高考解析幾何等角問題的解題策略

王 茜

江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué) (225009)

對(duì)角的研究是高考解析幾何的熱點(diǎn)之一，等角問題涉及直線斜率、三角形相似、三角函數(shù)、解三角形及向量數(shù)量積等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，方法靈活多樣，因而學(xué)生對(duì)等角問題往往感到比較困難，無從下手.本文給出一些解決此類問題的常見策略.

1.利用斜率之和為0

圖1

(Ⅱ)當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°.

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圖形的特征，把要證兩角相等轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，再將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及斜率公式即可證得結(jié)論.用代數(shù)的方法處理幾何問題正是解析幾何的基本思想.

2.利用角平分線性質(zhì)

圖2

點(diǎn)評(píng)：綜合考慮題設(shè)中所給的顯性與隱性的幾何因素，破解兩漸近線在直角坐標(biāo)系中的位置特征，從幾何性質(zhì)入手，利用角平分線的性質(zhì)，使得解題思路簡明，事半功倍．

3.利用三角形相似

圖3

點(diǎn)評(píng)：解析幾何中，“代數(shù)”是方法、是手段，而“解析幾何的幾何性質(zhì)”才是本質(zhì)、更是其“靈魂”，更能深刻、直觀地揭示出解析幾何的本質(zhì)屬性.因此，在解題中，若能注重挖掘、靈活運(yùn)用解析幾何的幾何性質(zhì)，就可以避免繁雜的代數(shù)推理運(yùn)算，收到化繁為簡、直觀、簡潔的解題效果.

4.利用同名銳角三角函數(shù)相等

圖4

例4 (2015年高考福建卷文科19題)如圖4，已知點(diǎn)F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上，且|AF|=3．(Ⅰ)求拋物線E的方程；(Ⅱ)已知點(diǎn)G(-1,0)，延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

解：(Ⅰ)拋物線E的方程為y2=4x(過程略).

點(diǎn)評(píng)：挖掘題目條件中圖形的幾何特征和數(shù)量關(guān)系，不斷將問題轉(zhuǎn)化、簡化，并充分利用其幾何性質(zhì)，再借用三角函數(shù)知識(shí)，避免了繁瑣的代數(shù)計(jì)算，提高了解題效率．

5.利用向量數(shù)量積

圖5

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)角度的幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計(jì)算”出所要的結(jié)果.向量與解析幾何，兩者都是代數(shù)形式和幾何形式的統(tǒng)一體，有著異曲同工之妙.向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，在向量與解析幾何知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，已成為高考試題的一個(gè)特點(diǎn).

6.利用極坐標(biāo)

圖6

點(diǎn)評(píng)：在圓錐曲線中涉及長度的問題通常運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式或弦長公式，但是這兩種解法計(jì)算量都比較大，學(xué)生往往比較害怕．而極坐標(biāo)中的極徑與長度有關(guān)，若我們轉(zhuǎn)變思路，嘗試用極坐標(biāo)求解與長度有關(guān)的問題，則可避免直角坐標(biāo)系中的復(fù)雜計(jì)算，為我們解決問題帶來方便．極坐標(biāo)系是研究解析幾何的一種重要方法和有力工具．

以上幾種解題策略，分別從直線斜率、角平分線性質(zhì)、三角形相似、三角函數(shù)、向量數(shù)量積以及極坐標(biāo)角度對(duì)解析幾何等角問題進(jìn)行了全方位的、多層次的探求，體現(xiàn)的均是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要思想和方法．在解題中引導(dǎo)學(xué)生尋求變異、放開思路、充分想象、巧用直觀、探究多種解決方案或途徑，可以很好地拓展學(xué)生解題思路，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力，優(yōu)化學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．