引應(yīng)用模型分析判定線性方程組解的情形

黃健 李清華

摘 要 求解線性方程組是線性代數(shù)中向量空間及矩陣的初等變換的重要應(yīng)用。求解方程組的方法數(shù)量多，并且都十分重要。如何在授課中讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，更好的掌握判定的規(guī)律非常關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞 網(wǎng)絡(luò)流模型 線性方程組 解的判定 初等行變換

中圖分類號：O212文獻標識碼：A

線性代數(shù)這門學(xué)科的教授對象是理工科的學(xué)生，是他們學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)學(xué)科，他們更關(guān)心的是：（1）每一個知識能否應(yīng)用到生活和實踐當中去;（2）如何用更直觀而快捷的方法掌握和應(yīng)用所學(xué)到的每個知識。線性方程組應(yīng)用廣泛。

問題的引入：

例1：下圖給出我校西門單行道上午十點的交通流量（以每半小時通過汽車的數(shù)量度量）.試確定此交通網(wǎng)絡(luò)流量模式。

通過求解線性方程組，找出變量或者它們之間的關(guān)系，就能合理分配各交叉路口指示燈的設(shè)置時間。

可以看出，求解線性方程組是我們線性代數(shù)這個課的一個重要內(nèi)容，要求線性方程組的解，首先要判斷方程組是否有解，如果有解，有多少解？而對于解的判定，傳統(tǒng)的理論教授方法平淡，直接求解線性方程組對他們更有吸引力。從實例入手，觀察方程組的不同特點，通過分析比較，從而總結(jié)出線性方程組在不同的條件下解的規(guī)律。

以上三個方程組都是非齊次線性方程組AX=b≠ ，求解的方法都是利用消元法，即應(yīng)用線性方程組的增廣矩陣初等行變換來求，因為矩陣的初等行變換不改變線性方程組的解。所以，我們將所有的增廣矩陣都化為行的階梯形矩陣。

分析：例2中，與原方程組同解的方程組有三個有效方程，而所有的首非零元都在系數(shù)部分，并且此方程組也只有三個未知數(shù)，結(jié)論是：，方程組只有一組解.例3中，通過初等行變換，方程中出現(xiàn)了0=0無效方程，有效方程只剩兩個，兩個方程四個未知數(shù)，一定會出現(xiàn)自由未知量，那么就一定會有無數(shù)多組解，我結(jié)論是：。例4中，通過初等變換，與原方程同解的方程中出現(xiàn)了0=1這樣的無解方程，一個方程無解，整個方程組一定是無解的，觀察增廣矩陣的行階梯形矩陣，發(fā)現(xiàn)首非零元有一個在常數(shù)部分，結(jié)論就是

上圖就是對線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩的大小作比較，總結(jié)得出的結(jié)論.通過對列表的理解記憶，判定方程組的解就顯得非常容易掌握，能夠準確的判定出方程組得何種解，為下一步求方程組的解打下良好的基礎(chǔ)。

分析：當時，，根據(jù)定理，齊次線性方程組有無窮解，也就是含非零解;而對于非齊次線性方程組，如果，只能說明它的解是不唯一的，還需與大小比較，當=時，有無窮解，當時，就是無解的。綜上所述，無論是齊次線性方程組還是非齊次線性方程組，當方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，它們的解都不可能是唯一的，而其他情況均有可能發(fā)生。

基金項目：煙臺大學(xué)校級教學(xué)研究與改革項目：jyxm2017001。

參考文獻

[1] 吳贛昌.線性代數(shù)（理工類）（第四版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

[2] 丘維聲.高等代數(shù)（第一版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010.