關(guān)于兩個線性方程組同解條件的再思考

陳耀光

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

線性方程組是大學(xué)本科中工科線性代數(shù)的最重要也是最主要的部分，它貫穿于線性代數(shù)的始終，也可以說線性代數(shù)就是線性方程組的代數(shù)，因此在線性代數(shù)中對線性方程組的討論已經(jīng)比較充分，但在教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)常會問到兩個線性方程組的解與解有什么關(guān)系？如何判斷？如何求解？關(guān)于這一點工科線性代數(shù)中幾乎沒有討論，在其它教材中也討論甚少，即使有也不全面.而在文獻[1]中，雖然對此進行了討論，但所給結(jié)論的條件出現(xiàn)了漏洞.為此筆者通過查閱大量相關(guān)資料，并進行深入分析與研究，得到了本文相關(guān)結(jié)論及方法.

1 預(yù)備知識

設(shè)非齊次線性方程組

Ax=b，

(1)

其中

非齊次線性方程組的向量形式

x1t1+x2t2+…+xntn=b.

(2)

引理2非齊次線性方程組(1)有解的充分必要條件是向量b可由向量組t1，t2，…，tn線性表示.

2 兩個方程組的解與解的關(guān)系

設(shè)有兩個非齊次線性方程組

Ax=c

(3)

及

Bx=d,

(4)

其中

其所對應(yīng)的齊次方程組

Ax=0

(5)

及

Bx=0

(6)

定義如果有n維向量x同時滿足非齊次線性方程組(3)和(4)，則稱向量x為非齊次方程組(3)和(4)的公共解.如果方程組(3)的任意解都是方程組(4)的解，而方程組(4)的任意解都是方程組(3)的解，則稱方程組(3)和方程組(4)是同解的.

對于齊次方程組(5)和(6)也同樣有非零公共解和非零同解的概念，這里就不再贅述了.

3 兩個非齊次方程組有公共解的充分必要條件

反之，非齊次線性方程組(3)和(4)都有解，非齊次線性方程組(3)和(4)不一定有公共解.

4 兩個線性方程組同解的充分必要條件

1.兩個齊次線性方程組同解的充分必要條件.

引理6齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的充分必要條件是

引理7齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的充分必要條件是A的行向量組與B的行向量組等價.

定理1齊次線性方程組Ax=0與Bx=0有非零同解的充分必要條件是

2.兩個非齊次線性方程組同解的充分必要條件.

在上面我們研究了兩個線性方程組有公共解的問題.很明顯，如果兩個線性方程組同解，則這兩個線性方程組一定有公共解.反之，當(dāng)兩個線性方程組有公共解時，這兩個線性方程組不一定同解.而對于兩個線性方程組同解的條件，文獻[1]中對此進行了相應(yīng)的討論，并給出了如下兩個結(jié)論(文獻 [1]中的定理2)：

結(jié)論2設(shè)非齊次線性方程組(3)和(4)都有解，則非齊次線性方程組(3)和(4)同解的充分必要條件是所對應(yīng)的齊次線性方程組(5)和(6)同解.

對于結(jié)論2，通過研究和討論，其必要性是完全正確的，但其充分性是有問題的.對此，筆者從理論和實例兩個方面來加以說明.

首先設(shè)向量組a1，a2，…，am是齊次線性方程組(5)的系數(shù)矩陣A的行向量組，向量組b1，b2，…，bs是齊次線性方程組(6)的系數(shù)矩陣B的行向量組.注意向量組a1，a2，…，am與α1，α2,…，αm的差異，向量組b1，b2，…，bs與β1，β2，…，βs的差異.

若齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解，由引理7知向量組a1，a2，…，am與向量組b1，b2，…，bs等價.而向量組a1，a2，…，am與向量組b1，b2，…，bs等價推不出向量組α1，α2,…，αm與向量組β1，β2，…，βs等價(如(1,2，-1)與(2,4，-2)等價，但(1,2，-1,1)與(2,4，-2,3)不等價)，從而推不出非齊次線性方程組(3)和(4)同解.

再則也可以看一反例：方程組

x+y=1

有解， 方程組

x+y=2

定理2設(shè)非齊次線性方程組(3)和(4)都有解，則方程組(3)和(4)同解的充分必要條件是所對應(yīng)的齊次線性方程組(5)和(6)同解，且非齊次線性方程組(3)和(4)至少有一個公共解.

證必要性參見文獻[1].

充分性.設(shè)RA=r.由已知非齊次線性方程組(3)和(4)所對應(yīng)的齊次線性方程組(5)和(6)同解，所以RA=RB=r，并且Ax=0的基礎(chǔ)解系ξ1，ξ2，…，ξn-r也是方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系.又因為Ax=c及Bx=d有解且至少有一個公共解，不妨設(shè)為η*，則

x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η*

既是Ax=c的通解，也是Bx=d的通解,所以方程組(3)和(4)同解.

定理3設(shè)非齊次線性方程組(3)和(4)都有解，則方程組(3)和(4)同解的充分必要條件是

此定理的證明可由引理4和引理6直接得到.

此定理的證明可由引理5和引理6直接得到.

5 兩個方程組同解的判斷及同解的求法

以下我們僅對非齊次線性方程組加以討論，而對于齊次線性方程組其方法類似.

設(shè)有兩個非齊次線性方程組

Ax=c

(3)

及

Bx=d.

(4)

如果能判斷出(3)和(4)同解，則它們的同解的求法就很簡單了，只要求出(3)或(4)的通解就行了.而同解的判斷可以根據(jù)定理3的結(jié)論來加以進行.下面就通過具體實例來說明這一方法.

例1設(shè)非齊次線性方程組

討論這兩個方程組是否有公共解，是否同解？如同解，則求其同解的通解形式.

即已知的兩個方程組所對應(yīng)的齊次方程組不同解，所以已知的兩個方程組不同解.

本例說明，在定理2的充分條件中兩個非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組(5)和(6)同解的條件不可缺少，而在第四部分中的反例說明在定理2的充分條件中兩個非齊次方程組(3)和(4)至少有一個公共解的條件不可缺少.

例2設(shè)非齊次方程組

討論這兩個方程組是否有公共解，是否同解？如同解，則求其同解的通解形式.

易知RB=2. 所以

由定理2知，已知的兩個線性方程組同解，且同解的通解形式為

[1] 羅家貴. 關(guān)于線性方程組同解的條件[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28 (3)：141—145.

[2] 尹曉東. 線性代數(shù)習(xí)題課需要解決的幾個問題[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28 (2)：139—141.

[3] 同濟大學(xué). 線性代數(shù) [M]．5版．北京：高等教育出版社，2007.