一類五階色散波方程解的平均性質(zhì)

王宏偉,袁 偉,柴亞喃,韓校濤

(安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000)

0 引言

在研究具有弱橫向效應(yīng)的色散長(zhǎng)波傳播問題時(shí),Kadomtsev和Petviashvili[1]提出了如下的KP方程

它是KdV方程在2維空間中的推廣。如果研究的長(zhǎng)波具有高階色散項(xiàng),就得到如下一類五階色散波方程

u(x,y,0)=ψ(x,y)

(1)

方程(1)適定性問題的研究,得到了許多學(xué)者的關(guān)注,取得了豐富的成果[2-5]。本文將研究方程(1)的解具有的積分平均性質(zhì),得到的主要結(jié)論如下:

定理1如果ψ∈L1(R2)∩H2,0(R2),u(x,y,t)是方程(1)的一個(gè)廣義解并且u∈C([0,T];H2,0(R2)),那么對(duì)任意的t∈(0,T],y∈R在廣義Riemann 積分的意義下,有

(2)

1 線性方程

首先考慮方程(1)對(duì)應(yīng)的線性方程

u(x,y,0)=ψ(x,y)

(3)

它的解u(x,y,t)可以表示為

u(x,y,t)=S(t)ψ=G(x,y,t)*ψ,

G(x,y,t)=F-1(eit(ξ5+ξ3+η2/ξ))

下面我們證明線性方程的解具有積分平均性質(zhì)。

(4)

即,線性方程(3)的解u(x,y,t)滿足如下的積分平均性質(zhì)

證明:做變量替換η'=ηt1/2/|ξ|1/2,得到

G(x,y,t)

定義

下面證明，固定t>0,則H(λ)是連續(xù)的。當(dāng)λ>9t/20時(shí),相函數(shù)φ(ξ)=i(tξ5+tξ3+λ)沒有駐點(diǎn)。當(dāng)λ≤9t/20時(shí),相函數(shù)最多有兩個(gè)駐點(diǎn)ξ1,ξ2(ξ1<ξ2)。這里僅考慮最差的有兩個(gè)駐點(diǎn)的情況。對(duì)充分小的ε>0,記

+I2(λ)+I3(λ)

易知I2(λ)是一個(gè)連續(xù)函數(shù),又

故I3(λ)也是連續(xù)函數(shù)。同理,I1(λ)是連續(xù)函數(shù)。這說明G(x,y,t)是eit(ξ5+ξ3+η2/ξ)的傅里葉逆變換。

M(x,y,t)

令

下面證明N(λ)是連續(xù)函數(shù),并且當(dāng)|λ|→∞時(shí),N(λ)→0

將N(λ)改寫為

因?yàn)閨ξ|-1/2在零附近是可積的,根據(jù)Riemann-Lebesgue定理知,N1(λ)是連續(xù)的,且

下面分兩種情況討論N2(λ)

情形1λ>9t/20

利用分部積分,有

第一項(xiàng)是連續(xù)函數(shù),并且當(dāng)λ→∞時(shí)極限為零.注意到

再根據(jù)控制收斂定理知N2(λ)是連續(xù)的,另一方面,當(dāng)λ≥1時(shí),有

故當(dāng)λ→∞時(shí),N2(λ)→0

情形2λ≤9t/20

在由N2(λ)定義的積分中,僅考慮積分區(qū)間為[1,+∞]的情況,(-∞,-1]的情況同理可得。此時(shí),相函數(shù)φ(ξ)=i(tξ5+tξ3+λ)至多有一個(gè)駐點(diǎn)ξ0。此時(shí),取充分小的正數(shù)δ,并記

+I2(λ)+I3(λ)

最后,易知在廣義函數(shù)意義下?xM=G。因?yàn)镸和G都是連續(xù)的,M關(guān)于變量x的古典導(dǎo)數(shù)就是G，定理得到證明。

2 非線性方程

利用線性問題的方法,并適當(dāng)加強(qiáng)初值條件,就能證明本文的主要結(jié)論。

定理1的證明。根據(jù)Duhamel公式,方程(1)等價(jià)于下列積分方程

其中

使用定理2中的記號(hào),有

M(x-x',y-y',t-s)

令

則利用Lebesgue微分定理,有

由于L在[0,t]上關(guān)于變量s是可積的,由Lebesgue定理知：

是一個(gè)C1函數(shù),并且

最后來證明(2)。根據(jù)線性問題的證明知,固定s,x',y',當(dāng)|x|→∞時(shí),上式積分號(hào)中的函數(shù)趨于0.另一方面,由于

|M(x-x',y-y',t-s)(uux)(x',y',s)|

根據(jù)u∈C([0,T];H2,0(R2)),上式右端關(guān)于變量s,x',y'可積并且不依賴于x.由控制收斂定理知(2)成立.定理得到證明。