問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的Bode曲線教學(xué)

宋海濤 王夏復(fù) 夏朝輝 張合新 鄭玉航

摘要：本文主要采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式方法對(duì)《自動(dòng)控制原理》中的Bode曲線進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。從復(fù)雜系統(tǒng)建模這個(gè)具體的工程問(wèn)題出發(fā)，逐層遞進(jìn)，講述Bode曲線定義、推導(dǎo)繪制方法、逆向應(yīng)用建模，完整展示提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題的“閉環(huán)思想”。該教學(xué)方法培養(yǎng)了學(xué)生的理論與實(shí)踐相結(jié)合的能力。

關(guān)鍵詞：自動(dòng)控制原理;Bode曲線;實(shí)驗(yàn)建模;教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2019）18-0204-02

一、引言

《自動(dòng)控制原理》是一門理論性和實(shí)踐性很強(qiáng)的工程技術(shù)基礎(chǔ)課程，該課程理論抽象、公式推導(dǎo)復(fù)雜，不易理解和掌握[1]。這就對(duì)教學(xué)提出了挑戰(zhàn)，要求任課老師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，并采用科學(xué)的教學(xué)方法[2]。

Bode曲線，又稱對(duì)數(shù)頻率特性曲線，是控制系統(tǒng)的一種重要的幾何曲線。它反映系統(tǒng)的頻率特性，可以作為系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵工具。但是，頻率域概念抽象，傳統(tǒng)的注入式教學(xué)模式效果一般。針對(duì)此缺陷，本文從實(shí)際工程問(wèn)題出發(fā)，逐層遞進(jìn)，講述曲線定義、推導(dǎo)繪制方法、逆向應(yīng)用，注重理論與實(shí)踐的結(jié)合，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力[3，4]。

二、教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)本次課內(nèi)容的學(xué)習(xí)，將達(dá)到如下教學(xué)目標(biāo)：

第一，掌握系統(tǒng)的Bode曲線繪制方法（重點(diǎn)）;

第二，掌握利用Bode曲線對(duì)系統(tǒng)建模（難點(diǎn)）。

三、教學(xué)實(shí)施

1.問(wèn)題的提出。舵機(jī)是機(jī)器人的重要執(zhí)行機(jī)構(gòu)，如圖1所示，其結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，包含電路、機(jī)械關(guān)系。為了對(duì)機(jī)器人整體進(jìn)行性能分析和設(shè)計(jì)，需要獲得舵機(jī)的精確數(shù)學(xué)模型。因此，舵機(jī)的數(shù)學(xué)模型很重要。

常用的建模方法是機(jī)理建模。但是，舵機(jī)的機(jī)理復(fù)雜，信號(hào)種類多，信號(hào)轉(zhuǎn)換存在誤差，建模結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，常采用另外一種建模方法——實(shí)驗(yàn)建模，原理如圖2所示頻率響應(yīng)。

實(shí)驗(yàn)建模方法[5]。給舵機(jī)輸入正弦諧波信號(hào)，由頻譜分析儀采集輸入輸出信號(hào)，經(jīng)相關(guān)計(jì)算后得到舵機(jī)的對(duì)數(shù)幅頻和相頻數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行相關(guān)處理，確定系統(tǒng)的頻率特性，完成系統(tǒng)建模。其中，關(guān)鍵工具是Bode曲線。

2.曲線的定義（工具橋梁）。Bode曲線包含兩條子曲線：對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻曲線，兩曲線的橫坐標(biāo)相同，都是半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系，即長(zhǎng)度是lgω進(jìn)行度量的。對(duì)數(shù)幅頻的縱坐標(biāo)定義為20lg|G（jω）|;對(duì)數(shù)相頻的縱坐標(biāo)為∠G（jω）。

3.典型環(huán)節(jié)的曲線（基礎(chǔ)）。一般的控制系統(tǒng)可看作是由一些簡(jiǎn)單環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的，這些簡(jiǎn)單環(huán)節(jié)稱之為典型環(huán)節(jié)。常見的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)。對(duì)應(yīng)頻率特性及曲線參見[5]，它們的對(duì)數(shù)頻率特性直接影響系統(tǒng)整體的對(duì)數(shù)頻率特性。

4.系統(tǒng)的開環(huán)曲線繪制（理論基礎(chǔ)）。一個(gè)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性是多個(gè)典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加，而在轉(zhuǎn)折頻率段內(nèi)，典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線斜率不變化，則系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的直線方程也應(yīng)該保持不變。那么，系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性曲線中的對(duì)數(shù)幅頻曲線應(yīng)該是分段直線。則可以根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，此法稱為按轉(zhuǎn)折頻率分段計(jì)算法。

最小的轉(zhuǎn)折頻率以左的頻率范圍稱為低頻段。對(duì)系統(tǒng)頻率特性求極限推導(dǎo)，可得低頻段L（ω）的直線方程為L(zhǎng)（ω）=20lgK-υ×20lgω。基于低頻段曲線，再利用分段直線的變化規(guī)律就可以繪制其他頻段的曲線。在后面的繪制中，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率后，系統(tǒng)就疊加上其對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的影響，直線斜率就會(huì)發(fā)生變化，變化的規(guī)律就取決于該轉(zhuǎn)折頻率對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的特性，則得到分段直線的方程。

對(duì)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線的繪制，需要列寫出系統(tǒng)相頻的表達(dá)式，采用描點(diǎn)法繪制。

此部分根據(jù)模型繪制曲線，這個(gè)過(guò)程能否反過(guò)來(lái)呢？是可行的，這種逆向思維給我們提供了系統(tǒng)建模的一個(gè)重要方法：模型辨識(shí)。

5.曲線逆向應(yīng)用（解決問(wèn)題）。模型就是頻率特性，分為K、υ、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)等要素。而這些要素分別由曲線的低頻段和其他頻段決定。低頻段的方程取決于K，υ，那我們根據(jù)低頻段曲線就可以確定K，υ;其他頻段的各轉(zhuǎn)折頻率及各折線的斜率則反映了系統(tǒng)含有慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)等各典型環(huán)節(jié)的信息。這樣就可以最終確定系統(tǒng)的頻率特性。所以，如果能夠獲得系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻曲線，就可以確定系統(tǒng)模型，即模型辨識(shí)。而對(duì)數(shù)幅頻曲線可利用頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)得到。

下面通過(guò)一組舵機(jī)頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)舵機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)建模。首先，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，描點(diǎn)得到舵機(jī)的真實(shí)對(duì)數(shù)幅頻曲線，如圖3中粗虛線所示。可見，真實(shí)對(duì)數(shù)幅頻曲線不是直線、折線，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)設(shè)備測(cè)量噪聲、干擾。經(jīng)過(guò)去噪、分段擬合處理，得到如圖3中粗實(shí)線所示的對(duì)數(shù)幅頻漸近線。

可見，對(duì)數(shù)幅頻漸近線大約有三段，利用漸近線可在圖上測(cè)量出其低頻段幅值、各分段的斜率、轉(zhuǎn)折頻率。低頻段幅值為3.52，斜率大小分別是0，-20，-40，轉(zhuǎn)折頻率為1、100。

四、總結(jié)

本節(jié)課以復(fù)雜系統(tǒng)的模型辨識(shí)問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，講述控制系統(tǒng)頻域的一個(gè)重要曲線——Bode曲線的繪制和應(yīng)用，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)思路完整展示提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題的“閉環(huán)思想”。教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法體現(xiàn)復(fù)雜數(shù)學(xué)模型與簡(jiǎn)潔幾何曲線的數(shù)形結(jié)合思想。在曲線繪制部分，根據(jù)系統(tǒng)模型推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)曲線是由低頻段關(guān)鍵要素K，υ和其他頻段的轉(zhuǎn)折頻率決定。在曲線的逆向應(yīng)用部分，利用對(duì)數(shù)幅頻曲線與數(shù)學(xué)模型的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決系統(tǒng)建模問(wèn)題。但是，這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系僅適用于最小相位系統(tǒng)，如果系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，則需要同時(shí)結(jié)合相頻特性。Bode曲線的實(shí)驗(yàn)建模應(yīng)用，具有廣泛的工程實(shí)踐意義，有助于解決復(fù)雜系統(tǒng)的建模問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]白翔云，鄒長(zhǎng)春.淺談自動(dòng)控制原理教學(xué)改革與實(shí)踐[J].時(shí)代農(nóng)機(jī)，2018，（4）：123.

[2]林青，裘潯雋，張君，王金平，丁軻軻.以多種手段為導(dǎo)向的教學(xué)方法的實(shí)踐及探討[J].教育教學(xué)論壇，2018，（24）：167-168.

Abstract：This paper mainly uses Problem-driven method to finish the instructional design of the Bode curve in automatic control principle.Starting from the modeling of complex system，which is a specific engineering problem，this paper describes the definition of Bode curve，deduces the drawing method，and models with the reverse application.The whole process completely presents the closed-loop idea of raising problems，analyzing problems and solving problems.This teaching method trains the students' ability of combining theory with practice.

Key words：automatic control principle;Bode curve;experimental modeling;teaching method