服務水平約束下動態(tài)定價與庫存管理

段永瑞， 徐 超， 霍佳震

(1.同濟大學 經(jīng)濟與管理學院，上海 200092; 2.博士—同濟大學 全球供應鏈管理教席，上海 200092)

0 引言

在企業(yè)的實際運營中，庫存管理一直起著重要的作用。良好的庫存管理可以幫助企業(yè)降低成本，提高收益。另一方面，定價作為一種調節(jié)需求的工具，已經(jīng)在企業(yè)中得到了廣泛的應用。特別的，動態(tài)定價使得企業(yè)可以根據(jù)當前市場環(huán)境來確定價格，給予企業(yè)更高的決策自由度，從而受到企業(yè)的青睞。隨著經(jīng)濟的發(fā)展和人們生活水平的不斷提高，顧客在購物時不僅會考慮產(chǎn)品的價格與質量，還會考慮商家的服務質量[1]。研究表明，企業(yè)的服務水平會影響消費者的購買決策[2]。因此，企業(yè)在進行決策時，應考慮服務質量的影響[3]。在供應鏈與運營管理領域中，產(chǎn)品的庫存服務水平是常用的服務質量指標[4]，在實際中得到廣泛的應用[5]。庫存服務水平表征了企業(yè)庫存能完全滿足需求的概率[6]，服務水平越高，則產(chǎn)品缺貨的可能性越小。同時，良好的服務水平可以幫助企業(yè)獲得更高的客戶忠誠度，從而防止客戶的流失[7]，反之，則會造成企業(yè)商譽的損失[5]。

鑒于服務水平的重要性，在進行定價和庫存決策時，應考慮到對企業(yè)服務水平的影響。一些文獻開始研究考慮服務水平的決策問題。當考慮服務水平時，企業(yè)的決策問題變?yōu)槎嗄繕藘?yōu)化問題，即同時追求更好的服務水平和更高的利潤(更低的成本)。由于多目標優(yōu)化問題的求解較為困難，文獻中通常將多目標優(yōu)化問題轉化為服務水平約束下的最優(yōu)決策問題。Gruson等[8]研究了服務水平約束下的批量生產(chǎn)計劃問題。Abdelaal等[9]研究了存在服務水平約束的多產(chǎn)品選擇問題，并給出最優(yōu)求解算法。Minner和Transchel[10]針對易變質品的庫存管理問題引入服務水平約束，并驗證了動態(tài)庫存管理策略優(yōu)于靜態(tài)庫存管理策略。Jha和Shanker[11]研究了服務水平約束下的生產(chǎn)庫存聯(lián)合決策問題，并給出求解算法。戢守峰[12]等探討了服務水平約束下的庫存共享轉運問題。Schulte和Pibernik[13]研究基于服務水平的差別定價問題，即企業(yè)提供多個服務水平和價格的組合供消費者選擇，并給出差別定價優(yōu)于無差別定價的充分必要條件。段永瑞等[14]研究了當產(chǎn)品需求依賴于服務水平時的易變質品庫存策略，證明了解的存在唯一性，并給出了最優(yōu)服務水平與補貨策略。

在動態(tài)定價與庫存管理領域，F(xiàn)edergruen和Heching[15]最先對動態(tài)定價與庫存管理問題進行了研究，并證明了該問題的最優(yōu)策略為base-stock/list-price 策略。Chen和Simchi-Levi[16]將該問題推廣到考慮訂貨固定成本的情形，并證明了(s,S)策略的最優(yōu)性。Zhang等[17]同時考慮了訂貨固定成本和供應能力約束，證明了該情形下企業(yè)的利潤函數(shù)是強CK凹的，并給出最優(yōu)補貨策略。Feng[18]考慮了供應能力不確定的情形，并指出基于重補貨點的策略是最優(yōu)的。Chao等[19]研究了供應能力服從馬氏過程的情形，給出了改進的base-stock/list-price策略。當訂購存在提前期時，Pang等[20]通過引入L凸的概念，證明了利潤函數(shù)的L凸性，并進一步刻畫了最優(yōu)解的結構性質。針對帶有提前期的動態(tài)定價訂購問題，Bernstein等[21]提出了一種有效的啟發(fā)式算法，將高維問題轉換為低維問題進行求解。當銷售的產(chǎn)品為易變質品時，Chen等[22]證明了庫存水平和最優(yōu)需求隨著庫存向量的增大而增大。Hu等[23]研究了存在策略型消費者的易變質品動態(tài)定價訂購問題，給出了問題的最優(yōu)策略。當考慮參照價格效應時，利潤函數(shù)的聯(lián)合凹性不再成立。為此，Chen等[24]通過對原問題進行變換，將非聯(lián)合凹問題轉換為聯(lián)合凹問題進行分析。Wu等[25]同時考慮了參照價格效應與策略型消費者，文章指出，產(chǎn)品的最優(yōu)價格遵循均值回復過程。

為了幫助企業(yè)在定價和庫存管理的同時兼顧服務水平，本文研究考慮服務水平約束的動態(tài)定價與庫存管理問題。具體地，考慮一個企業(yè)在有限期內銷售某種產(chǎn)品，產(chǎn)品的需求為隨機需求，且期望需求依賴于產(chǎn)品價格。在每一期，企業(yè)需要同時決定產(chǎn)品價格與訂購量，且最優(yōu)決策應滿足服務水平約束。我們使用隨機動態(tài)規(guī)劃對問題進行建模，并證明該問題為凸優(yōu)化問題，從而保證最優(yōu)解的存在性。由于引入了服務水平約束，問題的模型變得更加復雜，使得問題的求解變得更為困難。為了有效地對問題進行求解，我們通過對最優(yōu)解的分析，對最優(yōu)解的結構進行了刻畫，并給出最優(yōu)策略，將原問題的求解轉化為若干子問題的求解，降低了求解難度。同時，我們證明了最優(yōu)產(chǎn)品價格隨著期初庫存的增大而減小，即list-price 策略在服務水平約束下仍然成立。進一步分析發(fā)現(xiàn)，企業(yè)的目標服務水平和期望利潤之間存在權衡。當企業(yè)追求更高的目標服務水平時，會遭受到利潤損失。數(shù)值模擬表明，當目標服務水平變大時，動態(tài)定價策略下的利潤損失小于傳統(tǒng)的靜態(tài)定價策略，從而驗證了動態(tài)定價策略的有效性。當企業(yè)的目標服務水平變大時，其最優(yōu)產(chǎn)品價格隨之提高，期望需求降低。這說明良好的服務質量允許企業(yè)制定更高的價格，與此同時，企業(yè)專注于服務高端客戶，目標客戶群減小。對于庫存方面，當目標服務水平變大時，企業(yè)的庫存水平和安全庫存均變大。這時，企業(yè)的庫存成本變大，這說明為了達到更好的服務水平，企業(yè)需要承擔更多的成本。

1 建立模型

考慮企業(yè)在T期內銷售某種產(chǎn)品，每一期的編號倒序排列t=T,T-1,…,1。在第t期期初，企業(yè)觀察到當期初始庫存It后同時決定補貨后庫存水平xt和產(chǎn)品價格pt，且產(chǎn)品價格和庫存水平應滿足服務水平約束。此時，企業(yè)的訂購量為xt-It，對應的訂購成本為ct(xt-It)，其中ct表示單位訂購成本。當企業(yè)完成定價與訂購決策后，補貨即時完成，接著隨機需求實現(xiàn)。當需求小于企業(yè)庫存水平時，剩余的庫存轉移到下一期，并產(chǎn)生相應的庫存成本；反之，缺貨情況出現(xiàn)，所有未滿足的需求延遲到下一期滿足，并產(chǎn)生相應的缺貨成本。令Ht(z)表示庫存成本與缺貨成本函數(shù)，當z>0時，Ht(z)代表庫存成本，z<0，則代表缺貨成本。本文假設Ht(z)為凸函數(shù)[15]。

在第t期，產(chǎn)品需求Dt的表達式為Dt=εtdt(pt)+ηt[26]。其中，dt(pt)為期望需求，是產(chǎn)品價格pt的嚴格單調遞減函數(shù)。εt和ηt為獨立隨機變量，其實現(xiàn)值為εt0和ηt0。隨機變量εt刻畫了和產(chǎn)品價格相關的市場隨機擾動，ηt刻畫了獨立于產(chǎn)品價格的市場隨機擾動。不失一般性，假設E(εt)=1,E(ηt)=0。 由于期望需求函數(shù)的嚴格單調性，價格可以表示為期望需求的函數(shù)pt(dt)。為了便于分析，本文接下來使用期望需求作為決策變量。當期望需求確定時，產(chǎn)品價格將隨之確定。

下面考慮服務水平約束。在每一期，企業(yè)的服務水平St應不小于給定的目標服務水平S0，即St≥S0。根據(jù)定義，服務水平St可以表示為

St={εtdt+ηt≤xt}

(1)

接下來定義決策的可行集，企業(yè)的決策應滿足初始庫存約束和服務水平約束，從而可行集Ωt可以表示為

Ωt={(xt,dt)|xt≥It,xt≥f(dt)}

(2)

其中，第一個約束表明補貨后庫存水平應不小于期初庫存水平，從而保證了訂購量的非負性。第二個約束為服務水平約束，可以看出，服務水平約束與兩個決策(xt,dt)都有關。

接下來，基于貝爾曼方程，給出企業(yè)的總期望折現(xiàn)利潤的表達式，其形式如下

(3)

Jt(xt,dt)=ptdt-ctxt-E[Ht(xt-εt0dt-ηt0)]+

βE[vt-1(It-1)]

(4)

It-1=xt-εt0dt-ηt0

(5)

v0(I0)=c0I0

(6)

這里，vt為動態(tài)規(guī)劃的價值函數(shù)，表示了企業(yè)的總期望折現(xiàn)利潤，Jt為目標函數(shù)。通過式(3)和式(4)可以看出，企業(yè)的總期望折現(xiàn)利潤由四部分組成。第一部分為本期銷售收入ptdt，第二部分為訂購成本ct(xt-It)，第三部分為庫存成本和缺貨成本，第四部分為未來收益到本期的折現(xiàn)βE(vt-1)，其中折現(xiàn)系數(shù)為β。 式(5)為狀態(tài)轉移方程，描述了企業(yè)的庫存變動?？梢钥闯觯髽I(yè)下一期的期初庫存，等于本期補貨后的庫存水平減去最終實現(xiàn)的需求。式(6)為邊界條件，當銷售期結束時，若存在剩余庫存，則以單價c0處理。若存在未滿足需求，則以單價c0訂貨并全部滿足。

2 最優(yōu)策略

從式(3)～(5)可以看出，該問題為一個狀態(tài)變量兩個決策變量的隨機動態(tài)規(guī)劃問題，并包含兩個約束，從而直接求解較為困難。為此，本文通過分析問題最優(yōu)解的結構，給出最優(yōu)策略，從而簡化計算。首先給出本文的假設。

假設1函數(shù)pt(dt)dt關于dt為凹函數(shù)。

假設2服務水平約束函數(shù)f(dt)關于dt單調遞增且為連續(xù)凸函數(shù)。

假設1表明企業(yè)收入pt(dt)dt關于期望需求dt邊際效益遞減，線性需求函數(shù)和指數(shù)型需求函數(shù)均滿足該假設。對于線性需求函數(shù)dt(pt)=at-pt，其反函數(shù)為pt(dt)=at-dt。對于指數(shù)型需求函數(shù)dt(pt)=ate-pt，其反函數(shù)為pt(dt)=lnat-lndt。假設2表明當期望需求dt增加時，為了滿足需求，企業(yè)需要提高庫存水平f(dt)，常見的正態(tài)分布滿足該假設?；谝陨霞僭O，可以得到如下結論。

引理1利潤函數(shù)vt(It)關于It是凹函數(shù)，目標函數(shù)Jt(xt,dt)關于xt和dt是聯(lián)合凹函數(shù)，可行集Ωt為凸集。

為了刻畫問題的最優(yōu)策略，引入下列子問題。首先給出子問題1，如下

maxJt(xt,dt)

(7)

接著給出子問題2，如下

(8)

最后給出子問題3，如下

(9)

基于上面的三個子問題，我們可以給出如下最優(yōu)策略。

定理1最優(yōu)決策可分為下列幾種情形:

定理1表明，問題的最優(yōu)解可分為四種情形。在求解時，首先求解子問題1，進而分情況討論。對于情形一，子問題1 的最優(yōu)解屬于原問題的可行集，則該解即原問題的最優(yōu)解。對于情形二，子問題1的最優(yōu)解滿足初始庫存約束，不滿足服務水平約束，則子問題2的最優(yōu)解為原問題的最優(yōu)解。對于情形三，子問題1的最優(yōu)解滿足服務水平約束，不滿足初始庫存約束，通過求解子問題3即可得到原問題的最優(yōu)解。對于情形四，當初始庫存約束與服務水平約束均不滿足時，需要比較子問題2和子問題3的最優(yōu)解，選取使得利潤函數(shù)更大的子問題最優(yōu)解作為原問題最優(yōu)解。

接下來，分析初始庫存對最優(yōu)價格的影響，首先給出一個引理。

引理2問題的可行集Ωt是一個格。

定理2表明，當期初庫存增加時，最優(yōu)產(chǎn)品價格減小，期望需求增大。這說明，企業(yè)面臨庫存積壓時，將選擇降價促銷，吸引更多的需求，以便于更好地處理積壓庫存。定理2說明，當考慮服務水平約束時，傳統(tǒng)的list-price策略仍然成立。

下面分析服務水平約束對企業(yè)利潤的影響，首先給出一個引理，揭示服務水平約束對庫存水平的影響。

基于引理3，可以證明如下結論。

定理3總期望折現(xiàn)利潤vt隨著目標服務水平s0的增加而減小。

從定理3可以看出，當企業(yè)追求更高的服務水平時會遭受利潤損失，這意味著企業(yè)無法同時追求利潤與服務水平，即企業(yè)的目標服務水平和期望利潤之間存在權衡。這是因為，當目標服務水平變大時，企業(yè)需要持有更多的庫存，從而庫存成本增加，利潤減少。因此，企業(yè)應制定合理的目標服務水平，防止由于追求過高的服務水平所帶來的不必要利潤損失。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)首先通過數(shù)值實驗進行敏感性分析，研究不同目標服務水平下企業(yè)最優(yōu)決策的變化。進而研究服務水平約束對企業(yè)利潤的影響，并將本文提出的動態(tài)定價策略與傳統(tǒng)的靜態(tài)定價策略進行對比。最后通過算例，對最優(yōu)策略給出直觀的幾何解釋。

3.1 敏感性分析

下面給出實驗的設定與參數(shù)。企業(yè)的銷售期T=5，期望需求函數(shù)為d=50-p，折現(xiàn)系數(shù)β=0.99。令庫存和缺貨成本函數(shù)為二次形式H(z)=h(z+)2+b(z-)2，h=1為庫存成本系數(shù)，b=2為缺貨成本系數(shù)。為了刻畫訂購成本的波動，令c=[15,10,15,15,10]表示訂購成本向量，邊界條件c0=10。隨機擾動項ε～N(1,0.1)，η～N(0,1)。當計算期望時，采用蒙特卡洛方法，產(chǎn)生5000組隨機實現(xiàn)值進行估計。

首先分析服務水平的變化對最優(yōu)價格與期望需求的影響，結果如圖1。

圖1 目標服務水平對最優(yōu)產(chǎn)品價格和期望需求的影響

圖1(a)給出了不同目標服務水平下的最優(yōu)價格，圖1(b)為對應的期望需求。從圖中可以看出，當目標服務水平變大時，最優(yōu)價格隨之提高。因此，當企業(yè)決定采用更高的目標服務水平，提供更優(yōu)質的服務時，企業(yè)會提高產(chǎn)品的定價，從而獲得更高的邊際收益。進一步，由于價格的提高，產(chǎn)品期望需求變小。這說明，當服務水平變高時，企業(yè)的目標客戶群變小，即更傾向于服務高價值客戶。綜上，當服務水平較高時，企業(yè)會使用聚焦戰(zhàn)略，縮小目標客戶群，從單個客戶獲取更高的邊際收益，同時提供更優(yōu)質的服務。

接下來分析目標服務水平對最優(yōu)庫存水平和安全庫存的影響，結果如圖2。安全庫存是企業(yè)為了應對需求不確定而準備的緩沖庫存，可以表示為庫存水平與期望需求的差，即Δt=xt-dt。

圖2 目標服務水平對最優(yōu)庫存水平和安全庫存的影響

從圖2可以看出，當目標服務水平變大時，企業(yè)的最優(yōu)庫存水平提高，安全庫存變大。當目標服務水平變大時，為了滿足服務水平約束，企業(yè)需要相應地增加安全庫存。隨著安全庫存的增大，企業(yè)的庫存成本變大，因此，追求高的服務水平將承受利潤損失。進一步，當目標服務水平變大時，企業(yè)的最優(yōu)庫存水平變大，即企業(yè)應持有更多的庫存。

3.2 利潤分析

下面分析服務水平約束對利潤的影響，計算結果如圖3所示。為了更好地量化引入動態(tài)定價對企業(yè)利潤的影響，定義絕對利潤差vδ=vd-vs，其中，vd代表動態(tài)定價策略下的期望利潤，vs代表靜態(tài)定價策略下的期望利潤。進一步，定義相對利潤差r=(vd-vs)/vs。

圖3(a)給出了不同服務水平約束下動態(tài)定價與靜態(tài)定價的期望利潤。從圖中可以看出，隨著目標服務水平的變大，企業(yè)的利潤隨之降低。這是因為，當目標服務水平變大時，企業(yè)需要持有更多的庫存，進而庫存成本變大，利潤降低。進一步可以看出，對于不同的服務水平約束，動態(tài)定價的期望利潤一致好于靜態(tài)定價。由圖3(b)可以看出，動態(tài)定價與靜態(tài)定價的利潤差隨著目標服務水平的變大而增大。圖3(c)給出了不同服務水平約束下的相對利潤差。從圖中可以看出，隨著服務水平約束的增大，相對利潤差也隨之增大。這個結論說明，當服務水平要求越高時，采用動態(tài)定價所帶來的收益越大。

圖3 目標服務水平對利潤的影響

圖4 期初庫存對利潤的影響

接下來分析期初庫存對期望利潤的影響。從圖4(a)可以看出，企業(yè)的利潤關于初始庫存為凹函數(shù)。隨著期初庫存的變大，企業(yè)的利潤先增大，再減小。這是因為，當期初庫存較小時，最優(yōu)庫存水平大于期初庫存，此時期初庫存的變化不影響最優(yōu)庫存水平和產(chǎn)品價格。因此，當期初庫存變大時，訂購成本減小，利潤增加。當期初庫存較大時，企業(yè)需要打折促銷來降低庫存，從而導致利潤損失。進一步，可以看出，對于不同的期初庫存，動態(tài)定價策略的期望利潤一致的高于靜態(tài)定價策略。圖4(b)(c)給出了不同期初庫存下的絕對利潤差與相對利潤差?？梢钥闯觯S著期初庫存的增大，利潤差首先緩慢減小，進而快速增大。這是因為，企業(yè)的邊際利潤隨著期初庫存遞減，且動態(tài)定價的利潤大于靜態(tài)定價利潤，從而隨著期初庫存的增加，動態(tài)定價的邊際利潤先于靜態(tài)定價的邊際利潤而減少，從而利潤差變小。當庫存水平進一步增大時，靜態(tài)定價的邊際利潤也開始減小，由于動態(tài)定價下企業(yè)可以更好的匹配庫存與需求，從而動態(tài)定價的邊際利潤減小幅度小于靜態(tài)定價，從而利潤差變大。這個結論說明，當期初庫存越大時，相較于靜態(tài)定價策略，動態(tài)定價策略可以獲得更好的表現(xiàn)。當采用動態(tài)定價策略時，企業(yè)可以根據(jù)當前的期初庫存水平動態(tài)調節(jié)產(chǎn)品的價格，從而更好地匹配供應和需求。采用動態(tài)定價策略給企業(yè)提供了更高的決策自由度，從而幫助企業(yè)更好地應對需求的波動，并獲得更大的利潤。

3.3 最優(yōu)策略幾何解釋

圖5 對最優(yōu)策略的幾何解釋。(T=3,h=0.1,b=3)

4 結論

本文研究存在服務水平約束的動態(tài)定價與庫存管理問題。在有限銷售期內，企業(yè)需要滿足隨機需求，且期望需求依賴于產(chǎn)品價格。在每一期期初，企業(yè)觀察到期初庫存水平，進而同時決定產(chǎn)品價格和補貨后庫存水平。本文應用隨機動態(tài)規(guī)劃對問題進行建模，給出了企業(yè)總期望折現(xiàn)利潤的表達式。進一步，證明了最優(yōu)解的存在性，并給出最優(yōu)策略。通過對最優(yōu)解的分析，我們證明了最優(yōu)價格隨著期初庫存的增大而減小，從而傳統(tǒng)的list-price策略在服務水平約束下依然成立。通過分析目標服務水平對企業(yè)利潤的影響，我們發(fā)現(xiàn)企業(yè)的服務水平與利潤之間存在權衡。當企業(yè)提高目標服務水平時，會承受利潤損失。從而，企業(yè)無法同時追求高的服務水平和利潤。

數(shù)值模擬表明，相對于靜態(tài)定價策略，動態(tài)定價策略可以降低追求目標服務水平所帶來的利潤損失。從而，通過引入動態(tài)定價策略，企業(yè)可以更好地兼顧服務水平與利潤。當企業(yè)采用高目標服務水平時，最優(yōu)產(chǎn)品價格變大，需求變小。此時，企業(yè)采用聚焦戰(zhàn)略，縮小目標客戶群，并將目標客戶群集中在高價值客戶上，從而賺取更高的邊際利潤。同時，當服務水平提高時，企業(yè)的庫存水平和安全庫存增加，從而成本增大，這意味著實現(xiàn)高的服務水平需要更高的成本。通過比較動態(tài)定價策略和靜態(tài)定價策略的利潤可以看出，對于不同的服務水平約束和期初庫存，動態(tài)定價策略的利潤一致高于靜態(tài)定價策略的利潤。進一步，當服務水平越高或期初庫存越大時，引入動態(tài)定價所帶來的利潤提升會越大。