著眼數(shù)學(xué)建模 提升幾何素養(yǎng)——記一節(jié)“K字模型的應(yīng)用”復(fù)習(xí)課

(尚志中學(xué),浙江 寧波 315202)

1 問(wèn)題的提出

在一次八年級(jí)的課堂教學(xué)中，有這樣一道題目.

圖1

學(xué)生乍看之后一臉迷茫，全班共有45位學(xué)生，個(gè)個(gè)無(wú)從下手.事后想想，八年級(jí)的學(xué)生平時(shí)學(xué)的都是單課的知識(shí)，復(fù)習(xí)也大多是以單純的講題為主，難以創(chuàng)造性地解出此題.抓住這個(gè)契機(jī)，筆者設(shè)計(jì)了以下這節(jié)復(fù)習(xí)課.

2 基本模型的建立

問(wèn)題1如圖2，已知AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，O是BD上一點(diǎn)，且AO=OC，AO⊥OC，你能得出哪些結(jié)論？

分析學(xué)生易得出△ABO≌△ODC，△AOC是等腰直角三角形等結(jié)論.

圖2圖3

我們把這個(gè)形狀稱為K字型，并進(jìn)一步將其納入直角坐標(biāo)系.

問(wèn)題2如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，以O(shè)為原點(diǎn)、BD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C(1，2)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

分析根據(jù)問(wèn)題1的結(jié)論，易得A(-2，1).

再設(shè)計(jì)兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)構(gòu)造K字型.

問(wèn)題3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C(1，2)，若△AOC是以O(shè)C為直角邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

分析需要分類討論.

1)以O(shè)為直角頂點(diǎn).

如圖4，構(gòu)造K字型后，易得A(2，-1).

圖4圖5

如圖5，構(gòu)造K字型后，易得A(-2，1).

2)以C為直角頂點(diǎn).

圖6圖7

如圖6，構(gòu)造K字型后，可得OF=CE=1，CF=AE=2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1，3).

如圖7，構(gòu)造K字型后，可得OE=CF=2，CE=AF=1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，1).

問(wèn)題4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C(2，1)，若△AOC是以O(shè)C為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

圖8圖9

總結(jié)無(wú)論OC為直角邊還是斜邊，先過(guò)直角頂點(diǎn)構(gòu)造K字型，再利用三角形全等得到兩組相等的線段，可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖由于八年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)特殊三角形，對(duì)于不在平面直角坐標(biāo)系的K字型比較熟悉，因此由此引入建立平面直角坐標(biāo)系，循序漸進(jìn).以O(shè)C為直角邊和OC為斜邊畫出等腰直角三角形是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，此時(shí)教師要給學(xué)生足夠的時(shí)間，讓學(xué)生自己畫出圖形，再引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造K字型去解決問(wèn)題.

3 基本模型的鞏固

1)求直線CD的解析式.

2)在第一象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)F，使以E，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖10圖11

分析1)直線CD的解析式為y=2x+2.

②去掉無(wú)關(guān)的線和點(diǎn)，畫出圖形如圖11.

③構(gòu)造K字型：如圖12，以E為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)F位于第一象限；如圖13，以O(shè)為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)F位于第一象限.

圖12圖13

圖14

1)求直線DF的解析式.

2)在第一象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)H，使以G,O,H為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

比較問(wèn)題5和變式1，背景稍有改變，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)沒(méi)有變.

設(shè)計(jì)意圖把基本模型放在較復(fù)雜的情境中，要求學(xué)生注重對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解和對(duì)基本模型的挖掘，真正理解模型.

4 應(yīng)用基本模型解決問(wèn)題

通過(guò)前面的鋪墊，再來(lái)解決例1，學(xué)生就自然而然地會(huì)嘗試?yán)?5°角構(gòu)造等腰直角三角形，再構(gòu)造K字型來(lái)解決了.

圖15圖16

圖17圖18

通過(guò)模型的鋪墊，再讓學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生找到了4種解法，并且總結(jié)歸納了這4種方法的共同之處：

1)要求點(diǎn)C的坐標(biāo)，就是要求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).已知直線AC的解析式，只需求出直線BC的解析式，又點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，故只需再找直線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

2)都利用45°的特殊角構(gòu)造直角三角形解決.

3)都是通過(guò)構(gòu)造K字型求解.

圖19

5 中考應(yīng)用實(shí)例

(2017年浙江省金華市數(shù)學(xué)中考試題第15題)

圖20圖21

設(shè)計(jì)意圖將此題作為課外練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到只要掌握基本方法，中考題也不難解決，從而進(jìn)一步鞏固建模的思想方法，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣也能得到極大的激發(fā)[1].

6 對(duì)培養(yǎng)模型思想的兩點(diǎn)思考

第一，學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時(shí)，更多的不是解不出題目，而是想不到該從何處著手.就如例1中學(xué)生不知道怎么用45°角的條件，因此在解題教學(xué)中，應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生由特殊條件發(fā)現(xiàn)、識(shí)別、構(gòu)造出熟悉的模型，由模型意識(shí)來(lái)指導(dǎo)解題.當(dāng)遇到新問(wèn)題時(shí)，先辨識(shí)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已解決的問(wèn)題，然后以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決.

第二，模型思想的培養(yǎng)是一個(gè)日積月累的長(zhǎng)期過(guò)程，不可能一蹴而就.因此那些常用的數(shù)學(xué)模型要好好珍惜，如本文所述的“K字模型”，在教學(xué)中要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型可以使復(fù)雜問(wèn)題本質(zhì)化、簡(jiǎn)潔化，甚至一般化，使某類問(wèn)題的解決有共同的程序式方法.