěn)。這種支援是有限的，為研究層內(nèi)外剛度比系數(shù)大于1的樓層對其余樓層的剛度支援程度引入層支援系數(shù)，通過該系數(shù)對式(16)進行修正，得到框架臨界承載力的計算式為

(18a)

(Nij)cr=ξij(Nmin)cr

(18b)

式中：ηi為層支援系數(shù)，反映了層與層相互支援時，層富裕剛度所能發(fā)揮支援程度，為關(guān)于層內(nèi)外剛度比系數(shù)χi的函數(shù)。將計算結(jié)果進行函數(shù)擬合，可得

ηi=(χi)ψ

(19a)

(19b)

由式(18)還可得到下式計算各柱的計算長度系數(shù)。

(20)

式中：Iij為第i層第j柱的慣性距；(Nij)cr為式(18)求得的框架柱臨界承載力。

4 算 例

前面推導框架臨界承載力的計算公式不僅能考慮框架柱同層之間的支援也可以考慮上下層之間的相互支援作用。若用《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》的計算長度系數(shù)法來確定框架臨界承載力，是無法考慮這兩種支援作用的，容易導致不安全或過于保守的情況出現(xiàn)。為了展示這種差別，選取三個算例，用本文方法和計算長度系數(shù)方法進行計算與比較，同時也用有限元ANSYS進行了計算，以便對兩種計算結(jié)果進行比較。ANSYS求解時梁柱建模均采用簡單的梁單元beam3，節(jié)點均為剛接，材料為彈性，即進行的計算是彈性屈曲分析。

4.1 算例1

圖7所示的單跨雙層框架，用本文方法求解其臨界承載力以及計算長度系數(shù)。

圖7 單跨雙層框架及軸力、二階效應系數(shù)

Fig.7 Single-span two-story frame and axial force, second-order effects of frame columns

由式(12)求得框架整體抗側(cè)剛度

由式(4)可求得框架上、下層柱的二階效應系數(shù)分別為

α1=1.130,α2=1.076

代入式(13)可求得層外剛度分別為

由式(17)求得層剛軸比系數(shù)分別為

χ1=2.338，χ2=1.000(薄弱層)

代入式(19)可得

ψ1=-0.50,ψ2=-0.50

η1=0.654,η2=1.000

將相關(guān)參數(shù)代入式(18)可求得臨界承載力

表1 (Nmin)cr計算參數(shù)

表2 (Nmin)cr計算結(jié)果

表3 柱臨界承載力及計算長度系數(shù)對比結(jié)果

Tab.3 Compare results of column critical bearing capacity and calculated length factor

柱分項計算長度系數(shù)法①本文方法②ANSYS③①/③②/③2層Pcr/PE0.5050.6510.6280.8041.036μ1.4071.2391.2621.1150.9821層Pcr/PE1.2660.6510.6282.0161.036μ1.2571.7521.7850.7040.982

從表2可知，本文計算結(jié)果與ANSYS計算精確解的比值為1.036，誤差很小。而采用鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范的計算長度系數(shù)法計算結(jié)果的比值為0.804，誤差較大，這是由于規(guī)范計算長度系數(shù)法未考慮層與層之間的支援作用而導致的。從表3可知，規(guī)范計算長度系數(shù)法計算結(jié)果偏差很大，如1層柱計算長度比ANSYS小了30%，臨界力大了102%，嚴重高估了該柱臨界承載力，存在極大安全隱患；2層柱計算長度比ANSYS大了12%，臨界力小了20%，低估了該柱臨界承載力，較為保守。

4.2 算例2

圖8所示的三跨六層框架，用本文方法求解結(jié)構(gòu)臨界承載力以及二層柱AB和三層柱CD計算長度系數(shù)。

本文方法求解，具體步驟如下：

步驟1 由式(10)和式(11)可求得框架各層抗側(cè)剛度Ki，根據(jù)式(12)求得框架整體抗側(cè)剛度K0，結(jié)果見表4。

步驟2 由式(13)可求得各層外剛度Kpi，根據(jù)式(17)計算層剛軸比系數(shù)χi，將其代入式(19)計算層支援系數(shù)ηi，列入表4。

圖8 三跨六層框架及軸力、二階效應系數(shù)

Fig.8 Three-span six-story frame and axial force, second-order effects of frame columns

步驟3 由式(18)計算框架臨界承載力Pcr，并根據(jù)式(20)計算柱計算長度系數(shù)。列入表5和表6。

表4 (Nmin)cr計算參數(shù)

表5 (Nmin)cr計算結(jié)果

由表5可知，計算長度系數(shù)法求得(Nmin)cr值與有限元ANSYS結(jié)果之比為0.593,偏差很大，這是由于傳統(tǒng)計算長度系數(shù)法無法考慮同層柱的柱間支援以及層與層之間的相互支援作用。本文方法與有限元計算結(jié)果之比為0.988，吻合較好且偏于安全，表明充分考慮了兩種支援作用。

表6 柱臨界承載力及計算長度系數(shù)對比結(jié)果

Tab.6 Compare results of column critical bearing capacity and calculated length factor

柱分項計算長度系數(shù)法①本文方法②ANSYS③①/③②/③ABPcr/PE0.3420.5670.5770.5930.983μ1.1400.8850.8781.2981.008CDPcr/PE0.4380.2270.2311.8960.983μ1.4241.9791.9620.7261.009

從表6可知，采用規(guī)范的計算長度系數(shù)法求得的計算長度系數(shù)與ANSYS計算結(jié)果相比誤差較大，如CD層柱計算長度比ANSYS小了27%，臨界力大了90%，高估了該柱臨界承載力，存在安全隱患；本文計算方法求得的柱計算長度系數(shù)與ANSYS計算結(jié)果比值分別為1.008、1.009，吻合好。

4.3 算例3

圖9所示的四跨六層框架，在第四層處存在豎向收進以及抽柱，用本文方法求解結(jié)構(gòu)臨界承載力以及二層柱AB和三層柱CD計算長度系數(shù)。

同樣按算例2計算步驟進行計算，主要計算過程和計算結(jié)果列入表7～表9。本算例存在豎向收進及抽柱，屬于較復雜的框架結(jié)構(gòu)，由表8結(jié)果可知，傳統(tǒng)計算長度系數(shù)法求得(Nmin)cr值與有限元結(jié)果之比為0.639,偏差仍然很大。本文方法求得的(Nmin)cr值與有限元計算結(jié)果之比為0.953，吻合較好且偏于安全，表明充分考慮了兩種支援作用。

表7 (Nmin)cr計算參數(shù)

表8 (Nmin)cr計算結(jié)果

從表9可知，柱AB和柱CD采用計算長度系數(shù)法求得的計算長度系數(shù)與ANSYS計算結(jié)果相比誤差仍然很大，AB柱計算長度比ANSYS大了25%，臨界力小

圖9 四跨六層框架及軸力、二階效應系數(shù)

Fig.9 Four-span six-story frame and axial force, second-order effects of frame columns

表9 柱臨界承載力及計算長度系數(shù)對比結(jié)果

Tab.9 Compare results of column critical bearing capacity and calculated length factor

柱分項計算長度系數(shù)法①本文方法②ANSYS③①/③②/③ABPcr/PE0.3420.5100.5360.6230.952μ1.1400.9340.9111.2511.026CDPcr/PE1.1760.4370.4592.5620.953μ1.3042.1392.0870.6251.024

了38%，低估了該柱臨界承載力，偏于保守；CD柱計算長度比ANSYS小了37%，臨界力大了156%，同樣嚴重高估了該柱臨界承載力，存在極大的安全隱患。本文計算的柱計算長度系數(shù)與有限元計算結(jié)果比值分別為1.026、1.024，吻合好。由此可以看出，本文計算方法同樣適用于復雜的框架結(jié)構(gòu)臨界承載力計算，且具有一定的精度。

5 結(jié) 論

(1) 用結(jié)構(gòu)的二階內(nèi)、外彎矩及內(nèi)、外剛度的關(guān)系揭示了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的物理意義，利用結(jié)構(gòu)外剛度和內(nèi)剛度的概念和關(guān)系，得到了結(jié)構(gòu)臨界穩(wěn)定狀態(tài)表達式，系統(tǒng)地闡述了有側(cè)移框架失穩(wěn)的物理意義。

(2) 利用框架重復單元的概念對框架整體抗側(cè)剛度進行推導，得出了框架整體抗側(cè)剛度的計算公式。

(3) 利用結(jié)構(gòu)外剛度與內(nèi)剛度臨界狀態(tài)關(guān)系式，推導了框架整體穩(wěn)定臨界承載力的計算公式，可很好地考慮同層柱的柱間支援和層與層之間的支援作用,彌補了目前規(guī)范計算長度系數(shù)法無法考慮這兩種支援作用的不足。

(4) 本文方法計算簡便，有很好的精度，可方便地計算出有側(cè)移框架的臨界承載力，避免了有限元整體屈曲分析以及傳統(tǒng)計算長度系數(shù)法逐根構(gòu)件計算的不便。經(jīng)算例結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，本文計算方法精度較高且適用于較復雜的框架結(jié)構(gòu)，可供工程設(shè)計使用。