一種改進(jìn)自適應(yīng)陷波器在齒輪箱振動信號頻率估計中的應(yīng)用

張 鋒, 羅順安, 張 勇, 林繼銘

(華僑大學(xué) 機(jī)電及自動化學(xué)院, 福建 廈門 361021)

在齒輪系統(tǒng)振動主動控制中，參考信號的選擇直接影響控制效果[1-2]，為獲得與實時振動高度相關(guān)的參考信號，可根據(jù)實時采集的振動信號估計齒輪嚙合頻率，再在線合成[3]，因此快速、準(zhǔn)確地估計齒輪系統(tǒng)振動信號的頻率在其振動主動控制中有重要作用。

通過振動信號估計齒輪嚙合頻率的方法有多種，如FFT(Fast Fourier Tranform)[4]、MUSIC(Multiple Signal Classification)[5]等，但FFT由于柵欄效應(yīng)，當(dāng)數(shù)據(jù)量較少時，分辨率較低[6]；MUSIC雖然具有較高的分辨率，但實現(xiàn)過程涉及自相關(guān)矩陣計算和奇異值分解，計算量及數(shù)據(jù)存儲量大[7]，難以根據(jù)振動信號實時地估計嚙合頻率，而二階IIR(Infinite Impulse Response)自適應(yīng)陷波器通過調(diào)整單個參數(shù)就能實現(xiàn)對頻率的估計，計算簡單，被廣泛應(yīng)用在振動主動控制中對實時嚙合頻率的在線估計[8-9]，用于調(diào)整參數(shù)的自適應(yīng)算法是影響頻率估計速度與精度的主要因素，平滑梯度(Plain Gradient, PG)算法[10]計算復(fù)雜度低，實時應(yīng)用簡單，但存在收斂速度緩慢，穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差較大等不足，不能滿足齒輪系統(tǒng)振動信號頻率估計中對速度和精度的要求；Punchalard等[11]對PG算法進(jìn)行改進(jìn)，得到改進(jìn)平滑梯度算法(Modified Plain Gradient, MPG)，MPG算法采用一種新的代價函數(shù)以提高陷波器的收斂速度，但沒有解決穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差較大的問題；Loetwassana等[12]在MPG算法的陷波器系數(shù)更新方程中引入偏差抵消項，得到一種無偏平滑梯度算法(Unbiased Plain Gradient, UPG)，與MPG算法比較，引入的偏差抵消項使UPG算法具有小的穩(wěn)態(tài)偏差，但降低了收斂速度，且當(dāng)待估計信號信噪比較低時，UPG算法仍存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

為滿足齒輪箱振動信號頻率估計中對高收斂速度、低穩(wěn)態(tài)誤差和低穩(wěn)態(tài)偏差的同時需求，將變步長(Variable Step-Size, VSS)方法應(yīng)用在UPG算法中，得到變步長無偏平滑梯度(VSSUPG)算法，通過對比VSSUPG陷波器與UPG、MPG陷波器輸入信號頻率估計的響應(yīng)特性，驗證了所提算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上同時具有更好的性能。并與FFT和比值校正FFT的頻率估計特性進(jìn)行比較，結(jié)果VSSUPG陷波器對頻率變化具有更好的追蹤性能，適用于通過實時振動信號在線估計齒輪嚙合頻率。將兩個VSSUPG陷波器串聯(lián)構(gòu)成級聯(lián)陷波器組，通過二級齒輪箱振動加速度信號實時地估計其兩個嚙合基頻，實驗結(jié)果顯示該自適應(yīng)陷波器組能夠快速且準(zhǔn)確地估計出對應(yīng)頻率，驗證了VSSUPG算法在實際應(yīng)用中的有效性。

1 二階IIR自適應(yīng)陷波器

二階IIR自適應(yīng)陷波器的傳遞函數(shù)為

式中：a為陷波器系數(shù)；ρ(0<ρ<1)為帶寬因子，決定陷波帶寬，ρ越小，陷波寬度越大，當(dāng)ρ=0時，IIR陷波器退化為FIR陷波器[13]。由傳遞函數(shù)可知，二階IIR陷波器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。e1(k)=x(k)+ax(k-1)+xk-2為陷波器的中間狀態(tài)，e2(k)=e1(k)-ρa(bǔ)e2(k-1)-ρ2e2(k-2)為陷波器的輸出。

圖1 二階IIR陷波器結(jié)構(gòu)

為提高算法收斂速度，Punchalard等在MPG算法中采用新的代價函數(shù)J(a(k))=e1(k)e2(k)，則系數(shù)a(k)的更新方程變?yōu)?/p>

a(k)-μs1(k)e2(k)-μs2(k)e1(k)

Loetwassana等提出的UPG算法相比MPG算法對低信噪比信號頻率的估計具有較小的穩(wěn)態(tài)偏差。將N(z)、H(z)對輸入信號包含的噪聲v(k)的響應(yīng)分別表示為v1(k)和v2(k)，將s1(k)的梯度計算中由于v(k)而產(chǎn)生的梯度噪聲表示為v3(k)。其中v2(k)與v3(k)的互相關(guān)值是導(dǎo)致MPG算法存在穩(wěn)態(tài)偏差的偏差項，可表示為

a(k+1)=a(k)-μe2(k)s1(k)+μαe1(k)s1(k)

圖2 PG、MPG、UPG自適應(yīng)陷波器頻率估計響應(yīng)

由圖2可知，三種算法中，PG算法需要3 s的迭代才趨于穩(wěn)定，收斂速度最慢，且穩(wěn)定后的偏差和誤差都最大；MPG算法只需1.8 s的迭代就達(dá)到穩(wěn)定，收斂速度最快，但仍存在較大的穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差；UPG算法在三種算法中具有最小的穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差，但在2 s的迭代后達(dá)到收斂，收斂速度低于MPG算法。

2 基于變步長的UPG算法

圖3 步長因子μ與UPG自適應(yīng)陷波器響應(yīng)關(guān)系

為得到收斂速度快且穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差小的算法，VSS方法[17]應(yīng)用在UPG算法上，構(gòu)成VSSUPG。即在陷波器系數(shù)a(k)遠(yuǎn)離a*階段采用大步長以加快收斂速度，在進(jìn)入a*的鄰域內(nèi)采用小步長以減小穩(wěn)態(tài)誤差。

綜上，VSSUPG算法對陷波器系數(shù)a(k)的更新過程如下

a(k+1)=a(k)-μ(k)e2(k)s1(k)+μ(k)αe1(k)s1(k)

3 性能比較

圖4 VSSUPG陷波器的頻率估計響應(yīng)

同時比較VSSUPG陷波器估計兩個頻率所需的時間，估計第一個頻率所需時間為0.6 s，估計第二個頻率所需時間為0.15 s，由于VSSUPG陷波器是從系數(shù)初始值開始，按照MSEa的負(fù)梯度方向，根據(jù)步長因子搜索最優(yōu)值a*，從響應(yīng)曲線可見，當(dāng)步長因子迭代參數(shù)相同時，VSSUPG陷波器估計時間由濾波器系數(shù)初始值a0與最優(yōu)值a*的接近程度決定。對比VSSUPG陷波器對不同信噪比輸入信號的響應(yīng)，可以看出，信噪比對收斂時間沒有明顯影響，而隨著信噪比降低，估計頻率的穩(wěn)態(tài)偏差與穩(wěn)態(tài)誤差增大，當(dāng)信噪比為0時，估計頻率出現(xiàn)震蕩，具有較大的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差。

為對VSSUPG陷波器估計頻率的準(zhǔn)確性進(jìn)行測驗，將VSSUPG陷波器對輸入信號的響應(yīng)與FFT和用比值法校正的FFT[18]進(jìn)行比較。采用上述x(k)為待估計信號，信噪比的取值由3 dB至24 dB，取值間隔為3 dB。VSSUPG陷波器對信噪比<10 dB輸入信號采用上述低信噪比參數(shù)，對>10 dB信號采用上述高信噪比參數(shù)。FFT的頻率分辨率由采樣頻率與采樣點(diǎn)數(shù)的比值決定，增加采樣點(diǎn)數(shù)能有效提高頻率估計精度[19]，但由于振動主動控制中用于估計嚙合頻率的振動信號需在線實時采集，則增加采樣點(diǎn)數(shù)等同于增加信號采集時間，同時增加數(shù)據(jù)存儲量，且由于參考信號根據(jù)估計頻率在線合成，因而需要對FFT計算得到的頻譜進(jìn)行遍歷以搜索峰值并確定對應(yīng)頻率值，進(jìn)行比值校正同樣需要峰值搜索，增加采樣點(diǎn)數(shù)將增加計算量，因此根據(jù)1 000 Hz的采樣頻率，選擇合適的采樣點(diǎn)數(shù)512。

將VSSUPG陷波器、FFT、比值校正FFT估計頻率的MSE進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示。其中圖5(a)對應(yīng)頻率為70 rad/s的輸入信號，圖5(b)對應(yīng)頻率為95 rad/s的輸入信號。從圖5(a)、5(b)可知，VSSUPG陷波器的估計頻率平方誤差隨著信噪比增加而減小，而FFT和比值校正FFT無明顯變化，對于信噪比>10 dB的輸入信號，VSSUPG的估計頻率平方誤差小于FFT，而對于信噪比大于15 dB的輸入信號，VSSUPG的估計頻率平方誤差小于比值校正FFT。對比估計頻率所需時間，根據(jù)采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)可計算得，F(xiàn)FT及校正FFT所需采集數(shù)據(jù)時間為0.512 s，加上FFT計算及峰值搜索所需時間，則FFT和校正FFT頻率估計時間約為6 s。與圖4進(jìn)行比較可知，對于第一個頻率的估計，VSSUPG陷波器與FFT和比值校正FFT所需估計時間相等，但當(dāng)頻率發(fā)生突變時，VSSUPG陷波器在0.15 s內(nèi)達(dá)到收斂，完成對新頻率的估計，而FFT和比值校正FFT完成數(shù)據(jù)采集、頻率估計和峰值搜索仍然需要0.6 s。

綜上分析，從估計精度上比較，對于低信噪比信號，F(xiàn)FT和比值校正FFT能取得較好的估計精度，但隨著信噪比增大，F(xiàn)FT和比值校正FFT由于柵欄效應(yīng)，估計精度無明顯改善，而VSSUPG陷波器的頻率估計精度增高，從而取得比FFT和比值校正FFT更好的估計精度。從估計時間上比較，VSSUPG陷波器的所需頻率估計時間受陷波器系數(shù)a(k)的初始值a0與最優(yōu)值a*的接近程度影響，而FFT和比值校正FFT由于需要等待信號采集，因而當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)固定，則所需時間相對固定。在齒輪傳動系統(tǒng)中，由于驅(qū)動與負(fù)載的變動，齒輪嚙合頻率經(jīng)常會出現(xiàn)小范圍的變化，此時VSUPG陷波器能實時追蹤頻率變化，估計出對應(yīng)頻率，而FFT和比值校正FFT需要等待信號采集，無法做出實時的響應(yīng)，對于短時的頻率變化無法察覺，因而VSSUPG陷波器更適合于齒輪箱嚙合頻率的在線實時估計，且在多數(shù)情況下，驅(qū)動的轉(zhuǎn)速范圍和齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)均為已知量，可作為先驗信息用于濾波器參數(shù)的初始值設(shè)定，從而降低VSSUPG陷波器估計第一個頻率所需的時間，齒輪系統(tǒng)振動信號包含多種頻率成分，可根據(jù)先驗信息采用濾波器進(jìn)行濾除以提高待估計信號信噪比，從而得到更好的估計精度。

(a) 70 rad/s

(b) 95 rad/s

4 齒輪箱嚙合頻率估計

接下來將VSSUPG自適應(yīng)陷波器應(yīng)用在齒輪傳動系統(tǒng)嚙合頻率實時估計上，齒輪箱運(yùn)行過程由于動態(tài)激勵產(chǎn)生的振動信號主要頻率成分為齒輪副的嚙合基頻及其倍頻，其中嚙合基頻是齒輪系統(tǒng)振動主動控制需要獲取的主要參考信號[20]。設(shè)計二級齒輪箱如圖6所示。齒輪副采用標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪，其中高速軸齒輪齒數(shù)為19，中間軸大齒輪齒數(shù)為37，中間軸小齒輪齒數(shù)為23，低速軸齒輪齒數(shù)為35。

二級齒輪箱有兩對嚙合齒輪，從而有兩個嚙合基頻，采用如圖7所示的級聯(lián)自適應(yīng)陷波器組分別估計兩個頻率。這是因為當(dāng)帶寬因子ρ接近于1時，陷波器Ⅰ和陷波器Ⅱ的陷波帶寬極小，不存在互相重疊的部分，采用陷波器Ⅰ和Ⅱ各自的輸出y1和y2而不是級聯(lián)陷波器組的總輸出y對各自系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，可使陷波器收斂于不同的局部極小值，從而陷波器Ⅰ可濾除輸入信號中的一個正弦分量，剩余的信號被傳遞給陷波器Ⅱ以對另一個正弦分量進(jìn)行濾除，使得級聯(lián)自適應(yīng)陷波器組能對多個頻率分別進(jìn)行估計。

1-二級齒輪箱； 2-制動器； 3-加速度傳感器； 4-信號采集器； 5-電機(jī)； 6-調(diào)速器； 7-PC

圖6 二級齒輪箱與振動加速度信號采集系統(tǒng)

Fig.6 Two-stage gearbox and vibration acceleration signal collection system

圖7 級聯(lián)VSSUPG自適應(yīng)陷波器組

將加速度傳感器固定在齒輪箱體上，用信號采集系統(tǒng)采集振動加速度信號。在多數(shù)情況下，電機(jī)能達(dá)到的最高轉(zhuǎn)速都為已知量，可作為先驗信息，在本試驗中，電機(jī)轉(zhuǎn)速上限為1 200 r/min，根據(jù)傳動比可以得出嚙合基頻不超過400 Hz，采用低通濾波器濾除400 Hz以上的高頻成分以提高待估計信號信噪比，得到的二級齒輪箱振動加速度信號如圖8所示。計算所采集的振動加速度信號的功率譜密度，結(jié)果如圖9所示?？梢娫诖宿D(zhuǎn)速下低速齒輪副嚙合基頻為200 rad/s，高速齒輪副嚙合基率為303 rad/s。

由于自適應(yīng)陷波器以使輸出信號取得最小值為準(zhǔn)則調(diào)整系數(shù)，因此VSSUPG陷波器Ⅰ估計的頻率具有較大功率，信噪比較高，設(shè)置參數(shù)為ρ=0.9，γ=0.95，β=0.000 01，μmax=0.000 01，μmin=0.000 001；VSSUPG陷波器Ⅱ估計的頻率功率較小，信噪比較低，設(shè)置參數(shù)為ρ=0.9，γ=0.98，β=0.000 005，μmax=0.000 01，μmin=0.000 001，根據(jù)電機(jī)轉(zhuǎn)速上限為1 200 r/min的先驗信息，設(shè)置陷波器參數(shù)的初始值a0=-1，保持驅(qū)動電機(jī)的轉(zhuǎn)速不變，將加速度傳感器通過信號采集器輸出的振動加速度信號經(jīng)過低通濾波器濾波后，作為VSSUPG自適應(yīng)陷波器組的輸入信號，以估計兩個嚙合基頻。

圖8 二級齒輪箱振動加速度

圖9 振動加速度信號頻域分布

試驗結(jié)果如圖10所示。其中圖10(a)為VSSUPG陷波器Ⅰ的估計頻率，圖10(b)為VSSUPG陷波器Ⅱ的估計頻率。由圖10(a)可知，陷波器Ⅰ在0.5 s內(nèi)達(dá)到收斂，由于驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)速和制動器的輕微變動，估計頻率在200 rad/s附近變動，與功率譜計算結(jié)果相符；在圖10(b)中，陷波器Ⅱ在1.2 s內(nèi)達(dá)到收斂，估計頻率在303 rad/s附近變動，與功率譜計算結(jié)果相符。對比圖10(a)和圖10(b)，可以看出，在0～0.5 s內(nèi)，陷波器Ⅰ與陷波器Ⅱ的估計頻率均趨向200 Hz，在0.5～1.2 s內(nèi)，陷波器Ⅰ的估計頻率處于穩(wěn)定狀態(tài)，陷波器Ⅱ的估計頻率趨向300 Hz，即在陷波器Ⅰ完成第一個基頻的估計，濾除了輸入信號中包含的該頻率成分后，陷波器Ⅱ才通過殘余信號對另一個基頻進(jìn)行估計，從而級聯(lián)陷波器組所需迭代至收斂的時間是陷波器Ⅰ估計第一個基頻所需迭代時間與陷波器Ⅱ估計第二個基頻所需迭代時間的疊加。這種時間上的疊加屬性，使得各串聯(lián)VSSUPG陷波器因為高收斂速度而節(jié)省的迭代時間得到累積，因此在基于級聯(lián)陷波器組估計多級齒輪傳動系統(tǒng)多個嚙合基頻的應(yīng)用中，采用VSSUPG算法更具優(yōu)越性。

(a) VSSUPG自適應(yīng)陷波器Ⅰ估計頻率

(b) VSSUPG自適應(yīng)陷波器Ⅱ估計頻率

5 結(jié) 論

(1) 提出一種VSSUPG算法用于調(diào)整二階IIR自適應(yīng)陷波器系數(shù)，解決了PG、MPG和UPG三種算法不能滿足齒輪系統(tǒng)振動信號頻率估計中對高收斂速度和低穩(wěn)態(tài)誤差的同時需求的不足。對于同一輸入信號，VSSUPG陷波器的收斂速度比MPG算法快67%，且具有比UPG算法更低的穩(wěn)態(tài)誤差，仿真結(jié)果驗證了VSSUPG算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上具有更好的性能。

(2) 在不同信噪比下比較VSSUPG陷波器與FFT和比值校正FFT頻率估計的響應(yīng)特性，結(jié)果VSSUPG陷波器對信噪比大于10 dB的信號具有比FFT更好的估計精度，對信噪比大于15 dB的信號具有比比值校正FFT更好的估計精度，同時VSSUPG陷波器對頻率的變化具有更好的追蹤性能，適用于齒輪振動主動控制中通過實時采集的振動信號在線估計嚙合頻率的應(yīng)用。

(3) 設(shè)計了由兩個VSSUPG陷波器串聯(lián)構(gòu)成的級聯(lián)自適應(yīng)陷波器組，應(yīng)用在二級齒輪傳動系統(tǒng)的嚙合基頻實時估計上，結(jié)果顯示級聯(lián)陷波器組能分別對兩個嚙合基頻進(jìn)行有效的估計，且對頻率變化有較靈敏的反應(yīng)。同時級聯(lián)陷波器組所需迭代至收斂的時間是各串聯(lián)陷波器估計對應(yīng)頻率所需時間的疊加，從而VSSUPG算法的高收斂速度在級聯(lián)陷波器組對多級齒輪箱振動信號多個頻率估計的應(yīng)用中更具有優(yōu)越性。