三角恒等變換之全方位突破

■李立朝

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，因此在高一階段就要打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。三角函數(shù)離不開(kāi)三角恒等變換，三角恒等變換的主要考查形式有：三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明。下面結(jié)合典型例題對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行分析、梳理和指導(dǎo)。

一、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)常見(jiàn)方法有：弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪。

例1cos 2β=____。

解法一：（從角入手，復(fù)角化單角）原式=（2 cos2β-1）=sin2αsin2β+cos2αcos2β-

解法二：（從名入手，異名化同名）原式=sin2αsin2β+ （1-sin2α） cos2β-

解法三：（從冪入手，利用降冪公式降冪）原式

評(píng)析：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，即一看角，二看名，三看式子的結(jié)構(gòu)與特征。三角函數(shù)的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、半、互余、互補(bǔ)），尋找所求式與三角公式之間的共同點(diǎn)。

二、三角函數(shù)的求值

三角函數(shù)的求值問(wèn)題，要注意善于利用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行角的變換。

例2已知α，β為銳角，sin（α+，則cosβ=____。

解：由α為銳角，可得

故cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）·

三、三角恒等變換在三角函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用

三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)緊密聯(lián)系，掌握三角恒等變換也是學(xué)好三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。

例3已知不等式對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）。

解：由題意可得在上恒成立。

評(píng)析：把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵。求形如y=Asin（ω x+φ）的最值、單調(diào)性時(shí)，可將ω x+φ視為一個(gè)整體，換元后結(jié)合y=sinx的圖像來(lái)解決。

編者注：高考對(duì)三角函數(shù)的考查一般都是通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行的。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)立足課本，打好基礎(chǔ)。通過(guò)公式之間的推導(dǎo)，理解公式的形成過(guò)程，掌握公式的本質(zhì)和規(guī)律，形成清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化易混、易漏、易錯(cuò)點(diǎn)的反思、感悟和針對(duì)性訓(xùn)練。在解題時(shí)，要善于在條件和結(jié)論中建立聯(lián)系，這樣就能立足基礎(chǔ)，發(fā)展能力，在考試中立于不敗之地。