數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

寇旭艷

[摘? ?要]數(shù)形結(jié)合思想在解題中有著非常重要的作用，不管是平時(shí)的考試題還是高考題，很多都與數(shù)形結(jié)合有關(guān) .有些題如果不用數(shù)形結(jié)合法來求解，運(yùn)用常規(guī)方法來解要么難度很大，要么就解不出來 .如果解題時(shí)能巧妙地結(jié)合圖形利用數(shù)形結(jié)合法，可以取得很好的效果，非常容易得到答案.

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合思想;高中數(shù)學(xué);解題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）14-0030-03

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中有非常重要的作用 .很多試題都與數(shù)形結(jié)合密切相關(guān);有些題如果不用數(shù)形結(jié)合法來求解，運(yùn)用常規(guī)方法根本解不出來 .如果在解題時(shí)能巧妙地結(jié)合數(shù)形結(jié)合法，可以取得很好的效果，非常容易得到答案 .

“代數(shù)”與“圖形”的結(jié)合可以把抽象的代數(shù)問題，通過其圖像直觀形象地展示出來 .把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來研究，可以將代數(shù)問題幾何化、直觀化和簡單化，從而使問題得到解決 .數(shù)形結(jié)合在高考解題中也有重要的作用 .高考的時(shí)間有限，有些題目運(yùn)用常規(guī)方法來求解，往往計(jì)算量較大，運(yùn)算復(fù)雜，花費(fèi)很長時(shí)間 .如果在解題時(shí)能巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，可以非常容易得到答案，起到事半功倍的效果 .

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法來解題時(shí)，要求學(xué)生要審好題，要了解清楚題目的條件和要求，并積極挖掘與之有關(guān)的條件，聯(lián)系以前學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，尋找所給條件與結(jié)論之間的關(guān)系，找出所給關(guān)系式的幾何意義，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，將數(shù)量關(guān)系與幾何圖形結(jié)合起來解決問題 .要將“代數(shù)”與“圖形”結(jié)合起來，關(guān)鍵是學(xué)生要會(huì)畫出常見函數(shù)（方程）的圖形，并根據(jù)所畫的圖形分析代數(shù)式所表示的意義 .教師在教學(xué)過程中，遇到相應(yīng)的考點(diǎn)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)與幾何的關(guān)系方面去分析它們的內(nèi)在關(guān)系，從而尋求解決問題的有效方法 .下面本文通過幾個(gè)案例的分析來談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 .

一、利用數(shù)形結(jié)合解決集合的有關(guān)問題

1.利用數(shù)軸解決集合的運(yùn)算問題

在集合運(yùn)算中，可以利用數(shù)軸和韋恩圖來進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，使問題變得簡單明了 .

算非常方便直觀 .

2.利用韋恩圖解決集合的問題

） .

二、利用數(shù)形結(jié)合求方程根的個(gè)數(shù)

很多方程往往以代數(shù)的形象呈現(xiàn)在人們面前.如果單單用代數(shù)的方法去解決總是不盡如人意，而數(shù)形結(jié)合的使用往往會(huì)收到意想不到的效果 .

利用數(shù)形結(jié)合求解含有抽象函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，可以更加直觀形象地求出結(jié)果.如果只用代數(shù)解可能比較麻煩，或者根本就解不出來 .

三、利用數(shù)形結(jié)合求不等式的解集

通過上面的兩種解法可以看出，解法二利用了數(shù)形結(jié)合法，既直觀又形象地找出了本題的答案，又不容易出錯(cuò) .

在以上兩種不同的解題方法中，分別利用了單位圓中的余弦線和余弦圖像解題，根據(jù)余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能夠更加直觀地得出結(jié)果 .以上兩種不同的方法，都是數(shù)形結(jié)合的解題方法，得出的結(jié)果相同，都能夠?qū)⒘?xí)題迅速解出 .

四、利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍

分析：本題若按照常規(guī)方法直接利用求根公式求出方程的兩個(gè)根，再由“一個(gè)根小于0，另一根大于2”建立不等式來求解，就要解兩個(gè)含有根號(hào)的不等式，特別麻煩.如果根據(jù)“三個(gè)二次的關(guān)系”畫出圖像，結(jié)合二次函數(shù)的圖像特征來求解，問題就變得很簡單了 .

五、 利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域

1.利用數(shù)形結(jié)合求分段函數(shù)的值域

分析：首先可以去掉絕對(duì)值，把上式變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，然后畫出分段函數(shù)的圖像（如圖10），由圖像可以很清楚地看出函數(shù)的值域?yàn)閇-2 ，2] .

2.利用數(shù)形結(jié)合求分式類型函數(shù)的值域

3.利用數(shù)形結(jié)合求含有根式類型函數(shù)的最值

分析：本題若直接用代數(shù)法求解根本無從下手.若能聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和來求解，問題馬上變得既簡單又形象直觀 .

此外，數(shù)形結(jié)合在解析幾何、立體幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等都有廣泛的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想在解題中有非常重要的應(yīng)用.作為一線教師，在平時(shí)的教學(xué)中不僅要注重鉆研教材，把教材的本質(zhì)充分地發(fā)掘出來，更要注重對(duì)學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中逐漸養(yǎng)成利用數(shù)形結(jié)合思想來思考與解決問題的習(xí)慣，從而提高學(xué)生的思維能力 .教師還應(yīng)要求學(xué)生在做題時(shí)，既要會(huì)根據(jù)題目的條件畫出圖形，又要會(huì)利用圖形來理解題目中代數(shù)式的幾何意義，從而達(dá)到“數(shù)”與“形”相統(tǒng)一 .

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）