“探究碰撞中的不變量”的深度教學(xué)*

何春生 劉永紅

(北京市第八十中學(xué) 北京 100102)

碰撞是自然界中常見的現(xiàn)象.兩個物體碰撞過程中速度都會發(fā)生變化，物體的質(zhì)量不同時，速度變化的情況也不一樣.那么碰撞前后會有什么物理量保持不變呢？

1 問題的提出

教科版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《物理·選修3-5》中，如圖1所示，用實驗探究出了一維碰撞碰撞前后，由參與碰撞的兩個物體組成的系統(tǒng)的∑mv保持不變，而兩個物體的速度之和與動能之和都有可能發(fā)生變化.并由此將物體質(zhì)量和速度的乘積定義為動量.這樣編寫教材，能讓學(xué)生充分體驗到尋找守恒量是研究物理學(xué)的重要思想方法，也能讓學(xué)生充分體驗到定義動量這個物理量的必要性.但要完成這個實驗，最好有氣墊導(dǎo)軌、光電門傳感器等比較先進(jìn)的教學(xué)設(shè)施.而且，這個實驗探究的結(jié)果也只能說明，碰撞前后系統(tǒng)的動量矢量和相等.并不能精確地說明在碰撞過程中的任意時刻，系統(tǒng)的總動量都相同.所以,要想讓學(xué)生接受并深刻理解碰撞過程中系統(tǒng)的動量守恒，還應(yīng)該建構(gòu)中學(xué)生能夠接受的理想化模型進(jìn)行理論探究.

圖1 教科書中一維碰撞的探究

2 教學(xué)實踐

教學(xué)中筆者結(jié)合學(xué)生認(rèn)知狀態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生提取實驗的關(guān)鍵因素，忽略次要因素，建構(gòu)符合中學(xué)生認(rèn)知水平的理想化模型，并利用模型進(jìn)行過程分析和理論探究.學(xué)生不僅能通過實驗發(fā)現(xiàn)碰撞中的守恒量，還能夠利用建構(gòu)的理想化物理模型對碰撞進(jìn)行描述、解釋和預(yù)測.

2.1 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了牛頓定律和勻變速直線運動等知識，會定量分析處理物體在恒力作用下的運動，會從力和運動關(guān)系和能量角度分析問題.對于變力作用下物體的運動問題，高中學(xué)生會定性討論，但不會定量處理.高中學(xué)生思維正從直觀形象型向邏輯抽象型過渡，但思維還常常與感性經(jīng)驗直接聯(lián)系，思維過程中仍需具體形象的材料支持.

2.2 模型建構(gòu)

鑒于學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀，我們將兩個帶彈性鋼片的滑塊抽象成這樣的模型：兩個不受任何外力，能夠發(fā)生形變，能在一維空間運動的彈性小球；當(dāng)兩個小球不接觸時，兩個小球間的相互作用力為零；當(dāng)兩個小球接觸時，兩個小球間有相互作用力，相互作用力大小是隨時間變化的，但其作用效果可等效為一個大小不變的力在同一時間內(nèi)的作用,如圖2所示.

2.3 模型小球的運動過程分析

兩小球碰撞前不接觸，小球間沒有相互作用力，兩小球向右做勻速直線運動.設(shè)球1的速度大于球2的速度，則球1會追上球2并與球2發(fā)生正碰.碰撞過程中球1與球2之間產(chǎn)生相互作用力，球1的受力方向與運動方向相反，所以球1向前做勻減速運動；球2的受力方向與運動方向相同，所以球2向前做勻加速運動.碰撞剛發(fā)生時球1速度大于球2的速度，兩球發(fā)生擠壓形變，兩質(zhì)心間距離逐漸減小.碰撞的后半段球2繼續(xù)加速，球1繼續(xù)減速，球2的速度將會大于球1的速度，兩小球的擠壓形變逐漸恢復(fù)，兩球質(zhì)心間距離逐漸增加.形變完全恢復(fù)后，兩小球脫離接觸，各自向前做勻速直線運動.由上述分析不難看出，兩小球速度相等時，速度大小關(guān)系發(fā)生逆轉(zhuǎn)，兩球質(zhì)心間距離變大變小也隨之發(fā)生轉(zhuǎn)折.不難看出當(dāng)兩球速度相等時，兩球質(zhì)心間距離最小.

2.4 利用建構(gòu)的模型進(jìn)行理論探究

分別用牛頓定律、運動學(xué)的相關(guān)規(guī)律和動能定理來討論一下，從狀態(tài)Ⅰ到狀態(tài)Ⅱ，由不受外力作用的兩個小球組成的系統(tǒng)，總動量和總動能的變化情況.

設(shè)兩小球從狀態(tài)Ⅰ開始接觸，狀態(tài)Ⅱ?qū)?yīng)碰撞中的某一時刻(兩小球發(fā)生形變)，設(shè)從狀態(tài)Ⅰ到狀態(tài)Ⅱ的時間為t，球1和球2在狀態(tài)Ⅰ，Ⅱ的速度分別為v11，v21和v12，v22，球1和球2從狀態(tài)Ⅰ到狀態(tài)Ⅱ通過的位移分別為s1和s2,如圖3所示，球1和球2在碰撞過程中的加速度分別為a1和a2.

2.4.1 用牛頓定律和運動學(xué)的相關(guān)知識(按教材編排順序，學(xué)生此時還沒有學(xué)習(xí)沖量)討論系統(tǒng)的動量變化

對球1從狀態(tài)Ⅰ到狀態(tài)Ⅱ，有

a1t=v12-v11

兩邊同時乘以m1，有

m1a1t=m1v12-m1v11

即

F1t=m1v12-m1v11

(1)

同理，對球2從狀態(tài)Ⅰ到狀態(tài)Ⅱ，有

F2t=m2v22-m2v21

(2)

由牛頓第三定律知

F1=-F2

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)得

m1v11+m2v21=m1v12+m2v22

又因為上述推導(dǎo)，狀態(tài)Ⅱ可以是碰撞中的任意時刻，所以，在整個碰撞過程中系統(tǒng)的∑mv始終是保持不變的.

2.4.2 用動能定理討論系統(tǒng)的動能變化

對球1用動能定理

(4)

對球2用動能定理

(5)

又因為球1減小的動能為

(6)

由式(4)、(6)得：球1的動能減小

Ek1減=F1s1

(7)

球2動能的增加為

(8)

由式(5)和式(8)得：球2的動能增加

Ek2增=F2s2

(9)

根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)1,F2大小相等，所以

(1)若s1=s2時，由式(7)、(9)得： ΔEk1減=ΔEk2增，即球1減小的動能等于球2增加的動能.由式(6)、(8)可知：兩小球狀態(tài)Ⅰ時的動能之和等于狀態(tài)Ⅱ時的動能之和，即

(10)

(2)若s1>s2時，由式(7)、(9)得：ΔEk1減>ΔEk2增，即球1減小的動能大于球2增加的動能.由式(6)、(8)可知：兩小球狀態(tài)Ⅰ時的動能之和大于狀態(tài)Ⅱ時的動能之和，即

(11)

(3)若s1

(12)

在碰撞過程中，前半段球1和球2的擠壓形變逐漸增加，球1的位移大于球2的位移，球1減小的動能大于球2增加的動能，兩球的動能之和不斷減小；當(dāng)形變達(dá)到最大時，球1的位移比球2的位移大得最多，球1減小的動能比球2增加的動能多得最多，兩小球的動能之和最小.碰撞的后半段，球1和球2的形變逐漸恢復(fù)，球1在這一階段的位移小于球2在這一階段的位移，球1減小的動能小于球2增加的動能，兩小球的動能之和不斷增加.當(dāng)形變完全恢復(fù)時，兩小球在碰撞過程中通過的總位移相等，球1減小的總動能等于球2增加的總動能，系統(tǒng)碰撞前的動能等于系統(tǒng)碰撞后的動能.

因為作用力和反作用力時時刻刻大小相等，方向相反，同時產(chǎn)生同時消失，所以，碰撞過程中兩小球所受的相互作用力和時間的乘積Ft(沖量)始終大小相等，方向相反.因此，在碰撞過程中，不受外力作用的系統(tǒng)動量必定守恒.

又因為作用力和反作用力作用在兩個物體上，碰撞過程中兩個物體在同一時段通過的位移不同，作用力與反作用力對兩個物體做的功也不同，導(dǎo)致兩物體的動能變化也不相等，所以碰撞過程中兩物體的動能之和不斷發(fā)生變化.

因此，不受外力作用的系統(tǒng)在碰撞過程中，動量守恒，但動能不斷發(fā)生變化.

2.5 利用建構(gòu)的模型討論碰撞

(1)如果在碰撞過程中，從狀態(tài)Ⅰ到狀態(tài)Ⅲ兩小球的形變完全恢復(fù).則在碰撞過程中球1的位移等于球2的位移，則球1減小的動能等于球2增加的動能，即系統(tǒng)碰撞前的動能之和等于碰撞后的動能之和.在這個過程中，系統(tǒng)的動量守恒，碰撞前后系統(tǒng)的動能沒有損失.我們稱這種碰撞為彈性碰撞.

(2)如果碰撞過程中，兩小球形變量最大，速度相等時，由于某種原因形變不恢復(fù)，此后兩小球以相同的速度共同前進(jìn).此時，球1的位移比球2的位移大得最多，則球1減小的動能比球2增加的動能大得最多，即系統(tǒng)碰撞前動能比碰撞后動能大得最多.在這個過程中，系統(tǒng)的動量守恒，動能損失最多.我們稱這種碰撞為完全非彈性碰撞.

(3)如果碰撞過程中，兩小球到中間任意狀態(tài)時(除速度相等外)，兩小球的形變不再恢復(fù).則在這個過程中球1的位移大于球2的位移，則球1減小的動能大于球2增加的動能，即系統(tǒng)碰撞前的動能大于碰撞后的動能.在這個過程中，系統(tǒng)的動量守恒，動能有損失.我們稱這種碰撞為非彈性碰撞.

(4)雖然我們建構(gòu)的模型是假設(shè)球1和球2間的相互作用力大小保持不變，但由于作用力和反作用力時時刻刻都保持大小相等方向相反，所以它們對時間的累積效果相同.因此，在相互作用力大小隨時間發(fā)生變化情況下，系統(tǒng)的動量還是守恒的.

3 教學(xué)反思

(1)通過實驗研究問題，是物理學(xué)對科學(xué)研究貢獻(xiàn)的重要方法之一.它極大地推動了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展.但從實驗中總結(jié)和發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律，進(jìn)行科學(xué)地分析和解釋，從而尋找更基本、更普遍的物理規(guī)律，也是物理學(xué)追尋的目標(biāo)和重要的研究內(nèi)容.中學(xué)物理教學(xué)中讓學(xué)生有一些這樣的體驗和感知，對促進(jìn)和提高學(xué)生的核心素養(yǎng)是非常有幫助的.

(2)模型建構(gòu)是科學(xué)思維的重要組成部分，建構(gòu)和應(yīng)用物理模型是研究和解決物理問題的基本方法.培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)和應(yīng)用模型的能力，也是學(xué)生學(xué)習(xí)物理課程的重要目標(biāo)之一.教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生多一些體驗和感受.