安清翹《矩線(xiàn)原本》“比例篇”研究*

龐雪晨 楊小明

安清翹(1756-1829)是清中期“兼用中西法”的天文歷算家。[注]張之洞：《張之洞全集》第11冊(cè)，河北人民出版社1998年版，第9984頁(yè)。當(dāng)時(shí)西學(xué)的傳入逐漸式微、幾近隔絕，考據(jù)大興成乾嘉學(xué)派。乾嘉學(xué)派在研究古算和復(fù)興宋元數(shù)學(xué)上有過(guò)貢獻(xiàn)，但他們借數(shù)學(xué)為“明道”“通古”的工具價(jià)值和對(duì)“西學(xué)中源”說(shuō)的倡導(dǎo)，卻又限制了純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展?！叭〕讨熘舛鵀槔頂?shù)合一之說(shuō)”[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)》，清嘉慶辛未刊本樹(shù)人堂藏版，敘。，安清翹創(chuàng)造性地提出“矩”世界觀(guān)；同時(shí)，對(duì)“西學(xué)中源說(shuō)”有著鮮明的批判態(tài)度。

既往研究論及清中葉數(shù)學(xué)活動(dòng)，無(wú)不以乾嘉學(xué)者括之，對(duì)安清翹的關(guān)注似顯零散。學(xué)界對(duì)安清翹的研究，始于1935年李儼在其《中算史論叢》“明清算家之割圓術(shù)”中對(duì)安清翹“五分取一法”(弧矢割圓求法)的介紹。近年來(lái)，安清翹著述的學(xué)術(shù)價(jià)值被持續(xù)挖掘出來(lái)，但受到主要關(guān)注的是其“矩”學(xué)和勾股定理[注]參見(jiàn)楊小明、賈爭(zhēng)卉《“矩”哲學(xué)觀(guān)與安清翹關(guān)于中西學(xué)關(guān)系的認(rèn)知與實(shí)踐》，《科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究》2013年第4期。、割圓五分取一法、歲差成因[注]參見(jiàn)楊小明、李樹(shù)雪《安清翹關(guān)于歲差的認(rèn)識(shí)》，《中國(guó)科技史雜志》2005年第3期；楊小明、任春光《天旋、歲差與中西之爭(zhēng)——清代科學(xué)思想史的一條線(xiàn)索》，《自然科學(xué)史研究》2017年第3期。、日月五星視運(yùn)行的左旋會(huì)通[注]參見(jiàn)楊小明、黃勇《日月五星左、右旋之爭(zhēng)：安清翹的左旋會(huì)通》，《華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版》2006年第1期。，以及對(duì)“十二平均律”[注]參見(jiàn)賈爭(zhēng)卉、楊小明《十二平均律：從江永和安清翹看朱載堉的思想源流》，《中國(guó)音樂(lè)》2011年第2期。深化等數(shù)學(xué)、歷算、音律科學(xué)成就的個(gè)案研究[注]林倉(cāng)億、陳彥宏、田淼、賈爭(zhēng)卉、翁攀峰、劉增強(qiáng)等學(xué)者從不同角度論證過(guò)《梅氏叢書(shū)輯要》是安清翹歷算、樂(lè)律研究的參考底本；黃勇、魏屹東也撰文指出，安清翹在中國(guó)律學(xué)史上第一次明確使用了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是對(duì)朱載堉生律方法質(zhì)的超越；韓琦高度評(píng)價(jià)安清翹是清后期少數(shù)敢于反對(duì)“西學(xué)中源說(shuō)”的代表之一。，而對(duì)他思想大成的數(shù)學(xué)方法論基礎(chǔ)少有討論。

安清翹利用“矩”中量與序的內(nèi)涵賦予“格物”以“絜矩”的定量化新義，在“理數(shù)合一”的層面上闡明矩是世界的秩序與尺度[注]賈爭(zhēng)卉、楊小明：《“矩”一種獨(dú)特的世界觀(guān)：安清翹科學(xué)思想初探》，《科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究》2011年第2期。，“窮理之要，不外比例”[注]安清翹：《矩堂語(yǔ)錄》，辛酉春中漢持署1921年版，第30頁(yè)。，提煉出矩學(xué)研究的方法論。換言之，安清翹認(rèn)為對(duì)于事物秩序與度量的探究，在本質(zhì)上都是在使用一種最為基本的關(guān)系，即“比例關(guān)系”?！毒鼐€(xiàn)原本》(1818)“比例篇”是安清翹以“矩”為基礎(chǔ)討論比例與數(shù)學(xué)關(guān)系的主要論著。學(xué)界至今尚無(wú)把“比例”提升至矩學(xué)方法論高度的專(zhuān)題論述，是以本文圍繞“比例篇”的主要內(nèi)容、取材發(fā)揮、思想基礎(chǔ)等幾個(gè)問(wèn)題研究，力圖予安清翹在清代算學(xué)乃至科學(xué)史以恰當(dāng)定位。

一、首言九九比例：淺近與深遠(yuǎn)的辯證

《數(shù)學(xué)五書(shū)》19卷，刊行于嘉慶年間，總論天文、歷算、音律知識(shí)，是安清翹的主要數(shù)學(xué)著作，《矩線(xiàn)原本》4卷為其中一種。那么，安清翹作為傳統(tǒng)學(xué)人，如何認(rèn)識(shí)比例、數(shù)學(xué)與經(jīng)學(xué)的關(guān)系，何以一反當(dāng)時(shí)儒者視數(shù)學(xué)為“九九賤技”的論調(diào)？他在《矩線(xiàn)原本》開(kāi)篇給予解答。他認(rèn)為儒者務(wù)在窮經(jīng)而“未有不習(xí)數(shù)學(xué)而能通經(jīng)者”[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·矩線(xiàn)原本》，敘。，強(qiáng)調(diào)以數(shù)致用，并指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“細(xì)其心，靜其氣”的終極目的，亦在《書(shū)幾何原本后》[注]安清翹：《寬夫先生文集》，第14頁(yè)?！毒靥谜Z(yǔ)錄》[注]安清翹：《矩堂語(yǔ)錄》，第10頁(yè)。中反復(fù)申明。此外，安清翹還對(duì)“比例”和“窮理”“格物”的關(guān)系加以闡釋?zhuān)骸案F理之要，不外比例而已。古注格物之格，為量度，量度者比例之謂也。舊注又云格者，比方思量之意?！盵注]安清翹：《矩堂語(yǔ)錄》，第30頁(yè)。由此可見(jiàn)，安清翹認(rèn)為數(shù)學(xué)研習(xí)是儒者格物窮理的基本路徑，即認(rèn)識(shí)沿著“量度→比例→格物→窮理”不斷上升，故談道易必先習(xí)數(shù)學(xué)，習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)首言九九、比例。

安清翹關(guān)于比例的運(yùn)算研究主要出自《矩線(xiàn)原本》“比例篇”。該部分以“比例”為綱，共列19類(lèi)54條規(guī)則，每條相當(dāng)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一條定理或公式。他首先從“九九圖”出發(fā)，定義“矩”的測(cè)量意義，探討數(shù)列的性質(zhì)；“凡矩之分?jǐn)?shù)，自一而二而三而四而五，依次遞加，至于無(wú)窮，謂之加減連比例”，即今之等差數(shù)列；“凡矩之位以十為等，自一而十而百而千而萬(wàn)，以至于無(wú)窮，謂之乘除連比例”，即今之等比數(shù)列，“等”相當(dāng)于“公比”。安清翹通過(guò)對(duì)照相對(duì)簡(jiǎn)單、基本的等差數(shù)列的通項(xiàng)規(guī)律，從等差級(jí)數(shù)的性質(zhì)依次舉例變換至等比級(jí)數(shù)，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并明確指出其原則：加號(hào)變乘號(hào)，減號(hào)變除號(hào)，倍數(shù)變次方，分?jǐn)?shù)變開(kāi)若干次方。這與今天數(shù)學(xué)和物理上經(jīng)常應(yīng)用的共軛變換有著異曲同工之妙。[注]賈爭(zhēng)卉：《一代學(xué)人安清翹——基于樂(lè)律、歷算的系統(tǒng)研究》，科學(xué)出版社2018年版，第115頁(yè)。繼而安清翹對(duì)“比例四隅”的闡釋?zhuān)瑒t是對(duì)比例運(yùn)算分門(mén)別類(lèi)、由淺入深的系統(tǒng)舉例和反復(fù)說(shuō)明。除上述三種“比例”外，安清翹還探討了因數(shù)、倍數(shù)和輾轉(zhuǎn)相減法、利用通分法比較分?jǐn)?shù)大小，后借用“比例四隅”的直觀(guān)表述，又探討了相似三角形的判定及各對(duì)應(yīng)邊成比例，再基于相似三角形性質(zhì)和弧與圓心角、圓周角的關(guān)系，介紹圓的相交弦定理、三角形的角平分線(xiàn)定理，然后說(shuō)明半圓內(nèi)接直角三角形、半圓內(nèi)接鈍角三角形、圓內(nèi)接銳角三角形，最后利用長(zhǎng)方形討論平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理。總體來(lái)看，“比例篇”結(jié)合中西數(shù)學(xué)的運(yùn)算規(guī)律與理論，總結(jié)矩線(xiàn)關(guān)系、比例關(guān)系、平面幾何比例關(guān)系三大部分內(nèi)容。行文結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，以圖釋文，借用“率”“分”“左”“右”等固定文字表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言；其利用圖形證明代數(shù)公式、再推演至平面幾何定理的方法，類(lèi)似于傳統(tǒng)算學(xué)中的演段算法。盡管安清翹在表述運(yùn)算規(guī)律時(shí)，語(yǔ)言略顯繁瑣，但按圖索解，使得等差、等比兩種數(shù)列的性質(zhì)及其轉(zhuǎn)換關(guān)系簡(jiǎn)明易懂，相當(dāng)符合他“理易明而便于用”[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·學(xué)算存略》，第28頁(yè)。的理念。

本文以A(1,2,3…)代表“九九圖”橫向表頭各數(shù)，以a(1,2,3…)代表縱向表頭各數(shù)，n和m為常數(shù)，試用今天的代數(shù)方程、幾何定理，對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的驗(yàn)算(見(jiàn)表1)，亦證明了安清翹比例研究的精確性和系統(tǒng)性。

安清翹對(duì)比例關(guān)系的透徹討論，為他在《學(xué)算存略》中總結(jié)筆算法則、在《樂(lè)律心得》中推算十二平均律各率、討論音律問(wèn)題，奠定了方法論基礎(chǔ)，是視“比例”為“窮理之要”的實(shí)踐。

表1 《矩線(xiàn)原本》“比例篇”主要內(nèi)容

平面幾何比例關(guān)系線(xiàn)線(xiàn);空間坐標(biāo)軸方向的三種直線(xiàn)及相交關(guān)系;平行線(xiàn);直角,銳角,鈍角角與弧圓心角(直角、銳角、鈍角)與弧的關(guān)系多邊形內(nèi)角和平行四邊形、三角形內(nèi)角和與圓心角的關(guān)系相似三角形相似三角形各對(duì)應(yīng)邊成比例定理圓心角、圓周角圓周角等于同弧上圓心角的一半;圓內(nèi)接正三角形同弧上圓周角等于圓心角的一半;等弧、同弧上圓周角相等圓內(nèi)相交弦相似三角形與圓內(nèi)相交弦定理角平分線(xiàn)三角形角平分線(xiàn)定理半圓內(nèi)接三角形半圓內(nèi)接三角形(直角、銳角、鈍角)平行線(xiàn)間方形面積平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理

注：表中三大部分19類(lèi)問(wèn)題，為筆者分類(lèi)；54條規(guī)則按原文中“凡”字計(jì)算。

二、吸菁英發(fā)微言：“比例”知識(shí)的再闡釋

我國(guó)天文算法之學(xué)至清代尤勝，梅文鼎為其開(kāi)山之祖。安清翹《矩線(xiàn)原本》“比例篇”頗見(jiàn)梅文鼎《數(shù)理精蘊(yùn)》及當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)經(jīng)典中的內(nèi)容，亦是安清翹對(duì)中西數(shù)學(xué)會(huì)通的再發(fā)揮。

1.九九、矩、方、圓與點(diǎn)、線(xiàn)、面、體

安清翹同梅文鼎，開(kāi)篇取用《周髀算經(jīng)》中的概念定義“矩”，把“九九、矩、方、圓”解釋為西方幾何學(xué)中的“點(diǎn)、線(xiàn)、面、體”，指出矩是點(diǎn)線(xiàn)面體衍生關(guān)系的本元，“是故數(shù)學(xué)，一矩貫之矣”[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·矩線(xiàn)原本》，第1-2頁(yè)。。梅文鼎認(rèn)為，點(diǎn)線(xiàn)面體為西算根本，安清翹則受梅文鼎“會(huì)通”觀(guān)念的影響，對(duì)應(yīng)中西方數(shù)學(xué)概念，以中法“矩線(xiàn)”詮釋算學(xué)。其后他用“九九圖”說(shuō)明點(diǎn)線(xiàn)面的數(shù)量關(guān)系(見(jiàn)圖1)，與明利瑪竇撰、李之藻譯《同文算指》“九九相乘圖”[注]丁巨：《丁巨算法 同文算指前編》，商務(wù)印書(shū)館1936年版，第33-34頁(yè)。(見(jiàn)圖2)極為相似，借“九九圖”表示加、減、乘、除、開(kāi)方、連比例、比例四隅、正方、長(zhǎng)方等多個(gè)概念。

與《數(shù)理精蘊(yùn)》“矩出于九九八十一”一段和旁圖(見(jiàn)圖3)[注]圣祖敕編：《數(shù)理精蘊(yùn)》，第9-11頁(yè)。相較，可見(jiàn)《矩線(xiàn)原本》對(duì)矩的認(rèn)識(shí)是吸收后的再闡釋[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·矩線(xiàn)原本》，第1-2頁(yè)。?！稊?shù)理精蘊(yùn)》指出：“矩之形不外乎二數(shù)相乘。九九者數(shù)之終，而一一乃數(shù)之始。”《矩線(xiàn)原本》則講“矩，一縱一橫，相因得八十一”，“矩，一也，分之則始于一一，終于九九”。矩之兩股相同為正方，其余皆為長(zhǎng)方；《數(shù)理精蘊(yùn)》的股，在《矩線(xiàn)原本》中表述為“矩之分?jǐn)?shù)”。

2.求比例算法

《九章算術(shù)》早已提出“今有術(shù)”“衰分”等有關(guān)比例的數(shù)學(xué)知識(shí)，“衰分”即按比例分配求解遞減等差數(shù)列各項(xiàng)的特殊算法。《同文算指》卷五介紹了西方求解等差、等比數(shù)列以及公差、公比、前n項(xiàng)和、第n項(xiàng)的方法。程大位的《算法統(tǒng)宗》改“衰分”為“差分”，列有“互和減半差分”“遞減挨次差分”等內(nèi)容；朱載堉在音律上創(chuàng)建十二平均律的同時(shí)，指出已知等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)求其他各項(xiàng)的解法；《數(shù)理精蘊(yùn)》討論自然數(shù)性質(zhì)的《算法原本》再次介紹“按數(shù)加減比例”?！毒鼐€(xiàn)原本》基于上述成果，取“九九圖”中的數(shù)位，“依次遞加，至于無(wú)窮”，用公差為1的等差數(shù)列定義“遞加連比例”，推導(dǎo)三率、四率、五率算法，并可類(lèi)推至六率以上。其乘除連比例論證與《數(shù)理精蘊(yùn)》相似，皆列公比為10的等比數(shù)列，底數(shù)為10，指數(shù)以加代乘、以減代除?！稊?shù)理精蘊(yùn)》指出：“以加倍代自乘，故折半即開(kāi)平方；以三因代再乘，故歸即開(kāi)立方。”[注]圣祖敕編：《數(shù)理精蘊(yùn)》，第1529頁(yè)?！毒鼐€(xiàn)原本》則稱(chēng)：“言倍者自乘為平方也，三倍者再乘為立方也，四倍者三乘方也；言折半者開(kāi)平方也，取三分之一者開(kāi)立方也，取四分之一者開(kāi)三乘方也?！盵注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·矩線(xiàn)原本》，第8-9頁(yè)?？梢?jiàn)，安清翹雖然指出數(shù)列各率之名可互易對(duì)應(yīng)，并應(yīng)用等式性質(zhì)創(chuàng)“簡(jiǎn)法”，但沒(méi)有明示“遞減”的概念以及求公差公比、數(shù)列求和的公式，內(nèi)容所達(dá)的程式化與西方數(shù)列公式仍相去甚遠(yuǎn)。

圖1《矩線(xiàn)原本》“九九圖”

圖2《同文算指》“九九相乘圖” 圖3《數(shù)理精蘊(yùn)》圖

安清翹使用“方程”和“立天元一”(即我國(guó)宋元的列方程)的方法闡釋“比例四隅”算法?！氨壤痹凇毒耪滤阈g(shù)》中稱(chēng)“今有術(shù)”，元代為“異乘同除”，今推斷“比例”一詞為徐光啟譯《幾何原本》時(shí)引入。在“比例四隅”算法論述中，安清翹把《九章算術(shù)》“今有術(shù)”中的所有率對(duì)西法第一率、所求率對(duì)西法第二率、所有數(shù)對(duì)西法第三率、所求數(shù)對(duì)西法第四率。這種對(duì)應(yīng)出自《同文算指》卷一的“三率法”，即從已知三率求第四率的算法。梅文鼎《筆算》指出，三率法與異乘同除法是統(tǒng)一的：“以先有之?dāng)?shù)，知今有之?dāng)?shù)，兩兩相得，是生比例，莫善于異乘同除，乃古《九章算術(shù)》之樞要也。先有者二，今有者一，是已知者三，而未知者一，用三求一，故西法謂之三率?！盵注]吳文俊主編：《中國(guó)數(shù)學(xué)史大系》第2卷，北京師范大學(xué)出版社1998年版，第229-230頁(yè)。與之相比，安清翹“比例四隅”算法的不同在于：一是概念符號(hào)化，在對(duì)應(yīng)“今有術(shù)”“三率法”的基礎(chǔ)上，將四率轉(zhuǎn)為“右一、右二、左一、左二”四種符號(hào)；二是法則抽象化，脫離算學(xué)算法依附于生產(chǎn)、交易等實(shí)際需求的討論路徑；三是結(jié)論具象化，以面積說(shuō)明異乘同除。此外，通過(guò)文本比較我們發(fā)現(xiàn)，“比例篇”中的“因數(shù)、倍數(shù)與輾轉(zhuǎn)相減法”內(nèi)容，取自《數(shù)理精蘊(yùn)》上編卷五，兩者均依次討論了“整除性問(wèn)題”(度盡問(wèn)題)、互轉(zhuǎn)相減求兩數(shù)的最大公約數(shù)(輾轉(zhuǎn)相減求最大公因數(shù))、約分法、通分法，并列舉有相似實(shí)例。[注]陳彥宏：《清代算學(xué)家安清翹之<矩線(xiàn)原本>內(nèi)容分析》，臺(tái)灣師范大學(xué)碩士論文2002年，第36-39頁(yè)。但《數(shù)理精蘊(yùn)》更著重討論自然數(shù)的性質(zhì)，如通過(guò)度盡問(wèn)題介紹素?cái)?shù)。而安清翹在表述方式上有所創(chuàng)新，依然利用“九九圖”的圖形變化具象地分析數(shù)量之間的關(guān)系，如矩上大數(shù)能被兩相同因數(shù)整除為正方形、被不同因數(shù)整除為長(zhǎng)方形以及約分中的“比例四隅”關(guān)系。

3.平面幾何中的比例關(guān)系

安清翹在平面幾何比例部分表明矩以線(xiàn)表之可以繪圖制器的觀(guān)點(diǎn)。[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·矩線(xiàn)原本》，第19頁(yè)。他把線(xiàn)分為東西橫線(xiàn)、南北縱線(xiàn)、高卑立線(xiàn)，三線(xiàn)相較生成斜線(xiàn)(徑線(xiàn))。他提到的徑線(xiàn)，即《周髀算經(jīng)》中的徑隅。由此循中國(guó)古代，就斜線(xiàn)定義兩垂直相交直線(xiàn)的“正”，繼而有斜線(xiàn)與正線(xiàn)相交為“銳角”和“鈍角”。安清翹在三維空間中對(duì)平行線(xiàn)、相交線(xiàn)以及角的認(rèn)識(shí)，包含了《墨經(jīng)》“方，柱、隅四權(quán)也”的傳統(tǒng)幾何學(xué)概念。

安清翹進(jìn)一步用圓上弧、角關(guān)系說(shuō)明銳角、直角、鈍角，又一次采用《幾何原本》卷一的方法，沒(méi)有以弧的度數(shù)表示它所對(duì)圓心角的度數(shù)，而是以弧長(zhǎng)代度數(shù)?！稁缀卧尽肪硪坏谑畻l講圓界四分之一者角必直、不足謂之銳角、若過(guò)謂之鈍角；[注]圣祖敕編：《數(shù)理精蘊(yùn)》，第20頁(yè)?！毒鼐€(xiàn)原本》則說(shuō)：“方角所對(duì)之弧背，適四分圓周之一；銳角所對(duì)之弧背，不及四分圓周之一；鈍角所對(duì)之弧背，過(guò)四分圓周之一?！盵注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·矩線(xiàn)原本》，第21頁(yè)?？梢哉f(shuō)，二者同出一轍。接著，安清翹又探討了判定相似三角形、對(duì)應(yīng)邊成比例、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例等方法，內(nèi)容均出自《幾何原本》。

綜上所述，《矩線(xiàn)原本》“比例篇”既從傳統(tǒng)算學(xué)中吸收思想精髓和圖表表述的優(yōu)點(diǎn)，又融合《同文算指》《數(shù)理精蘊(yùn)》中西方數(shù)學(xué)內(nèi)容及公理化形式。其一，圖表被古人推崇為不務(wù)虛詞、“關(guān)乎實(shí)學(xué)”的載體[注]鄭樵：《通志》，中華書(shū)局1995年版，第1827頁(yè)。，“九九表”自先秦便是傳統(tǒng)計(jì)算技術(shù)發(fā)展的典范，安清翹所作“九九圖”的連比例研究，正是發(fā)揮了“表”能使“形勢(shì)若指諸掌”的優(yōu)勢(shì)[注]梁?jiǎn)⒊骸吨袊?guó)歷史研究法》，上海古籍出版社1998年版，第115頁(yè)。；其二，傳統(tǒng)算學(xué)一般結(jié)合實(shí)際應(yīng)用闡發(fā)，《矩線(xiàn)原本》則作為理論基礎(chǔ)從應(yīng)用中獨(dú)立出來(lái)，和《數(shù)理精蘊(yùn)》先原理后運(yùn)用異曲同工，因此安清翹得到的是連比例算律而非簡(jiǎn)單的算法，進(jìn)而他將“虛率”概念運(yùn)用到律學(xué)研究中，突破了前人對(duì)律呂長(zhǎng)度的規(guī)定；其三，“比例篇”內(nèi)容多取材《數(shù)理精蘊(yùn)》中的《周髀經(jīng)解》《幾何原本》《算法原本》，甚至引述原文，可以說(shuō)《數(shù)理精蘊(yùn)》是安清翹矩線(xiàn)比例關(guān)系研究的活水源頭。

三、窮理之要不外“比例”的思想基礎(chǔ)

安清翹“比例篇”思想崇簡(jiǎn)務(wù)實(shí)，內(nèi)容博采中西、自成一體。然而，其抽象性程度和符號(hào)化表述為何仍與西方數(shù)學(xué)存在差距？其“理易明而便于用”的理念源于中學(xué)還是西方公理體系？他又是如何處理中學(xué)與西學(xué)的關(guān)系，創(chuàng)建其獨(dú)特的“矩”學(xué)世界觀(guān)？

1.基于理學(xué)易象對(duì)數(shù)理規(guī)律性的認(rèn)識(shí)

一方面，安清翹諳熟程朱理學(xué)，形成“理數(shù)合一”的矩學(xué)思想。他認(rèn)為“矩”不僅是數(shù)學(xué)之直線(xiàn)，更是世界的秩序和評(píng)價(jià)萬(wàn)物的尺度，同朱熹之“理”，具有本體論和方法論意義。[注]賈爭(zhēng)卉：《一代學(xué)人安清翹——基于樂(lè)律、歷算的系統(tǒng)研究》，科學(xué)出版社2018年版，第23頁(yè)。安清翹把“數(shù)”提高到與“理”同等地位，言矩不言理、言實(shí)不言虛。由程朱理學(xué)發(fā)展而來(lái)的“理數(shù)合一”的矩學(xué)思想，正是安清翹數(shù)學(xué)思想、比例方法論的哲學(xué)基礎(chǔ)。矩于物外恒久不變又存于萬(wàn)物之中的“?！?，即是他所討論的“虛律”；“矩有變化在”則是算律在生活日用、歷象樂(lè)律中的具體應(yīng)用，如此矩哲學(xué)自然能跳脫儒者“玄眇空虛之弊”。[注]安清翹：《矩堂語(yǔ)錄》，第2-10頁(yè)。

另一方面，安清翹喜好易學(xué)。他曾感嘆：“一部周易，只一矩字。”[注]安清翹：《矩堂語(yǔ)錄》，第11頁(yè)。他把對(duì)數(shù)學(xué)的理解建立在“一”和“變”上，其最高范疇“矩”承襲于“數(shù)之法出于圓方”的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)范式，認(rèn)為河圖洛書(shū)即九九之?dāng)?shù)。劉徽曾在《九章算術(shù)注》序中表明了周易與數(shù)學(xué)的關(guān)系：一是伏羲畫(huà)卦用九九之?dāng)?shù)表示六爻變化；二是萬(wàn)物倍增符合數(shù)的運(yùn)算，反之可以用數(shù)求知萬(wàn)物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。安清翹先繪“九九圖”再討論數(shù)的變化規(guī)律，設(shè)“一”為“生生之元”，這與他重新詮釋《周子太極圖說(shuō)》[注]安清翹：《寬夫先生文集》，第3頁(yè)。安清翹《周子太極圖說(shuō)》為本文首次引用。該文去道家“無(wú)極”為“易有太極”，把“兩儀立焉”改為“兩極動(dòng)焉”，回避宇宙萬(wàn)物的時(shí)間起源，刪去陰陽(yáng)二氣聚合生“五行”的段落，強(qiáng)調(diào)萬(wàn)物生成變化出于“動(dòng)”，亦體現(xiàn)出他對(duì)矩的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。以太極(太一)作為萬(wàn)物之始的觀(guān)點(diǎn)一致，即用太極對(duì)應(yīng)“1”。安清翹又提出“矩之用在絜”[注]安清翹：《矩堂語(yǔ)錄》，第5頁(yè)。，認(rèn)為絜矩之道求的平衡是空間中六方位交會(huì)點(diǎn)中心的作用，是八卦之學(xué)后天重爻所用“六爻”的意義，其對(duì)線(xiàn)及平面圖形的論述正是基于空間坐標(biāo)說(shuō)明的。安清翹在處理連比例問(wèn)題的時(shí)候，采用傳統(tǒng)算學(xué)中“方程”“立天元一”的方法，亦是易中要求中正平衡的反映；“比例四隅”方法，則是用“象”對(duì)方程和“立天元一”的詮釋。他在方程中使用的通分、約分、四則運(yùn)算與三易思想、卦爻運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化的具體形式有相似之處，盡管安清翹沒(méi)有明確討論過(guò)數(shù)理與易學(xué)的相互借鑒，但他的《周易比例》題名正是易學(xué)與比例的結(jié)合，而其“比例篇”同時(shí)容納數(shù)列代數(shù)和幾何的知識(shí)，用“比例”溝通的“數(shù)”與“形”體現(xiàn)了易“立象以盡意”的理念。

2.傳統(tǒng)算學(xué)與西方數(shù)學(xué)的會(huì)通

明末清初，儒士反對(duì)空談義理，提倡經(jīng)世致用的實(shí)學(xué)；傳教士把天文歷法、數(shù)學(xué)和地理等西方科學(xué)傳入中國(guó)。中國(guó)算學(xué)日漸式微，伴隨歷算改革之需，上至皇帝如康熙下至徐光啟、王錫闡、梅文鼎等一批儒士均“取西歷之材質(zhì)，歸大統(tǒng)之型范”[注]王錫闡：《曉庵新法》，中華書(shū)局1985年版，自序第4頁(yè)。。其中以梅文鼎在傳教士譯稿基礎(chǔ)上匯編的《數(shù)理精蘊(yùn)》(1690)為著，結(jié)合傳統(tǒng)算學(xué)，系統(tǒng)介紹西方數(shù)學(xué)知識(shí)。適逢其時(shí)，后來(lái)的安清翹也受到這種風(fēng)潮的影響。

其一，安清翹借鑒中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想和方法，綜合明末清初學(xué)者的成果，獨(dú)有建樹(shù)。不僅如前“比例篇”取材來(lái)源所述，安清翹還在《矩線(xiàn)原本》后附《矩制考》1篇，從《考工記》到《周髀》，例舉鄭玄注釋《考工記》中誤讀“柯長(zhǎng)三尺，專(zhuān)言柄之長(zhǎng)短”，申明“矩分十二度，蓋古來(lái)相傳之舊法”的觀(guān)點(diǎn)。[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·矩線(xiàn)原本》卷四，第12-14頁(yè)?！毒刂瓶肌肥前睬迓N對(duì)梅氏觀(guān)點(diǎn)的商榷；《書(shū)幾何原本后》是安清翹深受梅文鼎影響的直接依據(jù)。對(duì)這種推測(cè)，我們關(guān)于安清翹對(duì)梅文鼎歲差的西方解釋特別是“西學(xué)中源說(shuō)”的批判等前期研究可以確證。[注]楊小明、李樹(shù)雪：《安清翹關(guān)于歲差的認(rèn)識(shí)》，《中國(guó)科技史雜志》2005年第3期；楊小明、賈爭(zhēng)卉：《“矩”哲學(xué)觀(guān)與安清翹關(guān)于中西學(xué)關(guān)系的認(rèn)知與實(shí)踐》，《科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究》2013年第4期。此外，安清翹還多次評(píng)論徐光啟的算學(xué)成績(jī)，對(duì)“比例”“原本”兩詞的借鑒可見(jiàn)一斑。然而，安清翹的數(shù)學(xué)研究并非簡(jiǎn)單的重復(fù)，《數(shù)學(xué)五書(shū)》內(nèi)容自成一體，《矩線(xiàn)原本》更似其他四書(shū)實(shí)際應(yīng)用的運(yùn)算基礎(chǔ)，甚至把比例運(yùn)算看作是“窮理之要”；方法上，安清翹實(shí)踐了“比例四隅”“以弧度角”等獨(dú)特的闡述形式。

其二，安清翹反對(duì)“西學(xué)中源”說(shuō)，旨在弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)?！锻撇轿┦恰分校睬迓N指出“西法不必傳自中土”，稱(chēng)西法同于《周髀》之寒暖五帶與七衡吻合，是因?yàn)椤袄怼毕嗤?，理的存在不以東海、西海而異；其理相同，不能說(shuō)明西法出于《周髀》：“天無(wú)中西之異，言天者不必存中西之見(jiàn)！”安清翹的“理”和“天”指的是客觀(guān)的自然規(guī)律，中法和西法都是對(duì)自然合理性的把握和解釋?zhuān)琜注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·推步惟是》卷四，第51-53頁(yè)?！皵?shù)無(wú)中西，惟其是爾！”[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·推步惟是》卷四，敘。所以，安清翹處處對(duì)應(yīng)中西概念，亦體現(xiàn)他的中西會(huì)通。需要指出，安清翹反對(duì)“西學(xué)中源”，卻并非是對(duì)西學(xué)的褒揚(yáng)，相反是對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)的近乎偏執(zhí)的堅(jiān)持，“以中法為主，而參以西法之所長(zhǎng)”[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·推步惟是》卷四，第48頁(yè)。。在安清翹看來(lái)，“西學(xué)中源說(shuō)”之所以不可接受，根本在于它骨子里承認(rèn)西學(xué)較中學(xué)要優(yōu)越！[注]楊小明、任春光：《天旋、歲差與中西之爭(zhēng)——清代科學(xué)思想史的一條線(xiàn)索》，《自然科學(xué)史研究》2017年第3期。為此，安清翹反復(fù)論證說(shuō)：“西法異于中法者既不若中法之善，而西法之善者又不出中法之外！”[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·推步惟是》卷四，第47頁(yè)。也就是說(shuō)，“西學(xué)中源說(shuō)”沒(méi)有任何意義！這也是安清翹在中國(guó)傳統(tǒng)中尋找“比例”的思想動(dòng)機(jī)。

其三，安清翹作《數(shù)學(xué)五書(shū)》是復(fù)興傳統(tǒng)算學(xué)的“會(huì)通”實(shí)踐。除了批評(píng)“西學(xué)中源說(shuō)”，安清翹的會(huì)通思想還來(lái)自對(duì)徐光啟的評(píng)價(jià)：“自徐文定修《新法算書(shū)》，已有偏重西法之意，雖中法勝西法者亦棄而不用，至今兩家言天數(shù)者猶斷斷未已！”[注]安清翹：《數(shù)學(xué)五書(shū)·一線(xiàn)表用》，序。這也反映出安清翹對(duì)傳統(tǒng)算學(xué)的眷顧。在《書(shū)幾何原本后》[注]安清翹：《寬夫先生文集》，第14頁(yè)。中，安清翹指出，徐光啟視西法神奇，不知小九九的知與能，進(jìn)而修改徐光啟提倡幾何推理的“三至三能”說(shuō)[注]安清翹《九九贊》：似至虛實(shí)至實(shí)，故能以其實(shí)實(shí)天下之至虛；似至晦實(shí)至明，故能以其明明天下之至晦；似至繁實(shí)至簡(jiǎn)，故能以其簡(jiǎn)簡(jiǎn)天下之至繁；似至難實(shí)至易，故能以其易易天下之至難。易由于簡(jiǎn)，簡(jiǎn)由于明，明由于實(shí)，綜其要在實(shí)而已。，作《九九贊》，在晦明、繁簡(jiǎn)、難易的辯證關(guān)系前又鋪墊“虛實(shí)”一層。[注]安清翹：《寬夫先生文集》，第19頁(yè)。一則，意在闡明“九九”和《幾何原本》同為“度數(shù)之宗”，只要掌握矩上分?jǐn)?shù)之比例，就能格物窮理即為自然立法；二則，由實(shí)生明、由明生簡(jiǎn)、由簡(jiǎn)生易，是傳統(tǒng)算學(xué)的重要理論特征，即寓理于算，講究算法的確定和推演，以追求實(shí)用為目的。安清翹從西方數(shù)學(xué)注重公理化的明、簡(jiǎn)、易，又回到中國(guó)傳統(tǒng)“經(jīng)世致用”實(shí)學(xué)觀(guān)念下對(duì)“數(shù)量”認(rèn)識(shí)的局限。在安清翹看來(lái)，忽視中法的所謂中西“會(huì)通”，其結(jié)果注定是“徒有其說(shuō)”。這樣，安清翹確立了回歸中學(xué)——以中為主、參以西法的方法論基礎(chǔ)。[注]楊小明、任春光：《天旋、歲差與中西之爭(zhēng)——清代科學(xué)思想史的一條線(xiàn)索》，《自然科學(xué)史研究》2017年第3期。這種方法論，在今天看來(lái)不免局促甚至自大，但卻是安清翹獨(dú)特的認(rèn)知。

結(jié) 論

綜上所述，安清翹取《周髀》的“矩”和西法的“線(xiàn)”，會(huì)通而得窮理之要——比例。安清翹《矩線(xiàn)原本》“比例”概念出自《幾何原本》，內(nèi)容則循“矩上九九”，視“九九”為數(shù)學(xué)本源，取材《數(shù)理精蘊(yùn)》及當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)名著中的相關(guān)知識(shí)，然后予以創(chuàng)造?？梢哉f(shuō)，《矩線(xiàn)原本》是《數(shù)學(xué)五書(shū)》其他研究的方法論基礎(chǔ)，最終目的即全書(shū)敘中所揭示的習(xí)數(shù)學(xué)可窮經(jīng)致用。從中國(guó)傳統(tǒng)的九九、比例出發(fā)，安清翹闡發(fā)了其獨(dú)特的“矩”哲學(xué)觀(guān)，在牛頓之外獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了歲差現(xiàn)象的成因，并繼清初江永之后以連比例之法破解了朱載堉“十二平均律”的根本原理和生律規(guī)律[注]賈爭(zhēng)卉、楊小明：《十二平均律：從江永和安清翹看朱載堉的思想源流》，《中國(guó)音樂(lè)》2011年第2期。。然而，對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)的堅(jiān)持，使他對(duì)西學(xué)偏見(jiàn)頗深。安清翹對(duì)“西學(xué)中源說(shuō)”的批評(píng)，并非是洞見(jiàn)了西學(xué)的價(jià)值，相反是向中學(xué)的回歸，始于反“西學(xué)中源說(shuō)”，又陷入“西學(xué)中源說(shuō)”的泥淖而不自覺(jué)，這是安清翹和清代學(xué)者無(wú)法逾越的時(shí)代局限。