化歸思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的五種思維形態(tài)*

□姬梁飛

（華中科技大學(xué)教育科學(xué)研究院，湖北武漢 430074）

一般地，數(shù)學(xué)界將數(shù)學(xué)知識的存在形式分為原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)及教育形態(tài).原始形態(tài)的知識被認(rèn)為是客觀的、稚嫩的、尚待完善的，學(xué)術(shù)形態(tài)的知識被認(rèn)為是美麗的、高貴的、冰冷的.國際數(shù)學(xué)教育委員會前主席H.弗賴登塔爾曾評論道，任何一種數(shù)學(xué)思想的公開發(fā)表形式均非是它當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)時的模樣，一旦它被作為解決問題的工具時，就相應(yīng)地發(fā)展成某種形式化的技巧，至于它的求解與發(fā)現(xiàn)過程則被漠視在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗[1].教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識是知識在教育環(huán)境下所呈現(xiàn)的形態(tài)，也是需要教育工作者進行轉(zhuǎn)化的知識形式.張奠宙教授曾主張將數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為教育形態(tài)，并作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)之一[2].他認(rèn)為，學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)往往表現(xiàn)成一種冰冷的美麗，教育形態(tài)的數(shù)學(xué)卻是一種火熱的思考[3].化歸是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的合稱，它是一種思維方法，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的利器.化歸思想的構(gòu)建與完善經(jīng)歷了原始形態(tài)和學(xué)術(shù)形態(tài)，數(shù)學(xué)教育工作者的職責(zé)是把它的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為合適的教育形態(tài).重視教育語言與學(xué)術(shù)語言的表述差異、教育形態(tài)與學(xué)術(shù)形態(tài)的知識功能差異、學(xué)生與教師的思維層次差異.教師需要引導(dǎo)學(xué)習(xí)主體深刻理解隱藏“冰冷美”背后的知識本質(zhì)和思維過程，讓化歸思想的“冰冷的美麗”回歸于學(xué)習(xí)者的“火熱思考”，用教育智慧和邏輯去表達與轉(zhuǎn)化，充分暴露化歸思想形成的思維形態(tài).本文謹(jǐn)從化歸思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的五種思維形態(tài)入手，闡釋化歸思想在應(yīng)用中的一般路徑.

一、從合情推理到公理系統(tǒng)的演繹

思維的推演離不開化歸思想，邏輯系統(tǒng)是數(shù)學(xué)中應(yīng)用化歸思想比較顯著和高度集中的一個板塊.早期，人們根據(jù)已有的事實或問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、比較得到一些合乎情理的推理論斷，這種推演方法主要是類比和歸納，也統(tǒng)稱為合情推理.例如，類比平面直角三角形中的勾股定理（a2+b2=c2），推演出空間直角四面體的性質(zhì)，即三個直角面的面積平方和之和等于斜面的面積平方（S12+S22+S32=S2）.這些推理過程借助化歸思維，將三維空間“降維”為二維空間，用二維空間圖形性質(zhì)類推立體圖形性質(zhì).演繹推理是從已知的一般原理出發(fā)，推出研究對象在某種特殊情況下具有的性質(zhì)，帶有拋磚引玉、借古諷今、以舊引新的意蘊.波利亞曾指出“合情推理是冒險的、有爭議的、暫時的”.事實上，演繹推理，既要有合情推理的成分，又要有論證推理的證明.后來，歐幾里得利用演繹推理將《原本》轉(zhuǎn)化為一個典型的邏輯系統(tǒng)，用盡可能少的原始概念和不需證明的原始公設(shè).這種公理化方法在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有豐碑式的不朽價值，它基本上完善了初等幾何理論體系，此后這種公理化方法被迅速應(yīng)用到社會科學(xué)和自然科學(xué)領(lǐng)域.正如波利亞所言，歐幾里得幾何不僅是一個公理系統(tǒng)，而且是此類系統(tǒng)中的第一個，也是最了不起的一個，其他科學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)而且至今都在努力模仿[4].

化歸思想是如何滲透其中的呢？首先，化歸方法有助于幾何學(xué)研究對象的確立.幾何學(xué)的研究內(nèi)容繁多，需要通過化歸方法將煩瑣的幾何要素歸結(jié)為最普遍情形予以考察.研究幾何問題，只需抓住幾何研究要素中的本質(zhì)特征，即研究對象：點、線、面.其次，公理系統(tǒng)的建立需將系列的、具體的事實概括、轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一般公設(shè)、公理.從這些公設(shè)、公理出發(fā)，超越事物的具體表象，尋求幾何世界里的普遍規(guī)律，利用化歸與演繹方法，將公理、公設(shè)逐步推演出467條定理.最后，化歸思想促進歐氏幾何公理系統(tǒng)的不斷完善.在認(rèn)識世界的過程中，人們通過觀察、實驗、推理等方式獲得知識經(jīng)驗，這些經(jīng)驗的真理性、完備性、相容性都需要得到檢驗和辨別.從邏輯結(jié)構(gòu)上看，初等幾何理論作為一個封閉的演繹體系，從基本假設(shè)演繹出眾多復(fù)雜的結(jié)論，從一般原理到特殊問題的推理，這些結(jié)論和推理都需要經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，而證明思路的發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建、實施，除了必要的邏輯規(guī)則外，較大程度上還需依賴于基本的數(shù)學(xué)思想方法，尤其是化歸方法.通過化歸方法的輔助證明，幾何公理系統(tǒng)更加條理，則有l(wèi)imαn=a.經(jīng)歷一定量變的臨界點后，便揚棄了有限性重復(fù)發(fā)生現(xiàn)象，進入飛躍階段，即質(zhì)變段[6].所以，微積分中重要概念的建立不得不借助實數(shù)系中并不存在的無窮小量來描述，需要解決無窮小存在性矛盾，從而化歸為高層次的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).從認(rèn)識論角度看，思維形態(tài)在反映物體運動時存在著思維的飛躍性，即思維摹寫運動.無限概念的化、系統(tǒng)化，走向相容和完備，最終趨于成熟和完善.

二、從具體表征到數(shù)學(xué)抽象的歸結(jié)

從哲學(xué)角度看，表象與本質(zhì)是人們研究事物外部表現(xiàn)和內(nèi)部聯(lián)系的一對辯證法概念.表象是事物外部的具體表現(xiàn)，本質(zhì)是事物內(nèi)在的根本屬性，兩者是辯證統(tǒng)一的，表象反映本質(zhì)，本質(zhì)決定事物的內(nèi)涵和發(fā)展趨向.在實踐中，需要去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，最后實現(xiàn)從現(xiàn)象到本質(zhì)、從不深刻到更深刻的無限過程[5].從心理學(xué)角度看，事物表征分為表象、圖式以及認(rèn)知地圖.一方面它代表著客觀事物形態(tài)，并反映客觀事物的特征.另一方面，它是外界事物在人們心理活動中的再現(xiàn)，是人們心理活動需要持續(xù)加工、建構(gòu)的目標(biāo)對象.轉(zhuǎn)化思想在具體表征和數(shù)學(xué)抽象之間的轉(zhuǎn)換有雙層內(nèi)涵.具體來說，有兩種體現(xiàn)，以無限觀為基礎(chǔ)的極限論和以坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的數(shù)形互化.

第一種，以無限觀為基礎(chǔ)的極限論所蘊含的化歸思想.實無限觀產(chǎn)生于19世紀(jì)60年代，用無限的努力取得有限的結(jié)果，極限是在通過實無限的過程中發(fā)生的質(zhì)變.例如著名的“Dedekind分劃”借用有理數(shù)的稠密性將其集合分劃為左右集合的形式.徐利治教授認(rèn)為“無限”概念蘊含了矛盾，在微積分領(lǐng)域里，常用的ε-δ及ε-N語言，借用潛無限形式表達實無限 過 程 ，比 如 ?ε＞0,?N=Nε＞0，使 得完成最根本問題是能否實現(xiàn)人腦思維形態(tài)的運動與客觀存在的化歸過程，在這個摹寫過程中，化歸思維起到至關(guān)重要的作用，即聯(lián)結(jié)和過渡.

在求圓形面積時，使用了“化圓為矩”的方法.通過把圓形無限分割成許許多多的小扇形，將這些小扇形拼接成一個近似矩形.在定積分領(lǐng)域，把求“曲邊圖形”面積轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積，這種“化曲為直”或“以直代曲”的思想就是一種化歸思想.解析幾何中“以斜化直”，三角函數(shù)中的“以切代弦”等.在模糊數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對于生活中許多外延不分明的概念，很難直接界定或定量分析.將不確定性問題歸結(jié)為隨機性和模糊性.通過建立模糊集合，利用變換規(guī)律，將模糊集合中的元素進行對應(yīng)轉(zhuǎn)換，以0～1之間的實數(shù)表述其隸屬程度，建立隸屬函數(shù).這種轉(zhuǎn)換方法便可以利用隨機數(shù)學(xué)、精確數(shù)學(xué)等知識研究模糊數(shù)學(xué)理論，將模糊性研究對象予以確切化，用精確數(shù)學(xué)方法研究客觀世界中的模糊現(xiàn)象，正是化歸思想溝通了模糊性研究對象與精確性數(shù)學(xué)手段之間的關(guān)聯(lián)，也促進了模糊數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代新興學(xué)科的迅速發(fā)展.

第二種，以坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的數(shù)形互化所蘊含的化歸思想.例如，函數(shù)圖象直觀地展示其性質(zhì)，函數(shù)解析式從代數(shù)意義上高度抽象地描述概括其變化形態(tài).在解析幾何中，曲線與方程更是能夠相互轉(zhuǎn)化，以形助數(shù)、以形判數(shù)、以數(shù)輔形、以數(shù)定形，數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，形影不離.總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要從情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，從具體表征概括出事物的本質(zhì)特征.

三、從問題變式到等價命題的類推

數(shù)學(xué)中存在許多通過數(shù)學(xué)變式分析來解決問題的化歸方法.從已有的定義、定理、推論、等價命題等出發(fā)，尋找合適的化歸目標(biāo)，然后進行邏輯推理和數(shù)學(xué)運算，從而得出新的結(jié)論.從變式到等價，常需要構(gòu)建轉(zhuǎn)化條件，設(shè)置過渡元素，比如添加輔助元構(gòu)造輔助函數(shù)、方程、不等式等.在幾何中，添加輔助線，將斜三角形化為直角三角形，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，用割補法求其面積或體積.在代數(shù)中，算式的運算、變形、化簡，方程與不等式的互化，一般數(shù)列向等差、等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化等.在函數(shù)中，函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的轉(zhuǎn)化，函數(shù)零點與方程根的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化等.根據(jù)問題變式進行轉(zhuǎn)換、對等價命題進行分解，根據(jù)研究對象在某些屬性上的相同或相似性，類推出它們在其他屬性上的相似特性.這種化歸形式可以由一般到特殊、特殊到一般或特殊到特殊等方式進行近似類推，有正面類推和反面類推.

第一類，正面類推.它是將問題對象直接簡化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，或分解成若干個比較容易解決的、與舊知識相聯(lián)系或相呼應(yīng)的小問題.這種化歸方向簡單直接，逢山開路，遇水搭橋.在三角恒等變形時，將1轉(zhuǎn)換為sin2α+cos2α或sec2α-tan2α的形式.在矩陣中，用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，或?qū)挝痪仃嘐轉(zhuǎn)換為AA-1，AAT的形式，或用A-1，A*，An，A-E去作用矩陣方程.例如其中矩陣A，B均是n階可逆矩陣.在不等式中，利用變式轉(zhuǎn)換，將普通不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式.已知，x＞0,y＞0，9x+y=xy.求x+y的最小值.首先將9x+y=xy化為1=10≥16.當(dāng)且僅當(dāng)x=4,y=12時，原式取最小值16.在微積分中，常用的等價無窮小量替換轉(zhuǎn) 化 ，x～sinx～tanx～In(1+x)，ex-1～x，(x+1)λ-1～λx等，其中x→ 0,λ∈ R.

第二類，反面類推.這類轉(zhuǎn)換是將普遍情形化歸特殊形式或極端形式去考察，將直接求解問題轉(zhuǎn)換為間接求解問題.采用逆向思維，正難則反，通過迂回、反推、反證的化歸方法使得問題得到有效轉(zhuǎn)化，從而起到化難為易、事半功倍的效果.在概率中，事件A，B互為對立事件，則可相互向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化，即事件A，B，C至少有一個發(fā)生的概率可表示為事件A，B，C都不發(fā)生的概率可表示為1-P(A∪B∪C).在邏輯推理中，原命題的真假性與其逆否命題的真假性可以相互轉(zhuǎn)換.證明：若m2-n2+2m-4n-3≠ 0，則m-n≠1.如果直接證明是較困難的，但轉(zhuǎn)換為其逆否命題，若m-n=1，則原式=(a+從而命題獲證.這種特殊化、極端化形式是幾何和代數(shù)推理中常用的方法，考察某些運動元素或變量運行到極端情形時的情況，從而突破待解決問題的難點.

四、從境脈情境到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)

境脈學(xué)習(xí)理論強調(diào)學(xué)習(xí)者現(xiàn)有知識結(jié)構(gòu)與外部世界的關(guān)聯(lián)，人能夠?qū)W(xué)習(xí)情境進行自我認(rèn)知建構(gòu).化歸能力是學(xué)習(xí)者應(yīng)該具備的通用能力，具有普適性，蘊含模型思想的育人價值.在PISA數(shù)學(xué)測試中，有四分之一以上的題目設(shè)置境脈情境，將生活中的情境問題轉(zhuǎn)換成為數(shù)學(xué)問題，其實質(zhì)就是通過建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題.在數(shù)學(xué)中，許多看似抽象的問題常?？梢赞D(zhuǎn)換為已知的數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)語言將情境問題中隱含的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從文字表達向符號等式轉(zhuǎn)化.這種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化既蘊含了數(shù)學(xué)特有符號、等式、方程、圖形、公式之間的轉(zhuǎn)換，又包含了化歸思想方法的綜合應(yīng)用.

例如，已知甲、乙兩地相隔1200m，在甲地聽到某處發(fā)出的信號比乙地要晚3s，請描述信號源可能分布在什么形狀上？這是一個現(xiàn)實情境問題，進行語義轉(zhuǎn)換，建立直角坐標(biāo)系設(shè)甲地坐標(biāo)為M(-600,0)，乙地坐標(biāo)為N(600,0)，信號源坐標(biāo)為Q(x,y)，則又.所以，b2=c2-a2=99900.故信號源分布形狀是在雙曲線的右支上.首先，它需要實現(xiàn)生活語言與數(shù)學(xué)語言的語義轉(zhuǎn)換，要把相近的生活問題予以數(shù)學(xué)化，引進數(shù)學(xué)符號、表格、圖形等數(shù)學(xué)語言進行語義轉(zhuǎn)化，即符號化與變換的思維意識.其次，通過設(shè)未知元，建立坐標(biāo)系，引進向量等工具，尋找數(shù)學(xué)關(guān)系，建立方程、不等式、函數(shù)、概率模型、統(tǒng)計模型等.最后，對模型結(jié)果進行分析、檢驗、解釋，回歸現(xiàn)實問題.可見，數(shù)學(xué)建模是一個溝通已知和未知的橋梁，是主體和客體之間進行化歸的媒介.本質(zhì)是同一研究對象在情境和數(shù)學(xué)之間的變換，現(xiàn)實問題和數(shù)學(xué)問題的相互解釋、相互補充，它是數(shù)學(xué)知識在不同領(lǐng)域里的遷移、推理與化歸.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，有意識地將情境問題向同類型數(shù)學(xué)問題化歸，用數(shù)學(xué)符號、表格、圖象等語言刻畫問題情境，向已經(jīng)建立或熟悉的數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化，將抽象問題具體化、模型化.

五、從主體目標(biāo)到客體對象的轉(zhuǎn)換

化歸思想具有濃厚的哲學(xué)意義，它要求人們自覺地以運動、變化、聯(lián)系的觀點觀察世界.在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常遇到動態(tài)問題、變量轉(zhuǎn)換問題，若同時存在幾個變量，直接處理是比較棘手的.可以把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，反客為主，以退求進，尋求變換變量，從主體目標(biāo)向客體對象轉(zhuǎn)化，更有利于問題的解決.比如，橢圓方程，原本是二元變量方程，在運算上很不方便，引入?yún)?shù)φ，可以把主元轉(zhuǎn)換為輔元，即x=acosφ,b=sinφ.例如，z=f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，引入變量變換，便可以證明

通常情況下，問題的主體目標(biāo)處于主要地位，解決問題要圍繞主體目標(biāo)尋求辦法.但在特殊情況下，這樣做卻是很麻煩的.可以轉(zhuǎn)變思路，將主體目標(biāo)向客體對象進行轉(zhuǎn)換，反客為主，變更主元，則會收到意想不到的效果.再如，從拋物線y2=2px,p＞0上各點向x軸作垂線段，求垂線段中點的軌跡方程.設(shè)垂線段中點為M(x,y)，拋物線上各對應(yīng)點為N(x0,y0)，則有x0=x,y0=2y.將其代入原拋物線方程，化簡可得其軌跡方程為.原本動點M并沒有現(xiàn)成的關(guān)系式和方程可用，但通過轉(zhuǎn)換目標(biāo)，將其嫁接到原拋物線的對應(yīng)點N上，這樣就可以借雞生蛋，把待解決問題給盤活了.除此之外，根據(jù)研究對象的內(nèi)部關(guān)聯(lián)和外部呈現(xiàn)，解析幾何中還有許多化圓為橢、化橢為圓的例子，函數(shù)中有化動為靜、化主為輔等嫁接遷移的案例.

綜上所述，研究化歸思想的思維形態(tài)有利于優(yōu)化數(shù)學(xué)知識的教育形態(tài)，升華數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)，將數(shù)學(xué)知識真正轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將隱藏在“冰冷的美麗”背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)出來.化歸思維也能夠引發(fā)學(xué)生的合情思考，領(lǐng)會知識的來龍去脈，提升學(xué)生探求知識的愿望，這種愿望才是他們持久學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力 .□◢