一道高考題求解錯(cuò)誤的調(diào)查研究

賈麗紅

甘肅省蘭州市第二十七中學(xué) (730030) 陳鴻斌甘肅省蘭州市第五十二中學(xué) (730000)

筆者對(duì)一道2017年高考文科數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ第17題進(jìn)行了調(diào)查研究,驚訝的發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的7類求解錯(cuò)誤,同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的幾種巧妙解法.通過調(diào)查研究,反思我們高三復(fù)習(xí)以及高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的不足與缺陷,并提出一些改進(jìn)措施：重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展；注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透；用正確的方法糾錯(cuò)；培養(yǎng)良好的非智力因素.

1 問題的提出

研究高考題一直以來是一個(gè)熱門話題,一道好的高考題凝聚著專家們的智慧和心血,它可以反映出學(xué)生學(xué)習(xí)中的很多問題，而糾錯(cuò)、改錯(cuò)在高三復(fù)習(xí)中是非常重要的,讓學(xué)生在糾錯(cuò)、改錯(cuò)中不斷成長,逐步培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),同時(shí)啟發(fā)我們平時(shí)命題的針對(duì)性.

2 研究過程

2.1 調(diào)查對(duì)象

調(diào)查對(duì)象為甘肅省蘭州市市屬學(xué)校2019屆的163名在校高三文科學(xué)生.

2.2 調(diào)查方法

采用試卷調(diào)查法和訪談法.收集試卷150份,選擇其中25名學(xué)生進(jìn)行訪談.

3.研究結(jié)果與分析

3.1 試題呈現(xiàn)

題目(2017·文科全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.

本題的正確率很低,只有6%的同學(xué)完全解得答案,還有5%的學(xué)生干脆沒有解答,是由于本身基礎(chǔ)太弱,無從下手.可見,全國卷Ⅰ對(duì)于一直使用全國卷Ⅱ的甘肅考生來說,確實(shí)比較難.

3.2 誤區(qū)分析

經(jīng)過統(tǒng)計(jì),錯(cuò)誤類型調(diào)查結(jié)果如下表.

錯(cuò)誤類型錯(cuò)誤一錯(cuò)誤二錯(cuò)誤三錯(cuò)誤四錯(cuò)誤五錯(cuò)誤六錯(cuò)誤七百分比5%10%30%2%5%34%20%

由上表可見，學(xué)生對(duì)此問題的解答錯(cuò)誤率很高，對(duì)此我們分析求解錯(cuò)誤的原因.

錯(cuò)誤一:審題不清而致錯(cuò)

5%的學(xué)生審題不清,錯(cuò)誤的將等比數(shù)列看成了等差數(shù)列,暴露出這部分學(xué)生沒有養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣,粗枝大葉、心浮氣躁而不仔細(xì)審題.

錯(cuò)誤二:目標(biāo)不明確，不知求解哪些量

10%的學(xué)生不知道求等比數(shù)列通項(xiàng)公式,需要確定哪些量.暴露出這部分學(xué)生公式記憶不清晰,沒有理解等比數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1qn-1需要確定a1和q,也沒有內(nèi)化方程的思想.

錯(cuò)誤三:不會(huì)消元求解方程組

錯(cuò)誤四:分式約分錯(cuò)誤

2%的學(xué)生能夠想到除法消元,可是分式約分錯(cuò)誤,學(xué)生的錯(cuò)誤解答如下:

以上解答暴露出這部分學(xué)生不明白分式約分的法則,約去的是一個(gè)分子、分母的非零公因子,說明數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí).

錯(cuò)誤五:一元二次方程的根解錯(cuò)

錯(cuò)誤六:將(-2)n運(yùn)算成-2n而致錯(cuò)

有高達(dá)34%的學(xué)生犯了此類錯(cuò)誤,其中一部分同學(xué)是書寫習(xí)慣不好,沒有加括號(hào)的意識(shí);另一部分則是錯(cuò)誤地認(rèn)為(-2)n=-2n.暴露出的問題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度與習(xí)慣,還有不能區(qū)分(-2)n和-2n.

錯(cuò)誤七:不會(huì)化簡(-2)n+2+(-2)n+3

3%的學(xué)生對(duì)于(-2)n+2+(-2)n+3的化簡,與同底數(shù)冪的乘法法則混淆而化成了(-2)2n+5.暴露出此類學(xué)生運(yùn)算能力較弱,以及做題時(shí)復(fù)雜多變的心理.

3.3 問題分析

從學(xué)生的解答來看,做對(duì)的學(xué)生目標(biāo)明確,基本功扎實(shí),數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)好,解法多樣,簡潔有效.

q2+4q+4=0.解得q=-2,將q=-2代入a1+a1q=2,得a1=-2.所以an=(-2)n.

從解法三看出,這些學(xué)生對(duì)等比數(shù)列已經(jīng)熟練掌握,不但可以簡化表達(dá),而且還能熟練應(yīng)用等比中項(xiàng)解決問題.這些學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠自主探究和歸納總結(jié),具有良好的思維品質(zhì).以上三種解法都體現(xiàn)著方程的數(shù)學(xué)思想,核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是求得正解的支撐.

所以Sn-Sn+1=Sn+2-Sn.故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.

解法一、解法二主要是同底數(shù)加減法的運(yùn)算,須具備數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；解法三、解法四利用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推理,排除了(-2)n帶來的困擾,抓住問題的核心,進(jìn)而優(yōu)化了解題思路,須具備數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)才能實(shí)現(xiàn),同時(shí)體現(xiàn)了劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.尤其是解法四,從Sn+1,Sn,Sn+2之間的關(guān)系入手,使運(yùn)算更加簡潔、明了.

4.結(jié)論與建議

4.1 結(jié)論

通過調(diào)查筆者發(fā)現(xiàn),文科學(xué)生的求解錯(cuò)誤最多的是來自知識(shí)本身沒理解、數(shù)學(xué)運(yùn)算帶來的;其次是思維能力和審題不清等導(dǎo)致的錯(cuò)誤類型,對(duì)于文科生來說,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是有限的,而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項(xiàng)工程.相對(duì)而言,審題不清的致錯(cuò)原因很少,主要是因?yàn)楸绢}難度相對(duì)較大,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求很高所致,這也說明學(xué)生綜合解決問題的能力有限.

4.2 建議

(1)重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

高考以能力立意,全面考查體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的六大核心素養(yǎng),即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.而良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)則是需要經(jīng)過多次反復(fù),從實(shí)踐中鍛煉出來的.這樣通過發(fā)散思維訓(xùn)練,突破固定的思維模式,逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(2)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透

高中階段主要掌握七大數(shù)學(xué)思想方法,即函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、分類與整合的數(shù)學(xué)思想、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想、有限與無限的數(shù)學(xué)思想、或然與必然的數(shù)學(xué)思想,其中在高考中,函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)得最為突出．因此,在高三復(fù)習(xí)中要非常注重滲透數(shù)學(xué)思想方法,從而可以優(yōu)化解題思路,找到合理的突破口,減少求解錯(cuò)誤的發(fā)生.

(3)用正確的方法糾錯(cuò)

認(rèn)真分析求解錯(cuò)誤的成因,針對(duì)不同的錯(cuò)誤類型,進(jìn)行易錯(cuò)題歸類、總結(jié),以便于學(xué)生對(duì)知識(shí)的再認(rèn)識(shí).

(4)培養(yǎng)良好的非智力因素

有時(shí)候?qū)W生的許多解題錯(cuò)誤與非智力因素也是離不開的,應(yīng)在糾正不良的心理品質(zhì)上下功夫.如要求學(xué)生上課時(shí)要專心致志,注意力集中；要有克服困難的精神,不能知難而退；克服馬虎、粗心、不認(rèn)真檢查的毛?。徊⒔逃龑W(xué)生樹立學(xué)習(xí)的信心,有助于提高成績.