炮彈初速減退量狀態(tài)方程的構(gòu)建與應(yīng)用

郭 治,王 軍,王向民

(南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210094)

火藥在炮膛內(nèi)爆燃,推導(dǎo)彈頭在膛內(nèi)高速滑動(dòng)的同時(shí),還會(huì)燒蝕炮膛與磨損炮管,從而導(dǎo)致不可逆轉(zhuǎn)的彈頭初速減退,當(dāng)初速減退到某個(gè)允許值時(shí),炮管的壽命終結(jié),必須更換炮管[1-2]。為了補(bǔ)償由于初速減退而導(dǎo)致的射擊誤差,每次射擊前都需要對初速減退量進(jìn)行檢測與估計(jì)。傳統(tǒng)的估計(jì)方法是:人工測量炮室增長量、觀測炮管內(nèi)壁燒痕的數(shù)量和大小,再依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式換算成初速減退量。彈頭初速雷達(dá)出現(xiàn)后,用測速雷達(dá)測出的彈頭初速序列來估計(jì)實(shí)際的彈頭初速從而完成初速偏差修正,是當(dāng)前正在推廣的技術(shù)。在射擊誤差中,當(dāng)不考慮對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)射擊的運(yùn)動(dòng)假定誤差時(shí),初速誤差是它的最大成分,而初速減退量是彈頭初速誤差的重要成分[3],因此,為彈頭初速減退量構(gòu)建一個(gè)定量的數(shù)學(xué)模型是一項(xiàng)重要的課題。

初速修正與炮管壽命檢測,其實(shí)質(zhì)是初速一步預(yù)測與初速減退量的長期預(yù)測問題。而利用狀態(tài)方程求解預(yù)測問題,特別是一步預(yù)測問題的求解工具,是非常適宜的。特別是由于同一個(gè)炮管可能發(fā)射不同裝藥號(hào)的彈藥,也可能發(fā)射不同類型(穿甲彈、榴彈、燃燒彈等)彈藥,而這種轉(zhuǎn)換又是隨機(jī)的,其所導(dǎo)致的狀態(tài)方程是時(shí)變的。此時(shí),利用卡爾曼遞推預(yù)測,即可以很方便地得到最優(yōu)的(無偏最小方差)一步與多步預(yù)測。如果能給出導(dǎo)致初速偏差的各種因素對應(yīng)的狀態(tài)方程,不僅炮管壽命可以自動(dòng)判別,而且可為彈頭初速偏差修正提供最優(yōu)解。

本文的重點(diǎn)是初速狀態(tài)方程的構(gòu)建。作為它的應(yīng)用,給出了炮管壽命的判別式;當(dāng)進(jìn)行初速偏差修正時(shí),給出了一個(gè)狀態(tài)初始方差的優(yōu)化表達(dá)及其應(yīng)用條件,為每一次發(fā)射提供可行的、無偏最小方差的初速偏差修正方案。

當(dāng)前,有關(guān)利用測速雷達(dá)實(shí)施初速偏差修正的文獻(xiàn)很多[4-8],但都是將初速減退量作為初速偏差的一個(gè)子項(xiàng),與其他子項(xiàng)一起來討論的。對其性質(zhì)的分析,都是在有限次發(fā)射的統(tǒng)計(jì)平均值上建立的一個(gè)近似模型。時(shí)至今日,尚未檢索到有關(guān)初速減退量的狀態(tài)模型。

1 初速減退系數(shù)的推導(dǎo)

基本假設(shè)1彈頭在膛內(nèi)的運(yùn)動(dòng)速度vdm(t) 與其加速度成正比。即

(1)

解得

vdm(t)=vdm(0+)e-αmt=vdm(0+)rm(t)

(2)

式中m代表裝藥號(hào),rm(t)為膛內(nèi)速度隨時(shí)間的衰減系數(shù),αm為固定常數(shù),它由彈丸內(nèi)彈道學(xué)確定。由于火藥爆燃幾乎是在瞬間完成的,它對彈頭的推力幾乎相當(dāng)于一個(gè)δ函數(shù),使得靜止的彈頭在瞬間獲取一個(gè)巨大的初始速度vdm(0+)。由于彈頭在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在阻力,以及膛內(nèi)密封空間的擴(kuò)大,漏氣現(xiàn)象的出現(xiàn),導(dǎo)致彈頭在膛內(nèi)初速下降是必然的。用上式表述這一現(xiàn)象與實(shí)際基本相符合。

基本假設(shè)2由火藥爆燃與彈頭在膛內(nèi)的運(yùn)動(dòng)造成的藥室擴(kuò)容與炮管燒蝕是不可恢復(fù)的,且其導(dǎo)致的前后兩次發(fā)射的初速減退量與彈頭在膛內(nèi)的速度成正比。基于這個(gè)假設(shè),記vm(1)為出廠后新炮首次發(fā)射的初速,顯然有

vm(2)=rmvm(1)

(3)

由于藥室擴(kuò)容與炮管燒蝕的不可恢復(fù)性,應(yīng)有

(4)

式中rm稱為m號(hào)裝藥的初速減退系數(shù)。

(5)

(6)

即射表輸入誤差的三分之一。因而對射表初速,有

(7)

2 不同裝藥號(hào)的初速減退系數(shù)的轉(zhuǎn)換

當(dāng)用全裝藥發(fā)射N0發(fā)彈藥后,其初速退減量與射表初速之比

(8)

(9)

火藥在膛內(nèi)爆燃瞬間在密閉空間內(nèi)形成的壓強(qiáng)Pm是它的裝藥量的函數(shù),記為

Pm=Pm[(L-m)G]

(10)

(11)

式中Γm為m號(hào)裝藥與全裝藥在膛內(nèi)爆燃時(shí)的壓強(qiáng)比。由于Pm是彈藥的一個(gè)重要性能參數(shù),應(yīng)該在產(chǎn)品性能手冊上公示,而在產(chǎn)品設(shè)計(jì)資料上是必需的指標(biāo),因而,Γm應(yīng)是一個(gè)已知參數(shù)。它還有一個(gè)近似值

(12)

即藥包數(shù)之比,可在Γm缺失時(shí)使用。此時(shí)

(13)

式中μm為r0與rm之間的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

3 射表初速的更新與炮管全壽命的判定

由于不可逆的初速減退量的存在,每發(fā)射一次彈藥都會(huì)使下一發(fā)初速下降,因而,必須于下次發(fā)射前為本次發(fā)射提供初速。鑒于一次連射中的彈藥號(hào)不變,本文將以一次連射為單位,解決這一問題。用k(l)表示第l次連射發(fā)射的彈藥數(shù),當(dāng)l=1時(shí),如果用的是m號(hào)裝藥,則有

(14)

倘若第二次連射時(shí),仍使用m號(hào)裝藥,則第二次連射的初值即可有上式給出。考慮到式(13),將有

(15)

此式表明:第二次齊射的首發(fā)彈頭的射表初速應(yīng)由式(15)給出。式(15)可以遞推,即第l+1次連射的首發(fā)彈藥的射表初速應(yīng)為

(16)

上述分析表明,每次連射后,都應(yīng)依據(jù)式(16),對所有裝藥號(hào)的射表初速予以更新,以備下次射擊時(shí)使用。

鑒于每次連射后,射表初速,包括全裝藥的射表初速都要更新并予以記錄,當(dāng)記錄到第l次連射后,若下式成立

(17)

由式(8)知,炮管壽命已到,應(yīng)更換新炮管。綜合上述分析可知,初速退減量的狀態(tài)方程,當(dāng)每個(gè)連射均采用同一裝藥號(hào)時(shí),對一個(gè)連射而言,狀態(tài)方程可以表示為

(18)

由于裝藥號(hào)是射擊前依據(jù)射擊任務(wù)決定的,因而rm是一個(gè)時(shí)變參數(shù);狀態(tài)初值vm(1)是一個(gè)隨機(jī)變量,且該隨機(jī)變量的初值的均值是一個(gè)由式(16)給定的、與連射次數(shù)有關(guān)的確定量。對射擊的全過程而言,它的狀態(tài)方程是時(shí)變的,然而,對一個(gè)連射,卻是一個(gè)僅狀態(tài)初值為隨機(jī)變量的、線性常系數(shù)、一階狀態(tài)方程。對不同連射,只需依據(jù)式(16)更新射表初值即可繼續(xù)遞推。

4 在初速偏差修正中的應(yīng)用

利用測速雷達(dá)在非標(biāo)準(zhǔn)彈道與氣象條件下預(yù)測彈頭的初速,這是提高初速修正精度的一項(xiàng)重要的技術(shù)舉措?，F(xiàn)在討論,如何將初速減退量的狀態(tài)方程應(yīng)用于這一技術(shù)之中。

為了突出將初速減退量狀態(tài)方程融入初速修正技術(shù)之中,本文設(shè)定,在非標(biāo)準(zhǔn)條件下存在的初速誤差還有藥溫偏差修正量為:

(19)

它為強(qiáng)相關(guān)誤差。

彈重偏差修正量為

(20)

它為不相關(guān)誤差。

雷達(dá)測速誤差為

(21)

且它們與初速減退量都互不相關(guān)。因而,非標(biāo)準(zhǔn)條件下,彈頭的初速度表示為

vm(k+1)=vm(k)+ΔvmT(k)+ΔvmG(k)

(22)

它也是不相關(guān)誤差,其對應(yīng)的狀態(tài)方程為

(23)

測量方程為

Zm(k)=(1,1)Xm(k)+ΔvmG(k)+ΔvC(k)

(24)

其狀態(tài)初值的均值與方差為

(25)

(26)

cov[Xm(1),Zm(1)]var-1[Xm(1)]cov[Zm(1),Xm(1)]=

(27)

顯然,它小于首發(fā)初速未檢測前方差狀態(tài)的初值利用式(27)代替卡爾曼遞推的初始方差,將得到一步預(yù)測的、最優(yōu)預(yù)測的最小方差預(yù)測。但必須注意，利用式作遞推的狀態(tài)方差的初值,能保持無偏,應(yīng)保證

(28)

綜上所述,可知,由式(27)做遞推的狀態(tài)方差初值,給出的彈頭初速的預(yù)測是融合了傳統(tǒng)的依測溫、測重的預(yù)測與利用測速雷達(dá)的預(yù)測而得到的更優(yōu)的預(yù)測,它是比兩種預(yù)測方法都更優(yōu)的預(yù)測。

5 結(jié)束語

本文僅從理論上建立了初速減退量的狀態(tài)方程模型,并利用卡爾曼濾波方法預(yù)測出彈頭初速的一步預(yù)測值。本方法的準(zhǔn)確性與可用性有待實(shí)際的進(jìn)一步驗(yàn)證。

只要初速的狀態(tài)方程是可測可控的,其一步狀態(tài)預(yù)測就是收斂的,即只要測速序列足夠長,它一定可收斂到唯一的最優(yōu)值。但射擊過程不允許收斂過程較長,在有限射擊時(shí),每次發(fā)射都需要進(jìn)行初射修正,本文給出了發(fā)發(fā)校射的最優(yōu)方法。

實(shí)際的初速修正,還應(yīng)包括:彈藥存儲(chǔ)年限、冷炮效應(yīng)(連射時(shí),炮管溫升導(dǎo)致的初速改變)等的修正。只要列出它們相應(yīng)的初速偏差的狀態(tài)方程并結(jié)合本文給出的狀態(tài)方程,問題即可以用同樣的方法得到解決。上述效應(yīng)的狀態(tài)方程的構(gòu)建已不屬于本文的研究范疇,更限于篇幅,將另行闡述。