精設(shè)探究·揭示本質(zhì)·生長能力
——以“平面直角坐標(biāo)系”觀課為例

（江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué)；江蘇省蘇州相城經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)漕湖學(xué)校）

江蘇省蘇州市高新區(qū)數(shù)學(xué)教研活動以年級組為單位，分為三個教改組分別組織活動.每次活動由教改組負責(zé)人提前一周告知開課教師具體課題，開展同課異構(gòu)活動.課后集中組織研討，先由開課教師介紹課堂教學(xué)設(shè)計，簡單總結(jié)上課情況，再由部分教師代表點評，提出可行性的建議等.同課異構(gòu)是最常見、最有效的教學(xué)研討形式之一，這樣的組織形式比較接地氣，對一線教師提高研讀教材教法和課堂教學(xué)設(shè)計水平有很大的幫助.在一次八年級數(shù)學(xué)教改組活動中，由教師A和教師B分別執(zhí)教蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第五章第二節(jié)“平面直角坐標(biāo)系”第2課時教學(xué)研討課，為方便起見，在下文中，將教師A執(zhí)教課程稱為“課例1”，將教師B執(zhí)教課程稱為“課例2”.筆者在觀課、研課活動中，有很多收獲，也引發(fā)一些思考.現(xiàn)筆者對兩節(jié)課部分教學(xué)環(huán)節(jié)做以對比評析，并從文本研讀、為何而教、學(xué)情分析、揭示本質(zhì)等方面反思數(shù)學(xué)課堂探究活動的設(shè)計，談?wù)勅绾翁嵘骄炕顒拥脑O(shè)計內(nèi)涵，引發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中自主探究、揭示本質(zhì)、生長能力.

一、課例對比及評析

1.創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)

課例1復(fù)習(xí)回顧平面直角坐標(biāo)系各象限及坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)符號特征，設(shè)計了5道練習(xí)題，主要考查學(xué)生運用點的坐標(biāo)特征分別確定點的坐標(biāo)、字母的取值范圍或解決有關(guān)點到坐標(biāo)軸的距離問題.課例2復(fù)習(xí)回顧平面直角坐標(biāo)系第1課時的主要內(nèi)容，直接引入新課.

【對比及評析】課例1出示5道練習(xí)，提出8個具體問題，由學(xué)生解決.問題涵蓋了點的坐標(biāo)、點的位置和點到坐標(biāo)軸的距離等知識點，既有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的正用，也有逆用，以具體問題引導(dǎo)學(xué)生充分復(fù)習(xí)回顧上一課時學(xué)習(xí)的平面直角坐標(biāo)系的具體知識，為本節(jié)課數(shù)學(xué)探究活動做知識準(zhǔn)備.課例2采用問答的形式，簡要回顧上節(jié)課所學(xué)要點，直接引入新課.兩節(jié)課都復(fù)習(xí)回顧了平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征，都側(cè)重數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系及邏輯順序，從數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)引出探究的內(nèi)容，并為本節(jié)課探究點的平移、對稱等運動特征做知識準(zhǔn)備.課例1的創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)，本質(zhì)是點的位置確定點的數(shù)量（有序?qū)崝?shù)對）及點的數(shù)量決定點的位置，對于這一數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師的引導(dǎo)歸納不夠，導(dǎo)致學(xué)習(xí)活動呈現(xiàn)的結(jié)果為“解題”活動，又因題量太大，師生在練習(xí)及講評環(huán)節(jié)用時較長，喧賓奪主，引入效果大打折扣.課例2情境創(chuàng)設(shè)過于簡潔，所提問題是對上節(jié)課主要知識點的羅列敘述，沒有抓住新、舊知識的切入點，思維價值不高，無法有效引發(fā)學(xué)生自主復(fù)習(xí)舊知，調(diào)動探究新知的內(nèi)驅(qū)力，導(dǎo)入效果一般.

2.探究活動環(huán)節(jié)

課例1選用教材上的例題開展探究活動，通過在第一象限內(nèi)確定等腰三角形ABC頂點的問題，變式設(shè)計5個探究活動，分別將等腰三角形ABC左右平移、上下平移、復(fù)合平移（兩次平移）、沿y軸翻折、沿x軸翻折，探究、討論點的坐標(biāo)變化情況，形成結(jié)論.探究結(jié)束后，設(shè)計相應(yīng)的當(dāng)堂反饋，應(yīng)用結(jié)論解決簡單的問題.課例2設(shè)計兩個數(shù)學(xué)探究活動，活動1先由學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出4個點A(1 ， 3)，B(- 1，3)，C(- 1，-3)，D(1 ， -3)，觀察4個點的位置關(guān)系，然后探究點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱問題，由特殊的位置關(guān)系得到特殊的數(shù)量關(guān)系，歸納、概括，形成一般結(jié)論；活動2讓學(xué)生把點(1 ， 2)向左或向右平移，再向上或向下平移，觀察點平移前后橫、縱坐標(biāo)的變化，探究點在坐標(biāo)系中的平移問題，歸納、概括，生成一般結(jié)論.每個探究活動后都跟進設(shè)計了“基礎(chǔ)訓(xùn)練”與“能力提升”兩個層次的練習(xí)，應(yīng)用并鞏固結(jié)論.

【對比及評析】課例1以教材上例3為活動素材，把“數(shù)學(xué)實驗室”中點的對稱探究融入其中，設(shè)計5個探究活動，分別探究圖形平移、圖形對稱時對應(yīng)點之間的坐標(biāo)關(guān)系.教材上例3的編寫意圖是把平面圖形放入平面直角坐標(biāo)系，通過畫圖操作，感受平面直角坐標(biāo)系中平面圖形運動引起的點的數(shù)量關(guān)系變化及規(guī)律，架起圖形與數(shù)量關(guān)系互通的橋梁，探究圖形位置變化與點坐標(biāo)變化之間的關(guān)系.教師A對教材的把握準(zhǔn)確，問題設(shè)計具有啟發(fā)性，充分挖掘教材的教學(xué)價值，探究活動組織有序，學(xué)生主動探究，教學(xué)效果顯著.

教師B自主創(chuàng)新設(shè)計探究活動，突出對點的研究，把握本節(jié)課的教學(xué)重點，通過“畫點—觀察—探究—歸納”的活動路徑，獲得點在平移、對稱時的坐標(biāo)變化規(guī)律.這樣的活動設(shè)計，開門見山、直奔主題，把圖形問題具體化、簡單化，為學(xué)生的探究鋪好了臺階，直指探究活動結(jié)果，易于學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，并總結(jié)相關(guān)結(jié)論，單從教學(xué)效果來看，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)簡單、快速、高效.但其設(shè)計也存在明顯弊端.例如，不利于學(xué)生感受從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，不利于學(xué)生整體把握本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的來龍去脈，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

本節(jié)課是研究一類具有特殊位置關(guān)系下的點的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)該遵循先從一般到特殊（研究對象）、再從特殊到一般（研究方法）的研究路徑.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，問題情境的設(shè)計、教學(xué)過程的展示、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動參與，提出各自解決問題的策略，豐富數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，提升思維水平.探究活動應(yīng)該是學(xué)生獨立、自主完成的數(shù)學(xué)活動，師生共同參與毋容置疑，但是過多干預(yù)學(xué)生的探究，有礙學(xué)生自主探究能力的發(fā)展，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.探究活動的設(shè)計應(yīng)符合學(xué)生的認知規(guī)律，注重挖掘知識的生長點與延伸點，明確探究活動的目的，精心設(shè)計問題情境，引發(fā)學(xué)生積極主動參與活動，教師適時、適度參與其中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展及應(yīng)用過程，使學(xué)生感受探究之趣、收獲之悅，體悟數(shù)學(xué)思想，生長數(shù)學(xué)思維.

3.例題教學(xué)環(huán)節(jié)

課例1的例題是對教材上例3的變式設(shè)計，即逐步弱化第一象限條件的限制，從點的視角去探究圖形在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的運動，觀察并分析平移、翻折的運動特征，以此進一步強化平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點在平移、翻折運動時數(shù)量的變化規(guī)律.課例2的例題選自教材上的“數(shù)學(xué)實驗室”第3題，學(xué)生按要求畫出已知線段平移后的圖形，寫出平移后線段端點的坐標(biāo)，探究線段上任意一點平移后坐標(biāo)變化的本質(zhì)，歸納平面直角坐標(biāo)系上圖形平移運動中點的橫、縱坐標(biāo)變化與點的位置變化之間的關(guān)系，揭示平移運動的本質(zhì).

【對比及評析】我們先對教材上的例3與“數(shù)學(xué)實驗室”活動內(nèi)容做簡要分析.上文已指出例3架起了圖形與數(shù)量互通的橋梁，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，使學(xué)生感受到圖形的運動變化引起的位置變化可以用數(shù)量關(guān)系來刻畫.反之，數(shù)量的變化也能用圖形的位置變化來描述.“數(shù)學(xué)實驗室”活動內(nèi)容是例3的延續(xù)，目的是以具體的操作實例，欣賞圖形對稱之美，并理解圖形平移、對稱的本質(zhì)特征，透過現(xiàn)象探究本質(zhì)，歸納、概括，形成一般結(jié)論.基于以上分析，課例1對教材的理解與把握準(zhǔn)確，教師A通過對例題進行多層次、多維度的變式設(shè)計，用問題引領(lǐng)學(xué)生積極參與操作、觀察、思考，逐步揭示問題本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)能力.課例2的例題設(shè)計僅圍繞平移運動展開，從本節(jié)課的教學(xué)重點來看，整體性不足，例題教學(xué)效果稍有欠缺.

4.板書環(huán)節(jié)

課例1的板書設(shè)計如圖1所示.

圖1

課例2的板書設(shè)計如圖2所示.

圖2

【對比及評析】課例1的板書形式為行列式，設(shè)計簡潔美觀，是對本節(jié)課探究結(jié)論的加工與提煉.課例2的板書形式為圖文結(jié)合式，設(shè)計規(guī)范、實用、美觀，數(shù)形結(jié)合，富有啟發(fā)性、示范性.眾所周知，正確、具體、形象的板書能夠幫助學(xué)生正確理解和牢固掌握數(shù)學(xué)知識，抓住學(xué)習(xí)重點.板書是視覺接受信息的主要渠道，優(yōu)秀的板書有利于學(xué)生的視覺記憶，有利于學(xué)生記錄課堂筆記，有利于課后復(fù)習(xí)、理解、鞏固所學(xué)內(nèi)容.板書的一般原則是精煉完整、規(guī)范準(zhǔn)確、清晰美觀、啟發(fā)思維等.綜上所述，課例2的板書設(shè)計能直觀體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)，教學(xué)重點突出，條理清晰，易于學(xué)生理解、識記，很好地概括、總結(jié)了本節(jié)課的教學(xué)要點.數(shù)形結(jié)合，注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，有助于學(xué)生探索解決問題的思路，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、觀課反思

1.文本研讀是探究活動設(shè)計的立足點

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動設(shè)計的立足點是文本研讀.對于本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的理解，可以通過文本研讀達成.本章內(nèi)容編排的線索為“數(shù)量描述大千世界的各種變化—數(shù)量的變化與位置變化有著密切關(guān)系—物體位置的確定—平面直角坐標(biāo)系—在平面直角坐標(biāo)系中用有序?qū)崝?shù)對描述點的位置和位置的變化”.本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)是把一些簡單的圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等運動，引導(dǎo)學(xué)生用點的坐標(biāo)來描述運動后的圖形位置，探究運動后的圖形與原圖形的對應(yīng)點坐標(biāo)的關(guān)系，為后續(xù)函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)做好鋪墊.教師應(yīng)帶著教什么、為什么教、如何教的問題，研讀文本、研究圖文內(nèi)容編寫的背景與意圖.本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容中的例3及“討論”體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于“坐標(biāo)與圖形運動”的有關(guān)要求，有利于感悟數(shù)形的聯(lián)系，在平面直角坐標(biāo)系的背景下深化對圖形對稱性的認識.平面直角坐標(biāo)系是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要載體，教學(xué)設(shè)計應(yīng)該重視利用教材提供的素材，深入挖掘其教學(xué)價值，并適度開發(fā)和利用其他教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生感悟坐標(biāo)思想、發(fā)展空間觀念.

2.為何而教是探究活動設(shè)計的切入點

為什么教是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本問題之一，理清教學(xué)內(nèi)容的來龍去脈及本質(zhì)尤為重要.從內(nèi)容編排上來看，學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于點的坐標(biāo)后，必然會跟進研究相關(guān)點之間的位置與數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)研究函數(shù)圖象做鋪墊.從應(yīng)用方面來看，平面直角坐標(biāo)系在生產(chǎn)、生活、數(shù)學(xué)研究等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)很有必要.從數(shù)學(xué)內(nèi)部功能方面來看，平面直角坐標(biāo)系是點與數(shù)軸關(guān)系的延續(xù)和發(fā)展，它架起了數(shù)與形之間的橋梁，使我們在代數(shù)問題和幾何問題之間建立起聯(lián)系，互通解決.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.可見數(shù)與形的關(guān)系密切，在一定的條件下，數(shù)與形可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透，進而使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，抽象的數(shù)學(xué)問題具體化.課例1在情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)設(shè)置多個練習(xí)，意在引導(dǎo)學(xué)生回顧點的位置與數(shù)量的關(guān)系，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，感受點的位置與點的數(shù)量可以相互轉(zhuǎn)化，以此引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：特殊點的位置與特殊點的數(shù)量.這樣的切入既說明探究的必要性，又指明探究的內(nèi)容與方法，探究活動自然生成.

3.學(xué)情分析是探究活動設(shè)計的生長點

前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基認為，學(xué)生的發(fā)展水平包含學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平和“最近發(fā)展區(qū)”，前者是出發(fā)點，后者是定向點.教學(xué)的設(shè)計應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮學(xué)生現(xiàn)有認知水平，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)幫助學(xué)生內(nèi)化認知結(jié)構(gòu)，促成學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”向現(xiàn)實水平轉(zhuǎn)化.在實際教學(xué)中，學(xué)生很難形成系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的知識體系，部分學(xué)生會用零散的知識分析、解決問題，很多學(xué)生不知道如何實施探究，很難形成有效的認知策略，思維訓(xùn)練與提升則更無從談起.教師要考慮學(xué)生知道了什么，希望學(xué)生探究的問題與學(xué)生的現(xiàn)實水平有多大距離，應(yīng)該設(shè)計哪些問題或活動引發(fā)學(xué)生深入探究、生長知識.例如，在教學(xué)例3與“討論”時追問在平面直角坐標(biāo)系中點(3 ，-1)與點(2 ，1) 的位置與數(shù)量關(guān)系，以此引導(dǎo)學(xué)生在畫圖操作中感受圖形位置變化與數(shù)量變化的關(guān)系，觀察思考圖形平移、翻折變化下的數(shù)量關(guān)系，掌握探究圖形平移、對稱的一般方法，逐步理解沿坐標(biāo)軸方向進行兩次平移的變化規(guī)律及沿坐標(biāo)軸兩次對稱的變化規(guī)律，抓住數(shù)學(xué)知識的生長點、延伸點，生長數(shù)學(xué)能力.因此，探究活動的設(shè)計要基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識的特征與聯(lián)系，優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)活動，搭建思維的腳手架，以問題引領(lǐng)學(xué)生探究并獲得新知，使數(shù)學(xué)知識的生長自然、優(yōu)質(zhì).

4.揭示本質(zhì)是探究活動設(shè)計的落腳點

新加坡數(shù)學(xué)教育家李秉彝先生說過，數(shù)學(xué)教育必須做到“上通數(shù)學(xué)，下達課堂”.所謂上通數(shù)學(xué)就是理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).平面直角坐標(biāo)系的本質(zhì)在于用“數(shù)”所滿足的方程來表示點的運動軌跡，即數(shù)形結(jié)合的思想.基于本質(zhì)的理解，數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)計若有的放矢，學(xué)生必然學(xué)有所獲.揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)探究活動的落腳點，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的落腳點.因此，在常態(tài)課、公開課、研討課，甚至是優(yōu)課賽的教學(xué)設(shè)計中，都應(yīng)該重視挖掘教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)價值，通過建構(gòu)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)結(jié)、精心設(shè)計探究活動等途徑，透過現(xiàn)象揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生在濃郁的數(shù)學(xué)味中，享受課堂、生長能力.