揭秘三角變換中角變換常見(jiàn)的幾種策略

■郭明龍

三角變換通常是指角變換和函數(shù)名稱變換，而其中的角變換是同學(xué)們學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，雖然角的變換錯(cuò)綜復(fù)雜，但是卻有規(guī)律可循。下面介紹幾種三角變換中角變換的策略，以供同學(xué)們參考。

一、化結(jié)論角為條件角的和或差

例1已知，則cos 2α的值為（ ）。

分析：由條件求值時(shí)，要仔細(xì)觀察條件與結(jié)論中的角的差異，設(shè)法尋找角之間的關(guān)系。因?yàn)?α=（α+β）+（α-β），所以結(jié)論中的角可用條件中的角表示，從而求出三角函數(shù)的值。

解：因?yàn)棣拢鸡?，所以?β＞0。又因?yàn)樗运?，所以sin（α-β）＞0，故sin（α-

所以cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=應(yīng)選B。

點(diǎn)評(píng)

常見(jiàn)的角變換有α=（α+β）-β，β=（α+β）-α，2α=（α+β）+（α-β），2β=（α+β）-（α-β），等。

跟蹤練習(xí)1：若則的值為（ ）。

提示：

二、化條件角為結(jié)論角的和或差

例2已知3 sinβ=sin（2α+β），求證：tan（α+β）=2 tanα。

分析：觀察條件等式和結(jié)論等式中的角的種類差異，我們發(fā)現(xiàn)可以采用角的變換，即β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α來(lái)解題，所以本題的證明可從角的變換入手。

證明：因?yàn)? sinβ=sin（2α+β），所以3 sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，即3 sin（α+β）cosα-3 cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα。所以2 sin（α+β）cosα=4 cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2 tanα。

點(diǎn)評(píng)

通過(guò)觀察條件和結(jié)論中角的關(guān)系，可以變換條件中的角，將結(jié)論中的角表示為條件中的角。

跟蹤練習(xí)2：已知2 sinα=sin（α+β），求證

證明：因?yàn)棣?（α+β）-β，所以sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）·sinβ。所以2 sin（α+β）cosβ-2 cos（α+β）·sinβ=sin（α+β），兩邊同除以cos（α+β），得2 tan（α+β）cosβ-2 sinβ=tan（α+β）。所以

三、化非特殊角為特殊角

例3求函數(shù)cos（x+55°）的最大值。

分析：觀察函數(shù)式中的角的種類差異，我們發(fā)現(xiàn)可以利用角的變換，即利用x+55°=（x+10°）+45°來(lái)解題。

解：因?yàn)閟in（x+55°）。所以函數(shù)cos（x+55°）的最大值為1。

點(diǎn)評(píng)

通過(guò)求角的和或差能呈現(xiàn)出特殊角，找到互余、互補(bǔ)、半角或倍角的關(guān)系，使已知角與待求角之間發(fā)生聯(lián)系，選擇相應(yīng)的三角公式進(jìn)行變形，可順利解答這類問(wèn)題。

跟蹤練習(xí)3：計(jì)算的值。

提示：因?yàn)閟in47°=sin（30°+17°）=sin 30°cos17°+cos30°sin17°，所以原式=

四、消去無(wú)關(guān)角

例4已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，則cos（α-β）的值為（ ）。

分析：因?yàn)橐蟮慕Y(jié)果與γ無(wú)關(guān)，所以要想辦法把γ消去。

解：把條件中的兩個(gè)等式變形為：

由①2+②2得2+2（sinαsinβ+cosα·cosβ）=1，所以應(yīng)選A。

點(diǎn)評(píng)

對(duì)于已知sinα±sinβ=m，cosα±cosβ=n，其中m，n為常數(shù)，求α±β的三角函數(shù)值的問(wèn)題，常?？梢杂闷椒较嗉拥姆椒▉?lái)解決。

跟蹤練習(xí)4：已知sinα+cosβ+sinγ=0，cosα+sinβ+cosγ=0，則sin（α+β）的值為（ ）。

提示：把條件中的兩個(gè)等式變形為：

由①2+②2得2+2（sinαcosβ+cosα·sinβ）=1，所以應(yīng)選B。

五、縮小角的范圍

例5已知，且α，β∈（0，π），則2α-β的值為（ ）。

分析：由給定的三角函數(shù)值求角時(shí)，一般先選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設(shè)確定所求角的范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出角的范圍。

解：tan（2α-β）=tan[2（α-β）+β]=因?yàn)閠an2（α-β）=，所以：

tanα=tan[（α-β）+β]=。又因?yàn)棣粒隆剩?，π），所以，即由tanβ=，且α，β∈（0，π），可知所以：

點(diǎn)評(píng)

對(duì)于已知兩角的范圍，求它們倍角的和或差的三角函數(shù)值時(shí)，必須利用已知條件使每個(gè)角的范圍盡可能地縮小，這樣才不會(huì)產(chǎn)生增根。所以確定角的范圍是解題的關(guān)鍵，同時(shí)一定要使所選的三角函數(shù)在此范圍內(nèi)是單調(diào)的。

跟蹤練習(xí)5：已知α，β為三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則β=____。

提示：因?yàn)?＜α＜所以，故又所以或由，知，所以cos（α+β）=

所以cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+因?yàn)?＜β＜π，所以