數(shù)學(xué)分析中的“微分”概念教學(xué)創(chuàng)新探究

唐樹安，李俊

（1.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽 550001;2.安順學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州安順 561000）

《數(shù)學(xué)分析》這門課是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)必修的最重要的基礎(chǔ)課之一，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步加深。這門課程學(xué)生反映普遍感到比較困難，是因?yàn)槠涓拍畹母叨瘸橄笮院妥C明的高度嚴(yán)謹(jǐn)性。這門課程的最大特點(diǎn)是它的所有概念都是需要用自己的一門語言來描述，也就是ε-N和ε-δ語言。例如極限、連續(xù)、可導(dǎo)以及級(jí)數(shù)的收斂等等。要想掌握《數(shù)學(xué)分析》這門課程，就得吃透這些概念，就得掌握好這門語言。但是“微分”這個(gè)概念是一個(gè)例外，它的最開始的定義并沒有用極限的語言，它的出現(xiàn)是早于極限理論的。這樣學(xué)生就會(huì)感到很不適應(yīng)，因?yàn)槲覀兊拇髮W(xué)《數(shù)學(xué)分析》教材基本上是按照極限、可導(dǎo)、微分這樣的順序來安排。學(xué)生感到很困惑，既然“可導(dǎo)”和“可微”是“一樣”的，那為什么還要引入這樣的不好理解的概念？這樣就給上這門課的教師提出了問題，應(yīng)該怎么講“微分”的概念才能幫助學(xué)生更好的理解呢？他們遇到的這些問題如何在教學(xué)中去解決？一些專家學(xué)者在這方面做了一些深入的思考[1-4]。本文將從概念的引入、概念的質(zhì)疑以及一些重要應(yīng)用幾個(gè)方面來探究這一概念的教學(xué)。

1 “微分”概念的引入

很多學(xué)生反映說提起“微分”就有點(diǎn)害怕，一頭霧水，甚至對(duì)這個(gè)符號(hào)都特別排斥和不理解。有學(xué)生干脆直接將它等同于可導(dǎo)，但是到了多元函數(shù)部分是就出問題了。其實(shí)，這是可以理解的，因?yàn)椤拔⒎帧边@個(gè)概念最開始的定義是模糊的。微積分的發(fā)展歷史上，是先有微分，后有極限理論，才利用極限理論引入導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念，而現(xiàn)在依然是用微分一開始就使用的符號(hào)來表示。我們首先來看看萊布尼茨是如何定義微分的：Δx沒有達(dá)到零，Δx的“最終值”不是零而是一個(gè)“無窮小量”，也即是被稱為“微分”的dx，類似的，Δy也有最終的無窮小值dy，然而這兩個(gè)無窮小微分的真正的商又是一個(gè)普通的數(shù)，。這樣的定義讓人感覺模糊和混亂，例如我們來求函數(shù)y=x2的微分。首先考慮一個(gè)無窮小量dx，然后觀察自變量由x變?yōu)閤+dx時(shí)函數(shù)值得變化dy=（x+dx）2-x2=2xdx+（dx）2，再考慮函數(shù)值的變化與自變量變化dx的比值，而dx是一個(gè)無窮小量，可以忽略不計(jì)，所以有。這是一個(gè)矛盾的推導(dǎo)，因?yàn)閐x首先作為不為零的無窮小量去除另外一個(gè)量，而后來又作為一個(gè)等于零的量而舍去。

這樣使得“微分”這個(gè)概念非常難懂，事實(shí)上，如果我們把這些符號(hào)理解為當(dāng)dx→0時(shí)導(dǎo)致dy→0的極限過程，那對(duì)于有極限理論訓(xùn)練的人來說，就沒有多大的困難了。因此在我們的課堂上，如果一開始就告訴學(xué)生微分的定義的發(fā)展史，這樣會(huì)引起更多的困惑，也會(huì)打亂現(xiàn)行教材的內(nèi)容構(gòu)建體系。因?yàn)橹耙呀?jīng)嚴(yán)格建立了極限理論，我們認(rèn)為用如下研究式的教學(xué)引入是一個(gè)學(xué)生比較容易接受的方法。

設(shè)函數(shù)f（x）在一點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則當(dāng)Δx→0時(shí)，有：

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f'（x0）Δx+o（Δx）

這里o（Δx）是比Δx更高階的無窮小。這就說明在函數(shù)f（x）在一點(diǎn)x0處可導(dǎo)的條件下，其函數(shù)值的改變量Δy在x0附近可以近似的用一個(gè)自變量的改變量的線性函數(shù)f'（x0）Δx來代替。自然的，我們想去掉函數(shù)可導(dǎo)這個(gè)條件，去研究這樣一類函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：

你可以找到一個(gè)數(shù)A，使得當(dāng)時(shí)Δx→0，函數(shù)f（x）在x0處滿足如下等式：

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+o（Δx）.

我們給具這樣性質(zhì)的函數(shù)f（x）一個(gè)名稱，也即是說函數(shù)f（x）在x0處是可微的，并用記號(hào)df=dy=AΔx表示f（x）在x0處的微分。一個(gè)簡(jiǎn)單而重要的例子是y=f（x）=x，由微分的定義，我們得到Δy=dy=dx=Δx

這樣引入的一個(gè)好處是給學(xué)生一個(gè)感覺，可微性并不是那么看不見摸不著，我們僅僅是在尋找一種函數(shù)，這種函數(shù)具有可導(dǎo)函數(shù)的某些性質(zhì)，并給這類函數(shù)命個(gè)名而已。而且，這種研討式的引入會(huì)自然引導(dǎo)學(xué)生去思考如下問題：常數(shù)A是什么？函數(shù)在不同的點(diǎn)，A是不是不一樣？這樣的函數(shù)在x0附近有什么性質(zhì)？它與函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性有什么關(guān)系？如果函數(shù)是可微的，如何求它的微分呢？dy僅僅是一個(gè)記號(hào)，還是有別的含義呢？

2 “微分”概念的質(zhì)疑

從函數(shù)的微分的定義可以看出以下特點(diǎn)：它是一個(gè)微小的改變量，與函數(shù)的增量Δy差一個(gè)較Δx的高階無窮小。它是關(guān)于自變量x的改變量Δx一個(gè)線性函數(shù)，也是關(guān)于自變量x的函數(shù)。

一般來講，一個(gè)一元函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)具體的數(shù)，而在一點(diǎn)的微分是關(guān)于自變量x的改變量Δx一個(gè)線性函數(shù)，這讓學(xué)生一下子理解不過來。其實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)在這一點(diǎn)的變化率，而一點(diǎn)的微分僅僅是函數(shù)在這一點(diǎn)的微小的改變量。

學(xué)生很難區(qū)分可導(dǎo)和可微兩個(gè)概念，其實(shí)這兩個(gè)概念要在多元函數(shù)中才能區(qū)分開來。在一元函數(shù)中，可微而可導(dǎo)是兩個(gè)等同的概念，即可微和可導(dǎo)是等價(jià)的。但在多元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)）是有區(qū)別的。如果函數(shù)z=f（x，y）在一點(diǎn)（x0，y0）處可微，則其關(guān)于x和y的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，但是如下反之不成立，見文獻(xiàn)[2]。

3 一些重要應(yīng)用

有些學(xué)生很困惑，為什么要學(xué)習(xí)微分，有什么用呢我們?cè)谶@一小節(jié)就來談?wù)勎⒎值挠锰?。在文獻(xiàn)[1]中作者介紹了如何借助于微分來記憶求導(dǎo)公式，如何借助于微分的逆運(yùn)算來求積分以及微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用等。我們這里主要想談?wù)剝蓚€(gè)應(yīng)用，第一個(gè)就是在微元法中的應(yīng)用，其次是如何借助于微分來理解記憶Green公式，Gauss公式以及Stokes公式。

微元法也是學(xué)生頗感頭痛的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，很多學(xué)生都是掌握不了要點(diǎn)，不會(huì)使用，以至于在定積分應(yīng)用這一塊內(nèi)容上學(xué)的不扎實(shí)。究其原因，其實(shí)是對(duì)微分這個(gè)定義沒有抓到本質(zhì)，沒有融會(huì)貫通的原因。我們先來看看微元法是什么。

假設(shè)我們要求出一個(gè)量S，它與區(qū)間[a，b]有關(guān)，當(dāng)[a，b]給定后，S是一個(gè)確定的量，這個(gè)量對(duì)這個(gè)區(qū)間具有可加性，也即是對(duì)任意分割T：a=x0＜x1＜···＜xn=b，子區(qū)間[xi-1，xi]=DSi（i=1，2···，n），則。任取小區(qū)間，如果其所對(duì)應(yīng)的部分量滿足ΔSi=f（ξ）dx，（ξ∈[x，x+dx]）且f（x）是[a，b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則我們有ds=f（x）dx并且。這里學(xué)生不理解為什么ds就等于f（x）dx了其實(shí)這就是微分的定義，因?yàn)棣i=f（ξ）dx=f（x）Δx+（f（ξ）-f（x））Δx，而由函數(shù)的連續(xù)性，當(dāng)Δx→0時(shí)，（f（ξ）-f（x））Δx=0（Δx）所以我們得到ds=f（x）dx。

例如我們求由連續(xù)曲線y=f（x）（x∈[a，b]），x軸以及直線x=a，x=b所圍的面積。首先我們所求的面積這個(gè)量滿足微元法的條件，現(xiàn)在任意取小區(qū)間[x，x+dx]∪[a，b]，則所對(duì)應(yīng)的面積ΔSi會(huì)落在mΔx和MΔx之間，這里m，M分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間[x，x+dx]上的最小值和最大值，由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，存在點(diǎn)ξ∈[x，x+dx]使得ΔSi=f（ξ）dx。于是由微元法，我們得到所求的面積為。

借助于微分，在龔升的教材[4]中處理了Green公式，Gauss公式以及Stokes公式。建議在課堂上也進(jìn)行這樣的處理，這樣既可以幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)微分這個(gè)概念的理解，也可以從中看到微分的重要應(yīng)用。下面先來看看這三個(gè)公式的形式：

Green公式 設(shè)Ω是有平面上封閉曲線Γ所圍成的閉區(qū)域，函數(shù)p（x，y）和q（x，y）在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

Stokes公式 設(shè)Ω是空間中以封閉曲線Γ為邊界的曲面，函數(shù)p（x，y，z），q（x，y，z）和r（x，y，z）具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

Guass公式 設(shè)V是空間封閉曲面Ω所圍成的閉區(qū)域，函數(shù)函數(shù)p（x，y，z），p（x，y，z）和r（x，y，z）在V上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

可以把微分d理解成一種運(yùn)算，且規(guī)定ddx=ddy=dddz=0.定義微分dx與dy的外乘積為dx?dy，滿足dx?dy=-dy?dx。于是有dx?dx=0。我們稱一個(gè)函數(shù)的零階微分是它本身，ω=pdx+qdy+rdz為一階微分，ω=Adx?dy+Bdy?dz+Cdz?dx為二階微分，ω=Edx?dy?dz為三階微分。于是我們有Green公式，Gauss公式以及Stokes公式的統(tǒng)一形式：，這里?Ω表示Ω的邊界。這樣的話，學(xué)生就不再混淆這三個(gè)公式了。