關(guān)于高考中應(yīng)對不等式選講試題的一點思考

廣東省陽江市第一中學(529500) 彭 博

根據(jù)高考答卷抽樣統(tǒng)計數(shù)據(jù),人們發(fā)現(xiàn)一個奇怪的現(xiàn)象:選做題的“不等式選講”內(nèi)容正被大部分學生無情“拋棄”!本來,從2017年的高考開始,數(shù)學的選做題由三道減少為兩道,刪去了“幾何證明選講”的內(nèi)容,只剩下“坐標系與參數(shù)方程”和“不等式選講”.按概率來說,應(yīng)該會有5成左右的學生選擇做“不等式選講”這道題,可是從2017年和2018年廣東高考數(shù)學評卷的結(jié)果分析來看,9成多的考生選擇做“坐標系與參數(shù)方程”,只有不到1成的同學選不等式,原因是什么呢?

是題目難嗎?是內(nèi)容較多嗎?是計算量大嗎?還是我們高中教師自己選擇了回避這部分內(nèi)容,人為的替學生做出選擇?據(jù)筆者所知,很多地區(qū)沒有講不等式的內(nèi)容,只讓學生做“坐標系與參數(shù)方程”,將選做題變成了必做題.這種行為沒有落實了2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》“立德樹人”的基本任務(wù),沒有體現(xiàn)到“人人學有用的數(shù)學”.

其實,個人感覺,高考命題組已經(jīng)了解到這種情況,并在想辦法解決.而且為了防止這種情況繼續(xù)下去,接下來的高考可能會有這兩種變化:

一、保持選做題的題型,調(diào)整這兩道題的難度,加大“坐標系與參數(shù)方程”的難度,降低“不等式選講”的計算量.其實,“坐標系與參數(shù)方程”這道題這兩年已經(jīng)變難了,可能我們還是沒有太多感覺.首先是計算變復(fù)雜了,甚至加大了對絕對值的考查;其次考查內(nèi)容也從簡單的直線與圓擴展到圓錐曲線,包括求軌跡方程等等.而不等式的難度則在降低,2017年全國卷I大幅降低了第二問的難度,直接給出范圍求參數(shù);2018年全國卷I則將第一問的計算量也降低了下來,從解二次不等式變成解一次不等式,學生解題速度大幅提升.而2019年高考呢?敢不敢再進一步降低難度?將兩問都簡單化,這種可能性很大.

二、直接去掉選做題,刪掉“坐標系與參數(shù)方程”,只考“不等式選講”,或者反之.這種可能性很低,但并不是不存在.2017年之前全國卷選做題就是“三選一”的形式,而從2017年開始高考就直接變成了“二選一”.刪掉的“幾何證明選講”部分并不是不考查,而是在其他題型,如向量、立體幾何、解析幾何內(nèi)綜合在一起考查.要想改變選做題這種現(xiàn)狀,只能從命題上做文章.

“不等式選講”并非我們想的那么難以應(yīng)對,從近幾年的全國卷的考題來看,這部分考查的主要內(nèi)容包括以下幾個方面:

一、絕對值不等式

近兩年不等式選講的考察內(nèi)容都設(shè)計絕對值不等式的求解,特別是含有兩個絕對值的不等式的求解.例如,

例1(2017年高考全國卷I第23題)已知函數(shù),f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)當a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)略.

解(1)方法1用代數(shù)法直接去絕對值后變?yōu)榉侄魏瘮?shù)求解.當a=1時,f(x)≥g(x)?

當x＜-1時,①式化為x2-3x-4≤0,無解.當-1≤x≤1時,①式化為x2-x-2≤0,解得-1≤x≤1.當x＞1時,①式化為x2+x-4≤0,解得,所以,f(x)≥g(x)的解集為.

方法2數(shù)形結(jié)合,通過圖像和方程來得到結(jié)果.

當a=1時,f(x)=-x2+x+4,

圖1

如圖1所示,f(x)與g(x)的圖像交于兩點,由f(x)=g(x)解得所以,f(x)≥g(x)的解集為

從以上求解過程可以看出,只要對中等以上的考生稍加訓(xùn)練,提高計算能力,斬獲高分不是沒有可能的.

二、求參數(shù)的取值范圍

考題的第二問,通常是求含參不等式中參數(shù)的范圍,包括“任意”或者“存在”等條件的運用.例如,例1中的第二問如下:

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.

解 方法1當x∈[-1,1]時,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等價于當x∈[-1,1]時,f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必為f(-1)與f(1)之一,所以由f(-1)≥2,得a≤1,由f(1)≥2,得a≥-1,所以a的取值范圍是[-1,1].

方法2當x∈[-1,1]時,g(x)=2,所以f(x)≥2的解集包含[-1,1],x2-ax-2≤0,即ax≥x2-2,當x=0時,不等式成立;當x∈(0,1]時,,得a≥-1,當x∈[-1,0)時,,得a≤1,所以a的取值范圍是[-1,1].

方法3當x∈[-1,1]時,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等價于當x∈[-1,1]時,x2-ax-2≤0.由左端定義的拋物線與x軸有兩個交點,,由解得a≤1,由解得a≥-1,所以a的取值范圍是[-1,1].

其實這種題型在2012年高考就已經(jīng)出現(xiàn)了,請看下面的真題(解答略):

例2(2012年新課標全國卷第24題)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)當a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.

參數(shù)問題是不等式選講考察的重點,又如2018年全國卷I的試題,基本沒有變化,第一問求兩個絕對值的解集,第二問求參數(shù)范圍,思路基本一致.

例3(2018年全國卷I第23題)f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)當a=1時,求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)＞x成立,求a的取值范圍.

解(1)略.(2)

方法1當x∈(0,1)時,f(x)＞x成立?當x∈(0,1)時,|ax-1|＜1成立.若a≤0,則當x∈(0,1)時,|ax-1|≥1.若a＞0,由|ax-1|＜1得,所以,故0＜a≤2,綜上,a的取值范圍為(0,2].

方法2當x∈(0,1)時,f(x)＞x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|＜1成立.所以-1＜ax-1＜1,即0＜ax＜2.因為x＞0,所以a＞0,所以,又x＜1,所以,即a≤2,綜上,a的取值范圍為(0,2].

方法3當x∈(0,1)時,f(x)＞x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|＜1成立.??x∈(0,1),-1＜ax-1＜1恒成立,??x∈(0,1),0＜ax＜2恒成立,??x∈(0,1),恒成立.設(shè),當x∈(0,1),y∈(2,+∞),所以0＜a≤2,即a的取值范圍為(0,2].

方法4當x∈(0,1)時,f(x)＞x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|＜1成立.??x∈(0,1),(ax-1)2＜1恒成立,??x∈(0,1),a2x2-2ax＜0恒成立,因為x∈(0,1),a2x-2a＜0,顯然a/=0,從而,即,所以,所以0＜a≤2,即a的取值范圍為(0,2].

從這些題目可以看出,不等式的參數(shù)問題是高考考查的熱點.一般這類題型會體現(xiàn)出函數(shù)的思想,并通過函數(shù)性質(zhì)來解決問題.主要就兩種思路,先考慮分離參數(shù)來解決問題,能分離就一定要分離,然后再來考慮用分類討論思想來解決問題.

三、絕對值三角不等式或基本不等式的應(yīng)用.

具體真題如下:

例4(2014年高考全國卷I第23題)若a＞0,b＞0,且.

(I)求a3+b3的最小值;

(II)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.

解析(I)由,得ab≥2,且當時等號成立,故,且當時等號成立,所以a3+b3的最小值為.

這類證明題主要考查的還是不等式的基本性質(zhì),包括基本不等式的運用等等.稍加練習,多數(shù)考試應(yīng)該可以應(yīng)對.

根據(jù)高考答卷的抽樣統(tǒng)計,可以發(fā)現(xiàn)如下的一些傾向性問題.首先是學生的選題不明智,只有不到1成的考生選擇“不等式選講”這道題.而且選擇的考生中有相當一部分人是空白,這些同學根本不會解含絕對值不等式.其次,有部分答卷出現(xiàn)了一些莫名其妙的錯誤.近兩年高考“不等式選講”部分,學生典型錯誤主要有如下幾點:

(一)去絕對值的過程出錯.大約有23%左右的學生錯在去絕對值或絕對值計算上,說明這部分學生沒有弄清絕對值的定義,并且計算能力確實非常欠缺;

(二)處理含參數(shù)不等式出錯.這也是比較常見的錯誤,說明這部分學生對于參數(shù)的處理沒有形成固定的解題模式,不會通過分離參數(shù)或者分類討論來解決問題;

(三)誤用絕對值三角不等式,說明這部分學生并沒有理解絕對值三角不等式性質(zhì),亂用公式;

(四)其它細節(jié)的錯誤,例如“分類不準確”“表達不規(guī)范”“集合基本運算不熟練”等等.這些都體現(xiàn)出學生細節(jié)缺失的大問題.

因此,為了落實數(shù)學教育立德樹人的根本任務(wù),發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng),特別是“數(shù)學運算”素養(yǎng),我們應(yīng)該注意這幾個方面:

1.加強訓(xùn)練學生計算能力.對于計算要落到實處,每天都要運算,要給學生布置任務(wù),并不折不扣第完成,不能只看不動筆.

2.讓學生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思想.看到題目首先從圖像入手,先畫圖,再來解決實際問題.

3.教會學生處理含參的不等式問題.對于這類問題,要形成條件反射,先分離參數(shù),不能解決就選擇分類討論.

4.將選做題中選擇的機會還給學生.不管做那道題,都要花一點點時間看看題,然后再做選擇.這樣做不僅僅為了高考,更為了以后學生數(shù)學能力的持續(xù)發(fā)展.