“兩線法”巧析豎直面內(nèi)不脫軌問(wèn)題

簡(jiǎn)偉偉

(江西省橫峰中學(xué) 江西 上饒 334300)

復(fù)合場(chǎng)中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類題型，特別是該類問(wèn)題中“不脫離軌道”類問(wèn)題，因其知識(shí)聯(lián)系性廣、綜合性強(qiáng)，是高中物理教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題.筆者從教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出一種分析該類問(wèn)題的方法——“兩線法”，該法相比“等效場(chǎng)法”，既能究其本質(zhì)、抓住關(guān)鍵，又通俗易懂、方便快捷.

“兩線法”就是指在以圓軌道的圓心為原點(diǎn)，在物體運(yùn)動(dòng)的圓周上沿著場(chǎng)力的方向作出一條參考線——“場(chǎng)力線”，再作出一條垂直“場(chǎng)力線”的參考線——“壓軌線”，我們利用這兩條參考線方便、清晰地突破豎直平面內(nèi)不脫軌類問(wèn)題的解題方法.

1 模型構(gòu)建 難點(diǎn)突破(以僅在重力場(chǎng)作用下為基本模型)

【例1】如圖1所示，一質(zhì)量為m的小球從半徑為R的固定光滑圓軌道的最低點(diǎn)a點(diǎn)，以速度v0向右運(yùn)動(dòng)，若它運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，試分析小球的運(yùn)動(dòng)情景.

圖1 例1題圖

1.1 “場(chǎng)力線”的作用

因?yàn)橹挥兄亓?chǎng)，沿著場(chǎng)力(此處為重力)方向作出一條參考線——“場(chǎng)力線”，這條線可以突破以下難點(diǎn)問(wèn)題：

(1)圓周上什么位置速度最大？什么位置速度最??？

如圖2所示，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉?，沿著重力方向移?dòng)，重力都要做正功則其速度就要增大，可知參考面L1為沿著重力方向最低的平面，可知小球在a點(diǎn)速度最大，同理參考面L5為沿著重力方向最高的平面(重力做的負(fù)功最多)，可知小球在e點(diǎn)速度最小.

圖2 速度最大和最小點(diǎn)分析圖

總結(jié):圓周上“場(chǎng)力線”最上方的位置速度最小、最下方的位置速度最大.

(2)什么位置軌道受到的壓力最大？

總結(jié):圓周上“場(chǎng)力線”最下方的位置軌道受到的壓力最大.

圖3 軌道受壓力最大和最易脫軌點(diǎn)分析圖

(3)什么地方最易脫離軌道？

如圖3所示，最小向心力為不利用軌道的彈力，僅靠重力的作用來(lái)提供向心力，由圖可知在場(chǎng)力線上e點(diǎn)時(shí)，重力全部沿徑向指向圓心提供向心力，可知該位置的最小向心力最大.由機(jī)械能能量守恒定律易知,在場(chǎng)力線的上方小球的速度會(huì)減小，即越向上運(yùn)動(dòng)越容易使得F提供的向心力>F需要的向心力，所以e點(diǎn)是小球最易脫離軌道的位置，要使得小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，就一定要使得小球通過(guò)e點(diǎn)[1].

總結(jié):圓周上“場(chǎng)力線”最上方的位置最易脫軌(做近心運(yùn)動(dòng)).

1.2 “壓軌線”的作用

如圖4所示，作出一條垂直“場(chǎng)力線”的參考線——“壓軌線”，我們可知這條線將圓周一分為二，在靠近“場(chǎng)力線”下方的這半圓上的任何位置(如圖中b點(diǎn))，由于重力沿徑向的分力是使小球有緊壓軌道的效果.在靠近“場(chǎng)力線”的上方的這半圓上的任何位置(如圖中d點(diǎn))，由于重力沿徑向的分力具有使小球脫離軌道的效果.因此，這條線是場(chǎng)力是否緊壓軌道的分界線，筆者把它簡(jiǎn)稱為“壓軌線”.利用這條線可以突破以下難點(diǎn)問(wèn)題.

圖4 不脫軌范圍和不脫軌條件分析圖

(1)小球在什么范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)一定不會(huì)脫軌？

通過(guò)上面的分析我們可知,在“壓軌線”靠近“場(chǎng)力線”下方的半圓上的任何位置，即使小球速度為零，小球還是會(huì)緊貼軌道.在靠近“場(chǎng)力線”上方的這半圓上的任何位置，由于重力沿徑向的分力是使小球脫離軌道的效果，當(dāng)小球速度小于某一值(由所需的向心力決定)，小球會(huì)脫離軌道而做近心運(yùn)動(dòng).

總結(jié)：“壓軌線”是我們分析小球速度為零時(shí)，小球是否會(huì)脫離軌道的參考線.

(2)小球在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道要滿足什么條件？

綜上分析可得：小球要不脫離軌道，要么通過(guò)“場(chǎng)力線”的最上方的位置做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，要么在“壓軌線”靠近“場(chǎng)力線”下方的半圓上來(lái)回運(yùn)動(dòng).

2 實(shí)戰(zhàn)演練 體驗(yàn)功效(以重力場(chǎng)和電場(chǎng)相交匯的復(fù)合場(chǎng)為普遍范例)

圖5 例2題圖

分析：(1)受力分析，作出兩線

如圖6所示，分析小球所受到的場(chǎng)力(重力、電場(chǎng)力)，作出場(chǎng)力的合力，則該合力的方向即為“場(chǎng)力線”的方向，作“場(chǎng)力線”的垂線，即為“壓軌線”.

圖6 “場(chǎng)力線”和“壓軌線”示意圖

(2)巧借兩線，突破難點(diǎn)

如圖7所示，我們過(guò)圓軌道的圓心，作出“場(chǎng)力線”和“壓軌線”.

圖7 “場(chǎng)力線”和“壓軌線”解題圖

利用“兩線法”原理我們知道，要使小球不脫離軌道，有兩種情況：1)在“壓軌線”下部分半圓(bfe)上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，臨界情況為到b點(diǎn)或e點(diǎn)速度恰好為零；2)恰好以最小的速度過(guò)c點(diǎn)，在圓周上做完整的圓周運(yùn)動(dòng).

(3)結(jié)合分析，列式求解

解:要使小球不脫離軌道有以下兩種情況.

1)在半圓(bfe)上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，設(shè)其以初速度v運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其到達(dá)e點(diǎn)速度恰好為零，由動(dòng)能定理得

解得

2)小球在圓周上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，而不脫離軌道.設(shè)以初速度v′運(yùn)動(dòng),當(dāng)其恰好通過(guò)c點(diǎn)時(shí)，有

-EqRsin 45°-mgR(1+cos45°)=

解得

綜上所述，要使小球在圓軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道需滿足

由以上對(duì)重力場(chǎng)和電場(chǎng)的普遍范例分析可以看出，利用“兩線法”處理豎直平面內(nèi)不脫軌類問(wèn)題時(shí)，內(nèi)在上可以從本質(zhì)上分析各個(gè)臨界點(diǎn)的形成因素，外在上又能以簡(jiǎn)單直觀的方式告訴我們?nèi)绾螌ふ疫@些臨界點(diǎn)，可謂既究其本質(zhì)，又通俗易懂.