牛頓環(huán)實驗真實暗紋級數(shù)的研究

張博涵

(石家莊第一中學 河北 石家莊 050031)

1 引言

牛頓環(huán)的等厚干涉實驗是大學物理實驗中最為廣泛、最為普遍的一個實驗.基本方法是通過讀數(shù)顯微鏡對牛頓環(huán)的干涉條紋進行測量，進而計算出平凸鏡的曲率半徑.為了提高其曲率半徑的測量精度，科研人員從各方面都進行了詳細的研究.曹佳妍等人運用誤差分析了測量暗環(huán)的最佳級數(shù)[1]；徐少剛、譚亮等人探討了軟件在數(shù)值處理中的作用[2,3].周勇、宋淑珍等人重點分析了牛頓環(huán)中心圓斑大小對測量結(jié)果的影響[4,5].

在壓力的作用下，平凸鏡在接觸面附近發(fā)生了不可避免的彈性形變，使得暗斑“吞噬”了若干條明暗圓環(huán)，因此，實驗只能精確測出暗環(huán)的直徑，卻不能確定暗紋的真實級數(shù).所以，既然暗斑不可避免，我們將注意力轉(zhuǎn)移到如何能夠確定暗環(huán)的真實級數(shù)，進而提高計算曲率半徑的精度.同時，確定真實暗紋級數(shù)對于牛頓環(huán)在測量薄膜、玻璃彈性模量、液體折射率等方面具有積極意義.

2 原理與公式

牛頓環(huán)裝置如圖1(a)所示，平凸鏡的曲率半徑為R，離接觸點O任一距離r處的空氣薄膜厚度為e.考慮到光疏到光密的半波損失，故在薄膜上下表面反射的兩束光的光程差為

圖1 牛頓環(huán)儀的光路圖及干涉條紋

根據(jù)干涉條件，當光程差為半波長的奇數(shù)倍時，有

(1)

則干涉結(jié)果光強極小，形成暗紋.

由幾何關(guān)系可知

R2=(R-e)2+r2=R2-2Re+e2+r2

(2)

略去二階無窮小量e2，則得到任一暗環(huán)的半徑為

(3)

特別指出,不忽略二階無窮小量e2時，

(4)

本文將按式(4)計算.

3 數(shù)據(jù)處理與分析

對于牛頓環(huán)的暗環(huán)，我們測量了上百組數(shù)據(jù)(以暗斑偏大這一情況為例)，設(shè)級數(shù)調(diào)整系數(shù)為m，數(shù)據(jù)處理分別采用以下3種方法.

(1) 逐差法：一般采用的方法是把測量的偶數(shù)個數(shù)據(jù)對半分成前后兩組，后一組的數(shù)據(jù)與前一組的對應(yīng)數(shù)據(jù)逐差再取平均.而對于此次測量數(shù)據(jù)，球面的曲率半徑公式為

(5)

(6)

的形式，便可以擬合出曲率半徑.

(3) 級數(shù)擬合：因為玻璃的彈性壓力或者灰塵等影響，使得實際上的暗斑直徑遠比理論值大得多，因此，一級或二級，甚至三級的暗環(huán)都淹沒于零級暗斑之中，擬合的結(jié)果就會相差很大.所以，在擬合的時候，我們重新考慮了每一條暗環(huán)的級數(shù)，將其作為未知量，設(shè)

k=m+nm=6

則

同時擬合可以得到n和R的數(shù)值.

以表1的實驗數(shù)據(jù)為例，我們運用上述方法，采用R語言和1stOpt軟件為工具[6,7]，很好地解決了此問題.我們分別編寫了R語言和1stOpt程序，計算了球面半徑，并進行了對比(球面半徑的真實值為2 000 mm).由表1可知，運用級數(shù)擬合的方法，可以更精確地得到曲率半徑.

表1 實驗數(shù)據(jù)及計算結(jié)果的對比

特別說明一下，從數(shù)據(jù)統(tǒng)計擬合的角度，由真實多次測量計算可知，采用R語言，運用統(tǒng)計分析的方法，可以得到更準確的曲率半徑，并可以給出相關(guān)的Std.Error，t value，Pr(>|t|)值等信息.R語言計算結(jié)果如下：

Formula:x$D2 ～ f(R, lambda, m, n)

Parameters:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

R 2.067e+03 5.181e+00 399 <2e-16 ***

m 2.544e+00 3.348e-02 76 1e-12 ***

…

我們還可以調(diào)整牛頓環(huán)螺絲的松緊程度，并對牛頓環(huán)多次測量，以某3次測量為例，如表2所示.

圖2 暗環(huán)直徑平方隨n的變化曲線圖

表2 牛頓環(huán)實驗測量數(shù)據(jù)及計算結(jié)果

由圖2，表2可以看出，在此特例中，測量結(jié)果具有很好的一致性和穩(wěn)健性.R的平均值為2.041×103mm.級數(shù)調(diào)整系數(shù)m為2(取整后的結(jié)果).

4 反演驗證

從表1還可以看出，同一個暗環(huán)，測量的和擬合的級數(shù)相差3個.測量的級數(shù)反而是錯的？擬合的級數(shù)一定是準確的？為了說明這個問題，我們分析了暗環(huán)級數(shù)與直徑的關(guān)系，如圖3所示.可以看出，實驗測量的直徑變化曲線與理論曲線相差3個級數(shù)，而擬合的曲線與理論曲線符合得很好，這也說明我們擬合的級數(shù)是正確無誤的.

圖3 暗環(huán)直徑隨級數(shù)的變化曲線圖

5 結(jié)論

運用級數(shù)、半徑同時擬合的方法，對實驗數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理，并與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法做了對比.該方法不僅能精確得出平凸透鏡的曲率半徑，還能得出各個暗環(huán)的級數(shù)和暗環(huán)半徑，是對該實驗數(shù)據(jù)處理方法的一種創(chuàng)新.同時，真實暗紋級數(shù)的確定，對于牛頓環(huán)測量薄膜、玻璃彈性模量、液體折射率等具有很好的指導意義.

致謝：非常感謝河北地質(zhì)大學物理實驗中心杜國強、張江老師的指導，以及物理實驗協(xié)會同學的幫助.