運(yùn)用幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)中年段計(jì)算教學(xué)中構(gòu)建計(jì)算模型的實(shí)踐與探究

摘 要 隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出，運(yùn)算能力和幾何直觀是數(shù)學(xué)教育階段重要的核心素養(yǎng)。算法、算理是運(yùn)算能力的一體兩翼，“理解算理”和“掌握算法”是計(jì)算教學(xué)的兩個(gè)核心目標(biāo)，兩者相輔相成，不可偏廢。借助幾何直觀在直觀算理和抽象算法之間架設(shè)一座“圖像橋梁”，實(shí)現(xiàn)算理和算法的有機(jī)融合。

關(guān)鍵詞 幾何直觀 計(jì)算教學(xué) 算理 算法 模型

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

新課程實(shí)施以來(lái)，課程體系發(fā)生了改變。新課程標(biāo)準(zhǔn)把原教材“應(yīng)用題”的內(nèi)容滲透到“數(shù)的運(yùn)算”等其他知識(shí)的教學(xué)中，從而達(dá)到“初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察，……增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)”的目標(biāo)。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)不僅僅是純粹的計(jì)算，更是一種解決問(wèn)題的策略。由于計(jì)算教學(xué)內(nèi)容多，許多教師感到計(jì)算教學(xué)枯燥無(wú)味。出現(xiàn)只注重計(jì)算結(jié)果和計(jì)算速度，忽視算理的推導(dǎo)和解決問(wèn)題策略的學(xué)習(xí)訓(xùn)練，學(xué)生“知其然，不知其所有然”。而掌握算法和明確算理是計(jì)算教學(xué)的兩大任務(wù)，算理是計(jì)算的依據(jù)，是算法的基礎(chǔ)，而算法是依據(jù)算理提煉出來(lái)的計(jì)算方法和規(guī)則，是算理的具體體現(xiàn)。

1幾何直觀應(yīng)用在計(jì)算教學(xué)的作用

新課標(biāo)指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作?！敝庇^是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)認(rèn)知的有力支撐，又是數(shù)學(xué)抽象的重要內(nèi)涵與數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的深化。

小學(xué)階段的幾何直觀，以直觀感知層次為主，逐步向相對(duì)深入的直觀理解水平發(fā)展，同時(shí)兼有少量直觀洞察層次的表現(xiàn)。幾何直觀在數(shù)的計(jì)算都可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的“以形助數(shù)”，即借助“形”來(lái)分析“數(shù)”，它比數(shù)形結(jié)合更看重直觀感知、感知理解和直觀洞察。幾何直觀不僅是輔助學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的有效手段，更是一種認(rèn)識(shí)事物，分析解決問(wèn)題的策略、方法。

中年級(jí)計(jì)算學(xué)習(xí)內(nèi)容的抽象程度逐步提升，這時(shí)的直觀載體逐步由低年級(jí)的實(shí)物、圖片變?yōu)橹心甓蔚暮?jiǎn)約符號(hào)和圖形。簡(jiǎn)約符號(hào)直觀是在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象形成半符號(hào)化的直觀。在計(jì)算教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容的易操作性，借助簡(jiǎn)約符號(hào)直觀和圖形直觀在直觀算理和抽象算法之間架設(shè)一座“圖像橋梁”，讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的過(guò)渡和演變過(guò)程，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握。

2運(yùn)用幾何直觀促進(jìn)中年段計(jì)算教學(xué)的實(shí)踐

2.1以形表數(shù)，直觀感知，建構(gòu)直觀模型

運(yùn)用圖形直觀，借助小棒圖、點(diǎn)子圖等幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決、數(shù)量運(yùn)算的實(shí)際過(guò)程（或情境），在直觀算理和抽象算法之間架設(shè)一座“思路橋梁”，幫助學(xué)生體驗(yàn)、感悟數(shù)理、算理與算法間的內(nèi)在聯(lián)系。

2.1.1如：《除數(shù)是一位數(shù)的除法》

2.1.2如：《筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）》

利用幾何直觀的直觀性、形象性，讓學(xué)生體會(huì)乘除法豎式計(jì)算與小棒圖、點(diǎn)子圖的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中完成思維的發(fā)展過(guò)程，理解豎式每一步的含義，“講理”與“明法”有機(jī)結(jié)合，學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，構(gòu)建筆算模型。

2.2以形促思，直觀理解，形成算理的幾何表象

學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)是解決問(wèn)題的資源，用幾何直觀把看似零散的、粗糙的、無(wú)序的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)新知識(shí)的資源，用數(shù)軸將小數(shù)具體化、形象化，借助“形”來(lái)分析“數(shù)”，直觀感知小數(shù)加減的形成過(guò)程，深刻感悟算理的本質(zhì)。

如《簡(jiǎn)單的小數(shù)加減法》，引入生活情境圖，買(mǎi)1個(gè)削筆刀和1支鉛筆，一共多少錢(qián)？學(xué)生根據(jù)已有生活經(jīng)驗(yàn)，借助人民幣計(jì)算，把不會(huì)算的小數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)算的整數(shù)，8角+6角=14角=1元4角，所以0.8元+0.6元=1.4元。但如何把小數(shù)加法計(jì)算的算理和算法建立溝通，借助數(shù)軸的直觀圖作支撐，把一條線段看作1元平分10份，每份是0.1元（即1角），削筆刀和鉛筆分別用紅色和黃色表示（圖4），結(jié)合數(shù)軸圖這座“圖像橋梁”，學(xué)生形成幾何表象，在小組中討論、探究小數(shù)加法的計(jì)算意義和算法，以及豎式計(jì)算。有此基礎(chǔ)，學(xué)生自己會(huì)運(yùn)用數(shù)軸圖解決0.8-0.6小數(shù)減法豎式計(jì)算。

在學(xué)生熟悉、有具體事例的情境下，借助半直觀模型在學(xué)生的頭腦里建立起小數(shù)加減法豎式計(jì)算的幾何表象，擺脫具體事物的束縛，使數(shù)學(xué)思考從隱性逐步走向顯性，溝通圖形與算式之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)算理和算法的有機(jī)融合。

2.3以形探理，逐步抽象化，構(gòu)建符號(hào)模型

乘法分配律是運(yùn)算律中公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)，它不是單一的乘法運(yùn)算，還涉及加法運(yùn)算，學(xué)生在運(yùn)用中經(jīng)常會(huì)與結(jié)構(gòu)相似的算式產(chǎn)生混淆，導(dǎo)致機(jī)械性應(yīng)用模式，甚至錯(cuò)用模式。而幾何直觀無(wú)疑是幫助學(xué)生直觀感知模型的有效載體。

解決問(wèn)題和計(jì)算運(yùn)用不僅僅關(guān)注外在形式，需要立足算法及直觀洞察，建構(gòu)簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，層層遞進(jìn)，形成學(xué)習(xí)策略和方法，提高運(yùn)用運(yùn)算律的意識(shí)。

新課程背景下的計(jì)算教學(xué)，教師善于借助幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、感受形成的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從生活原型中提煉出數(shù)學(xué)模型，在初步感知模型的基礎(chǔ)上，逐步構(gòu)建計(jì)算模型。不僅促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展，還有效提升學(xué)生的幾何直觀水平，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，形成深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

作者簡(jiǎn)介：麥建文（1970—），漢族，廣東省廣州市人，廣州市荔灣區(qū)沙面小學(xué)一級(jí)數(shù)學(xué)教師，研究方向?yàn)檎n程與教學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之四——幾何直觀（上）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2013（06）.

[3] 孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式[J].課程教材教法，2012（07）.

[4] 顧志能.對(duì)“幾何直觀”概念的幾點(diǎn)辨析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2012（7-8）.

[5] 徐云鴻.“幾何直觀”在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域教學(xué)初探[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016（09）.