線性方程組解的逆向問題的一種解法分析

蘭 星

(廣東技術(shù)師范學(xué)院 天河學(xué)院，廣東 廣州510540)

對于數(shù)域F上的非齊次線性方程組

其矩陣形式為:

定理 對于數(shù)域F上的非齊次線性方程組AX= β，當(dāng)r時(shí)，其通解可表示為:

其中η*是方程組AX=β 的特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，?是增廣矩陣，r(A)表示矩陣A的秩。

我們現(xiàn)在關(guān)心的問題:給出一個(gè)線性方程組的通解X=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r+η*，若何來求出對應(yīng)于通解X=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r+η*的一個(gè)線性方程組AX=β。為此我們通過逆向探求分析該問題，從而得出求解此問題的一種有效方法。

方法分析

上述問題中，通解的主要部分是齊次線性方程組AX=0 的基礎(chǔ)解系，因?yàn)棣?，ξ2，…，ξn-r是齊次線性方程組AX=0 的基礎(chǔ)解系，則有Aξi=0(i=1，2，…，n-r)。即A(ξ1，ξ2，…，ξn-r)=0，對此式兩邊取轉(zhuǎn)置可得:

由方程(1)可以知道AT的m個(gè)列向量就是齊次線性方程組AX=0 的解向量。而且列向量組其實(shí)就是系數(shù)矩陣A的m個(gè)行向量α1，α2，…，αm，于是，只需要以已知的基礎(chǔ)解系為行向量作矩陣B，然后再求出BX=0 的基礎(chǔ)解系，并以該基礎(chǔ)解系為行向量作矩陣，這個(gè)矩陣就是所求的線性方程組的系數(shù)矩陣A，最后，再根據(jù)所告訴的特解便可求出非齊次線性方程組的常數(shù)項(xiàng)。

據(jù)上述方法分析，不僅給出了已知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，求一個(gè)齊次線性方程組的方法，同樣給出在知道非齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)時(shí)去求出一個(gè)非齊次線性方程組的方法。下面舉例說明。

例1:求出一個(gè)齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系由下列向量組成

例2:求一個(gè)以(1，2，-3，4)T+c(2，1，-4，3)T為全部解的非齊次線性方程組。

解:令B=(ξT)=(2 1 -4 3)，對矩陣B施行初等行變換有則有，故方程BX=0 的基礎(chǔ)解系為:

［1］ 白述偉. 高等代數(shù)選講［M］. 哈爾濱:黑龍江教育出版社，1996.

［2］ 王卿文. 高等代數(shù)學(xué)綜論［M］. 香港:香港天馬圖書有限公司，2000.

［3］ 劉學(xué)鵬. 教學(xué)方法的改革與優(yōu)化［J］. 臨沂師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003(6).