讓“思想”推動(dòng)“思維”

錢洋

在“平行四邊形”這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中，涉及的數(shù)學(xué)思想方法很多，其中“轉(zhuǎn)化思想”“分類討論思想” “方程思想”“一般到特殊思想”等用得較多。為了讓同學(xué)們能輕松解決平行四邊形中的問題，下面老師將通過對(duì)同學(xué)們易錯(cuò)的三個(gè)典型例題的剖析，讓同學(xué)們體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法推動(dòng)數(shù)學(xué)思維的功效。

一、“轉(zhuǎn)化思想” 在平行四邊形中的運(yùn)用

例1 如圖1，在△ABC中，AB=8，AC=6。 AD是BC上的中線，則AD的取值范圍是（? ? ? ? ）。

A.6

C.1

許多同學(xué)選A，原因是膚淺地認(rèn)為AD是介于AC長(zhǎng)和AB長(zhǎng)之間的一條線段。在涉及有關(guān)線段的取值范圍問題時(shí)，常常要聯(lián)想到三角形的三邊關(guān)系。由AD是中線，聯(lián)想到“倍長(zhǎng)中線法”，如圖2，得到平行四邊形，轉(zhuǎn)化線段AB，將AB、AD、AC轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中求解。延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE、CE，∵AD是BC上的中線，∴BD=DC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴EC=AB=8，∴8-6

二、“分類討論思想” 在平行四邊形中的運(yùn)用

例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（0，4），B（-2，0），C（8，0），點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)。若△BEP是以BE為腰的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______________。

不少同學(xué)受已知圖形的影響，只考慮BP=BE的情形，原因是對(duì)等腰三角形問題缺少分類討論的意識(shí)。BE是等腰△BEP的腰，B、E兩點(diǎn)都可以作為等腰△BEP的頂角頂點(diǎn)。若B為等腰△BEP的頂角頂點(diǎn)，則BP=BE;若E為等腰△BEP的頂角頂點(diǎn)，則EP=EB。分兩種情況討論作答。如圖4，作EH⊥AD于H。由題意BE=5，OA=4，OE=3，當(dāng)BP=BE=5時(shí)，P（1，4）;當(dāng)EP=EB=5時(shí)，可得P2（0，4），P1（6，4），（HA=HP1=3）。綜上，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，4）或（0，4）或（6，4）。

三、“方程思想” 在平行四邊形中的運(yùn)用

例3 如圖5，?ABCD的周長(zhǎng)是28，兩組對(duì)邊的距離分別為DE=3，DF=4，求這個(gè)平行四邊形的面積。

有同學(xué)對(duì)本題的解法找不到思路，無(wú)從下手，這是因?yàn)槿鄙俜治鰡栴}的能力，不能充分挖掘題目中的條件。要求平行四邊形的面積，根據(jù)面積公式，兩條邊上的高都有了，只要求出平行四邊形的任一條邊即可。而條件中的周長(zhǎng)28隱含了兩條鄰邊的和為14，只要設(shè)AB=x，則BC=14-x，利用“面積法”就可以建立方程。

由題意易得AB+BC=14，設(shè)AB=x，則BC=14-x。由平行四邊形的面積可得3AB=4BC。

∴3x=4（14-x），解得x=8。

∴S?ABCD=3×8=24。

【總結(jié)】數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，體會(huì)感受數(shù)學(xué)思想方法的過程，要將學(xué)習(xí)并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要多體會(huì)、多思考，只有這樣，才能提高自己的思維能力。

（作者單位：江蘇省泰興市西城教育集團(tuán)西城校區(qū)）