撥云見日

陳愛強(qiáng)

【中圖分類號(hào)】G634.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）13-0257-01求圓錐曲線的離心率問題是高考中常考的問題，在高考試題中處于重要的位置，也是高考中解析幾何試題的一個(gè)倍受青睞的考查點(diǎn)，其求解策略的關(guān)鍵是建立目標(biāo)的方程式或不等式，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍。由于它涉及圓錐曲線較多的基本量，方程與曲線問題，方程組與不等式的求解問題，等等，所以相對(duì)比較復(fù)雜，學(xué)生常常感到難以下手，迷霧重重，不好把握。下面就通過近年的一些高考題和模擬題的分析、研究和求解，總結(jié)出一般的解題策略和方法，期望能撥云見日，馬到功成。一、根據(jù)條件先求出a，c，利用e=ca求解其關(guān)鍵是找出a，c的兩個(gè)關(guān)系式從而求e.例1 若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1（1，0），F(xiàn)2（3，0），則其離心率為（

）A.34 B.23 C.12 D.14解析：由F1、F2的坐標(biāo)知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵橢圓過原點(diǎn)，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，所以離心率e=ca=12.故選C.二、構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a、b、c、e的齊次方程式求e其中關(guān)鍵是找出一個(gè)關(guān)于a、b、c、e的齊次方程式，然后對(duì)其中的b（其中橢圓和雙曲線區(qū)分）用a、c的表達(dá)式代入，最后在方程的左右兩邊同除以a的最高次數(shù)從而列出一個(gè)關(guān)于e的方程求e。要注意橢圓離心率的取值范圍e∈（0，1），雙曲線離心率的取值范圍e∈（1，+∞），在拋物線中，離心率e=1.1.根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)等建立a，c方程式求解。例2 設(shè)雙曲線x2a2﹣y2b2=1（02，∴e2=4，∴e=2.故選A.上式利用點(diǎn)到直線距離公式從而得到關(guān)于a，b，c的方程從而求解.2.利用橢圓的第二定義法求離心率。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率e是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題。例3 在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為2，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ ）A.2

B.22

C.

12 D. 24解析：由過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦又稱為通徑，設(shè)焦點(diǎn)為F，則MF⊥x軸，知|MF|是通徑的一半，則有|MF|=22。由圓錐曲線統(tǒng)一定義，得離心率e=|MF|d=22，從而選B。三、求橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍問題這類問題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，求離心率的難點(diǎn)在于如何建立不等關(guān)系定離心率的取值范圍.通常可以從兩個(gè)方面來研究：一是考慮幾何關(guān)系量的大小及圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)等，例如線段的長(zhǎng)度、角的大小等；二是通過設(shè)橢圓（或雙曲線）點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓（或雙曲線）本身的范圍，列出不等式.1.由已知條件直接找出一個(gè)不等式來求e。例4 橢圓x2a2+y2b2=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為M，N.若|MN|≤2|F1F2| ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）A.（0，12] B.（0，22] C.[12，1） D.[22，1）解析：D. ∵兩準(zhǔn)線距離為2a2c，又∵|F1F2|=2c，∴2a2c≤4c，即a2≤2c2，∴22≤e<1.本題主要考查準(zhǔn)線方程及橢圓離心率的求法，而限制條件即是題目中的，故利用題設(shè)得到與離心率相關(guān)的不等式即可.2.利用三角形三邊關(guān)系。例5、（福建）雙曲線x2a2=y2b2=1（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）A.（1，3）

B.（1，3] C.（3，+∞）

D.[3，+∞）解析：可用三角形三邊關(guān)系求解，但注意取等條件.在△PF1F2中|PF1|-|PF2|<|F1F2|，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|（后者在P與A1重合時(shí)取等），又|PF1|-|PF2|=2m-m=m=2a，則2a<2c且3m=6a≥2c，∴e∈（1，3].只要與焦點(diǎn)三角形相關(guān)的問題可以考慮用三角形三邊關(guān)系來建立不等式.3.運(yùn)用函數(shù)思想求解離心率。例6：若a>1，雙曲線x2a2-y2（a+1）2=1離心率e范圍是（ ）A.（2，2） B.（2，5） C.（2，5） D.（2，5）解析：B. e=1+（a+1）2a2=（1a+1）2+1.∵a>1，∴0<1a<1，根據(jù)二次函數(shù)值域可得2

B.（0，12] C.（0，22 D.[22，1）解析：C. M軌跡為以焦距為直徑的圓， M總在橢圓內(nèi)部，知：cc>b時(shí)M點(diǎn)有4個(gè)在橢圓上；c=b時(shí)M有2個(gè)在橢圓上，就是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn).5.利用三角函數(shù)的特點(diǎn)來求解。例8雙曲線x2a2-y2b2（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A.（1，3） B.（1，3]

C.（3，+∞） D.[3，+∞）解析：B.設(shè)|PF2|=m，∠F1PF2=θ（0<θ≤π），當(dāng)P點(diǎn)在右頂點(diǎn)處θ=π，e=2c2a=m2+（2m）2-4m2cosθm=5-4cosθ.∵-1≤θ<1，∴e∈（1，3].根據(jù)第一定義結(jié)合余弦定理將離心率轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，再利用三角函數(shù)求最值?？傊?，在圓錐曲線中，對(duì)于離心率和離心率的取值范圍的處理，很多學(xué)生很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以上，總結(jié)一些處理問題的常規(guī)思路，如果能理解并在解決問題時(shí)靈活運(yùn)用，往往能在山重水復(fù)迷霧重重時(shí)，就能撥開云霧，柳暗花明。參考文獻(xiàn)[1]張瑞炳.《 百題過關(guān)》. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2012.[2]王昊. 圓錐曲線的解題技巧.考試周刊，2011年第76期.