例析有效增設(shè)在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用*

江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002) 黃 歡 濮安山

在數(shù)學(xué)解題中,常常通過增加個(gè)別條件不改變?cè)瓉眍}意的情況下,令問題易于求解,這就是有效增設(shè)解題策略.在高考數(shù)學(xué)解題中,有效增設(shè)發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.下面就以歷年高考題為基礎(chǔ),分析有效增設(shè)在高考題中的具體應(yīng)用.

一、進(jìn)退互化產(chǎn)生歸納增設(shè)

數(shù)學(xué)歸納法加強(qiáng)命題主要有兩種情況,一種是將有限項(xiàng)的命題加強(qiáng)為無限項(xiàng)的命題;一種是證明更強(qiáng)的命題.例題1就是第二種情況.用數(shù)學(xué)歸納法證明更強(qiáng)的命題主要的困難在于第二步假設(shè)n=k時(shí)命題成立,因?yàn)楦鼜?qiáng)的命題具有更強(qiáng)的歸納假設(shè)的性質(zhì),所以更強(qiáng)的命題便會(huì)產(chǎn)生有效增設(shè).

例1(2014年高考江蘇卷第23題)已知函數(shù)f0(x)=,設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)數(shù),.

解(1)略;(2)由已知,得xf0(x)=sinx,等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),得,即,類似可得.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)所有的都成立.

①當(dāng)n=1時(shí),由上可知等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立(有效增設(shè)),即

因此當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.結(jié)合①②③可知等式對(duì)所有的都成立.再令,可得.

評(píng)析本題難度較大,步驟②為證明產(chǎn)生歸納的有效增設(shè),加強(qiáng)了命題,使得后續(xù)可以運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法實(shí)施證明.

二、化隱為顯產(chǎn)生有效增設(shè)

隱含條件是指題目中已包含但沒有明確給出的條件.例如,若題目是關(guān)于求解三角形的,那就意味著其同時(shí)隱藏著三角形的三條邊或邊與角的關(guān)系,即兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;大邊對(duì)大角;小邊對(duì)小角等.

例2(2015年高考江蘇卷第10題)在平面直角坐標(biāo)系xOy,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___.

解由直線方程mx-y-2m-1=0可以得到方程另一表達(dá)形式m(x-2)-(y+1)=0(有效增設(shè)),故直線恒過點(diǎn)(2,-1),當(dāng)切線與過兩點(diǎn)(1,0),(2,-1)的直線垂直時(shí),圓的半徑最大,此時(shí)有,故所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2.

評(píng)析本題通過發(fā)現(xiàn)直線方程式中的隱含條件,即方程式的另一表達(dá)形式m(x-2)-(y+1)=0,得到直線恒過點(diǎn)(2,-1)的有效信息.

三、分類討論產(chǎn)生分類增設(shè)

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題較為復(fù)雜時(shí),可以通過將其分成幾類分別求解,或者分成幾個(gè)步驟逐一求解.從有效增設(shè)的角度來看,將較難的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)小問題,其中的分類標(biāo)準(zhǔn)作為可借鑒的已知條件,使得比原問題更簡單的小問題由此更加容易求解.

例3(2017年高考江蘇卷第14題)設(shè)f(x)是定義在上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間[0,1)上,f(x)=其中集合則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是____.

解首先f(x)∈[0,1),所以方程f(x)=lgx的解x0∈[1,10).由圖1可知,在[9,10)上方程無解,方程在[1,9)上的整數(shù)解只有x=1,再按x-k∈D和x-k∈/D兩種情況(有效增設(shè)),討論f(x)=lgx在(k,k+1)上的解,其中k=1,2,···,8.

①若x-k∈D,且x∈(k,k+1),其中k=1,2,···,8,設(shè)且n≥2.則方程為,即,這樣的n不存在.

②若x-k∈/D,且x∈(k,k+1),其中k=1,2,···,8,則方程為x-k=lgx,記g(x)=x-lgx-k,則,所以g(x)在(k,k+1)上遞增.因?yàn)間(k)=-lgk,g(k+1)=1-lg(k+1)＞0,所以在(1,2)內(nèi)無解,當(dāng)k=2,···,8時(shí),在x∈(k,k+1)內(nèi)各恰有一解,共有7解.與①類似,可證這些解都是無理數(shù),從而滿足x-k∈/D.

綜上所述,方程共有8解.

圖1

評(píng)析本題通過引用參數(shù)k,區(qū)分x-k∈D和x-k∈/D兩種情況,不僅可以使原問題一分為二多了兩個(gè)已知條件,還變得更加有條理,很大程度上有利于題目的求解.

四、引參設(shè)元產(chǎn)生輔助增設(shè)

輔助參數(shù)的引進(jìn)使得原題中復(fù)雜的關(guān)系或結(jié)構(gòu)得以改善,讓難題的關(guān)系及結(jié)構(gòu)成分更加單純,同時(shí)增加參與運(yùn)算的關(guān)系或數(shù)式,產(chǎn)生一個(gè)動(dòng)態(tài)的運(yùn)算過程,為運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、參數(shù)方法的運(yùn)用創(chuàng)造了機(jī)會(huì).

例4(2018年高考江蘇卷第14題)已知集合A=.將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn＞12an+1成立的n的最小值為___.

解設(shè)an=2k,(有效增設(shè)),則an-1=2k-1,an+1=2k+1.所以Sn=[1+3+···+(2·2k-1-1)]+(2+22+···+2k)=(2k-1)2+2k+1-2,其中n=2k-1+k,令Sn＞12an+1,則(2k-1)2+2k+1-2＞12(2k+1),解得.因此,滿足條件的n應(yīng)使得k取5～6之間.k=5時(shí),n=21,S21=28+26-2=318＜12a22,k=6時(shí),n=38,S38=210+27-2=1150＞12a39=12×65=780,應(yīng)用二分法,取n=29,則S29=S21+33+35+37+39+41+43+45+47=638,a30=49,滿足條件;取n=28,則S28=S21+33+35+37+39+41+43+45=591,a29=47,滿足條件;取n=27,則S27=S21+33+35+37+39+41+43=546,a28=45,滿足條件;取n=26,則S26=S21+33+35+37+39+41=503,a27=43,不滿足條件,故滿足條件的最小n=27.

評(píng)析本題根據(jù)已知條件,引用參數(shù)k,假設(shè)an=2k,再通過對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論,巧妙求解得出答案.

五、構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)生性質(zhì)增設(shè)

函數(shù)反映了客觀世界中運(yùn)動(dòng)與實(shí)際的量之間相互關(guān)聯(lián)的依存關(guān)系,可為研究方程提供新的理解思路,它描述刻畫問題本身的數(shù)量特征及制約關(guān)系,因此恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)可以達(dá)到妙用函數(shù)性質(zhì)的目的.構(gòu)造函數(shù)實(shí)質(zhì)上也是解題所需要的有效增設(shè),是解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵所在.

例5(2018年高考江蘇卷第19題)記f′(x),g′(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在,滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

(1)略;(2)略;(3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=.對(duì)任意a＞0,判斷是否存在b＞0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”,并說明理由.

解(3)對(duì)任意a＞0,設(shè)h(x)=x3-3x2-ax+a(有效增設(shè)).因?yàn)閔(0)=a＞0,h(1)=1-3-a+a=-2＜0,且h(x)的圖像是不間斷的,所以存在x0∈(0,1)使得h(x0)=0.令,則b＞0.函數(shù)f(x)=由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得,即

此時(shí),x0滿足方程組(*),即x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在“S點(diǎn)”,因此,對(duì)任意a＞0,存在b＞0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.

評(píng)析利用有效增設(shè)解題策略通過構(gòu)造函數(shù)解決問題是比較困難的,因?yàn)樗枰忸}者具有優(yōu)秀的邏輯思維.本題通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn),增設(shè)符合題目要求的函數(shù),巧妙且有難度.

六、優(yōu)化假設(shè)產(chǎn)生優(yōu)化增設(shè)

優(yōu)化假設(shè)是指對(duì)題目中已知條件中的數(shù)學(xué)對(duì)象(如點(diǎn)、線段、角等)進(jìn)行有序化或最優(yōu)量的假定.有序化通常是指數(shù)的大小、點(diǎn)的順序或某種位置規(guī)則等;而最優(yōu)量的通常是指最大或最小、最長或最短、最遠(yuǎn)或最近等.對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行有序化或最優(yōu)量的假定實(shí)際上也時(shí)一種有效增設(shè),因?yàn)樗o題目增加了一個(gè)已知條件,有利于降低問題的抽象度與難度.

例6(2018年高考全國卷I理科第21題)已知函數(shù).

(1)略;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:.

解(2)由(1)知,f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨設(shè)x1＜x2(有效增設(shè)),則x2＞1.由

評(píng)析根據(jù)恰當(dāng)?shù)臈l件依據(jù),對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行大小假設(shè),不僅不影響原題意,還對(duì)未知量做了有效增設(shè),排除了不必要的干擾.

上述方法在高考中應(yīng)用頻繁,作用廣泛,有時(shí)候各個(gè)方法也會(huì)綜合應(yīng)用到一個(gè)高考題中,如例3綜合運(yùn)用了分類討論和引用輔助參數(shù)兩種有效增設(shè).在解題中,靈活運(yùn)用解題策略并結(jié)合類比等解題技巧是高考數(shù)學(xué)取得理想成績的關(guān)鍵所在.

鞏固練習(xí)1.(構(gòu)造函數(shù))(2016年高考全國卷I理科第8題)若a＞b＞1,0＜c＜1,則( ).

A.ac＜bcB.abc＜bdc

C.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

2.(化隱為顯)(2016年高考江蘇卷第14題)在銳角三角形ABC中,若sinA=sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是___.

3.(數(shù)學(xué)歸納法)(2016年高考江蘇卷第23題)(1)略;(2)設(shè)求證:.