由一道方程應(yīng)用題的解法帶來的啟示

摘?要：由于數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性和嚴(yán)密邏輯性，使得學(xué)生在解決數(shù)學(xué)題目時(shí)，不會(huì)去分析思考題目中的已知條件，尋找已知條件之間、已知條件與所求結(jié)論之間存在的關(guān)系，致使解題時(shí)困難重重。

關(guān)鍵詞：方程;應(yīng)用題;解法;啟示

由于數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性和嚴(yán)密邏輯性，使得學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題，不會(huì)去分析思考，解題時(shí)往往困難重重，特別是將所學(xué)的知識(shí)割裂開來，不能很好地將數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來進(jìn)行綜合應(yīng)用，下面通過一道方程應(yīng)用問題的解法，引導(dǎo)學(xué)生通過思考分析，解決這些應(yīng)用問題，進(jìn)而通過聯(lián)系學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，找到簡(jiǎn)捷的解題途徑。

在復(fù)習(xí)初中數(shù)學(xué)八年級(jí)方程與方程組、不等式與不等式組的應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)時(shí)，可選擇下面的一道應(yīng)用問題。

英才實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了改善學(xué)校辦學(xué)條件，更新教育裝備和教學(xué)設(shè)施，計(jì)劃購進(jìn)一批乒乓球臺(tái)和電子白板觸摸一體機(jī)，經(jīng)過市場(chǎng)咨詢知道，購買三個(gè)乒乓球臺(tái)和兩臺(tái)電子白板觸摸一體機(jī)需要4.8萬元，購買兩個(gè)乒乓球臺(tái)和一臺(tái)電子白板觸摸一體機(jī)需要3萬元。

（1）求每個(gè)乒乓球臺(tái)和每臺(tái)電子白板各多少元。

（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際，需購進(jìn)乒乓球臺(tái)和白板共40個(gè)（臺(tái)），總費(fèi)用不超過70萬元，但不低于60萬元，請(qǐng)你通過計(jì)算求出有幾種購買方案，哪種費(fèi)用最低。

解：（1）設(shè)每臺(tái)乒乓球臺(tái)x萬元，每臺(tái)電子白板y萬元，則：

3x+2y=5.6

2x+y=3?解得：x=0.4

y=2.2

所以，每個(gè)乒乓球臺(tái)0.4萬元，每臺(tái)電子白板2.2萬元。

（2）方法一：

設(shè)購進(jìn)乒乓球臺(tái)a個(gè)，電子白板（40-a）臺(tái)，則：

0.4a+2.2（40-a）≥60

0.4a+2.2（40-a）≤70

解得：10≤a≤15.6

因?yàn)閍為正整數(shù)，所以a=10，11，12，13，14，15，由此可知共有六種購買方案：

方案一：購進(jìn)乒乓球臺(tái)10個(gè)，電子白板30臺(tái)。

總費(fèi)用為：0.4×10+2.2（40-10）=70萬元

方案二：購進(jìn)乒乓球臺(tái)11個(gè)，電子白板29臺(tái)。

總費(fèi)用為：0.4×11+2.2（40-11）=68.2萬元

方案三：購進(jìn)乒乓球臺(tái)12個(gè)，電子白板28臺(tái)。

總費(fèi)用為：0.4×12+2.2（40-12）=66.4萬元

方案四：購進(jìn)乒乓球臺(tái)13個(gè)，電子白板27臺(tái)。

總費(fèi)用為：0.4×13+2.2（40-13）=64.6萬元

方案五：購進(jìn)乒乓球臺(tái)14個(gè)，電子白板26臺(tái)。

總費(fèi)用為：0.4×14+2.2（40-14）=62.8萬元

方案六：購進(jìn)乒乓球臺(tái)15個(gè)，電子白板25臺(tái)。

總費(fèi)用為：0.4×15+2.2（40-15）=61萬元

所以，選擇方案六總費(fèi)用最低，且最低費(fèi)用為61萬元。

方法二：

設(shè)購進(jìn)乒乓球臺(tái)a個(gè)，電子白板（40-a）臺(tái)，總費(fèi)用為W萬元，則：

W=0.4a+2.2（40-a）=-1.8a+88

即：W=-1.8a+88

根據(jù)題意得：60≤-1.8a+88≤70

解得：10≤a≤15.6

因?yàn)閍為正整數(shù)，所以a=10，11，12，13，14，15

故共有六種購買方案

又因?yàn)閃=-1.8a+88是一次函數(shù)，W隨a的增大而減小，

所以當(dāng)a=15時(shí)，W最小，且W的最小值=-27+88=61萬元。

因此，購進(jìn)乒乓球臺(tái)15個(gè)，電子白板25臺(tái)時(shí)總費(fèi)用最低，且最低費(fèi)用為61萬元。

這個(gè)題目在整個(gè)解題過程中，先根據(jù)題目里給出的已知條件，將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將題目中各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系利用方程或不等式表示出來;方法一則是利用不等式組解得的需要購買的乒乓球臺(tái)和電子白板的數(shù)量，逐一代入計(jì)算，得到需要的答案;方法二則有了難度，使很多學(xué)生難以想到此解法，然而這個(gè)解法運(yùn)用數(shù)學(xué)中方程函數(shù)的思想方法，將總費(fèi)用巧妙地用一次函數(shù)表示出來，利用一次函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間存在的變化關(guān)系，直接回答了需要解決的問題，這個(gè)方法的運(yùn)用，不僅減少了運(yùn)算的麻煩，還降低了出錯(cuò)率，且巧妙地將方程、不等式、一次函數(shù)等知識(shí)綜合聯(lián)系起來，不僅解決了需要解決的問題，還啟發(fā)學(xué)生積極思考，拓寬了解題思路，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的極大興趣、熱情和積極性，開發(fā)了學(xué)生智力，啟發(fā)了學(xué)生的抽象思維能力，為學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)打下了堅(jiān)實(shí)良好的基礎(chǔ)。

作者簡(jiǎn)介：

程紅梅，甘肅省白銀市，會(huì)寧縣桃林中學(xué)。