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    2017-05-16 14:34:23林發(fā)輝
    關(guān)鍵詞:應(yīng)用題

    林發(fā)輝

    [摘 要] 行程問題的基本量為路程、速度、時(shí)間,三者的關(guān)系為:路程=速度×?xí)r間(s=vt),行程問題除了路程關(guān)系,還有關(guān)于時(shí)間的描述(時(shí)間關(guān)系)和速度關(guān)系. 解復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí),設(shè)未知數(shù),列方程都需要根據(jù)相等關(guān)系進(jìn)行.

    [關(guān)鍵詞] 相遇問題;追及問題;相等關(guān)系;應(yīng)用題;行程問題

    內(nèi)容綜述

    行程問題是應(yīng)用題中較重要的題型之一,也是較難的題型之一,很多學(xué)生對(duì)應(yīng)用題有畏難情緒,就是從學(xué)行程問題開始的. 究其原因,第一,行程問題涉及的變化較多,有的涉及一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng),有的涉及兩個(gè)甚至多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng). 涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的,又有“相向運(yùn)動(dòng)”(相遇問題)、“同向運(yùn)動(dòng)”(追及問題)和“相背運(yùn)動(dòng)”(相離問題)三種. 第二,行程問題需要學(xué)生敏銳發(fā)覺多個(gè)量之間的關(guān)系,如時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系、路程關(guān)系及時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系. 第三,行程問題需要學(xué)生熟練運(yùn)用一些綜合方法解決問題,如方程思想、函數(shù)思想、不等式等. 本文主要討論行程問題之相遇問題和追及問題.

    教學(xué)內(nèi)容再現(xiàn)

    例1 甲、乙兩站相距1080千米,一列快車從甲站開出,每小時(shí)行駛72千米,一列慢車從乙站開出,每小時(shí)行駛48千米,兩車相向而行,幾小時(shí)后相遇?

    分析 畫路程圖找路程關(guān)系,快車的路程+慢車的路程=總路程(如圖1).

    解答 設(shè)兩車相向而行,x小時(shí)后相遇,則有72x+48x=1080,解得x=9. 所以兩車相向而行,9小時(shí)后相遇.

    變式1 甲、乙兩站相距1080千米,一列快車從甲站開出,每小時(shí)行駛72千米,一列慢車從乙站開出,每小時(shí)行駛48千米,兩車相向而行,若快車先開1小時(shí),則慢車開出多少小時(shí)后與快車相遇?

    分析 畫路程圖找路程關(guān)系,快車的路程+慢車的路程=總路程(如圖2).

    解答 設(shè)慢車開出x小時(shí)后與快車相遇,則有72(x+1)+48x=1080,解得x=8.4. 所以慢車開出8.4小時(shí)后與快車相遇.

    變式2 甲、乙兩站相距1080千米,一列快車從甲站開出,每小時(shí)行駛72千米,一列慢車從乙站開出,每小時(shí)行駛48千米,兩車相向而行,若慢車先開2小時(shí),則慢車開出多少小時(shí)后與快車相遇?

    分析 畫路程圖找路程關(guān)系,快車的路程+慢車的路程=總路程(如圖3).

    解答 設(shè)慢車開出x小時(shí)后與快車相遇,則72(x-2)+48x=1080,解得x=10.2. 所以慢車開出10.2小時(shí)后與快車相遇.

    變式3 甲、乙兩站相距1080千米,一列快車從甲站開出,每小時(shí)行駛72千米,一列慢車從乙站開出,每小時(shí)行駛48千米,兩車相向而行,若兩車同時(shí)開出,則開出多少小時(shí)兩車相距120千米?

    分析 (1)相遇前:畫路程圖找路程關(guān)系,快車的路程+慢車的路程+120=總路程(如圖4).

    (2)相遇后:畫路程圖找路程關(guān)系,快車的路程+慢車的路程-120=總路程(如圖5).

    解答 (1)設(shè)兩車同時(shí)開出,開出x小時(shí)后兩車還相距120千米才相遇,則有72x+48x+120=1080,解得x=8.

    (2)設(shè)兩車同時(shí)開出,開出x小時(shí)后兩車背向相距120千米,則有72x+48x-120=1080,解得x=10.

    綜上所述,兩車同時(shí)開出8小時(shí)或10小時(shí),兩車相距120千米.

    例2 A,B兩地相距480千米,一列慢車從A開出,每小時(shí)行駛50千米,一列快車從B開出,每小時(shí)行駛90千米.兩車同時(shí)開出,若同向而行,快車在慢車后面,幾小時(shí)后快車追上慢車?

    分析 畫路程圖找路程關(guān)系:快車走的路程=慢車走的路程+480(如圖6).

    解答 設(shè)兩車同時(shí)開出,若同向而行,快車在慢車后面,x小時(shí)后快車追上慢車. 可得90x=50x+480,解得x=12. 所以兩車同時(shí)開出,若同向而行,快車在慢車后面,12小時(shí)后快車追上慢車.

    一點(diǎn)見解

    利用行程圖找路程關(guān)系,這種方法是極好的. 因?yàn)閳D形直觀、形象,它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說:“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛?數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休. 切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離. ” 行程問題除了路程關(guān)系,還有關(guān)于時(shí)間的描述(時(shí)間關(guān)系)和速度關(guān)系. 教者似乎覺得時(shí)間和速度關(guān)系太簡(jiǎn)單了,因此忽略了對(duì)它們的分析. 然而,筆者認(rèn)為它們一樣重要. 關(guān)于時(shí)間的描述,描述的是運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)間關(guān)系,這種關(guān)系常用在設(shè)未知數(shù)上.

    關(guān)于時(shí)間的描述有:同時(shí)(即兩運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)間相等)、先出發(fā)(即先出發(fā)的物體時(shí)間多)、晚出發(fā)(即晚出發(fā)的物體時(shí)間少)、遲到或晚點(diǎn)(即遲到或晚點(diǎn)的物體時(shí)間多)、早到(即早到的物體時(shí)間少)、停留或耽擱(即停留或耽擱的物體時(shí)間少)等.

    筆者試舉一例說明此類教法.

    例3 甲、乙兩人相距40千米,甲先出發(fā)1.5小時(shí)后乙再出發(fā),甲在后乙在前,二人同向而行,甲的速度是每小時(shí)8千米,乙每小時(shí)比甲少走2千米,甲出發(fā)幾小時(shí)后追上乙?

    分析 畫行程圖找路程關(guān)系(如圖7).

    路程關(guān)系:由圖及題意得甲走的路程比乙走的路程多40千米,即甲的路程=乙的路程+40.

    時(shí)間關(guān)系:由“甲先出發(fā)1.5小時(shí)”可知甲多用了1.5小時(shí),即甲的時(shí)間=乙的時(shí)間+1.5.

    速度關(guān)系:由“甲的速度是每小時(shí)8千米,乙每小時(shí)比甲少走2千米”得甲的速度是每小時(shí)8千米,乙的速度是每小時(shí)6千米.

    由時(shí)間關(guān)系間接設(shè)未知數(shù)(當(dāng)然,直接設(shè)未知數(shù)也不難,只需把時(shí)間關(guān)系稍微變形):設(shè)乙出發(fā)x小時(shí)被追上,則甲的總時(shí)間為(x+1.5)小時(shí). 可得8(x+1.5)=6x+40,解得x=14. 14+1.5=15.5(小時(shí)). 所以甲出發(fā)15.5小時(shí)后追上乙.

    筆者以為,解復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí),設(shè)未知數(shù)、列方程都需要根據(jù)相等關(guān)系進(jìn)行. 不能在未進(jìn)行分析的情況下“問什么就設(shè)什么為未知數(shù)”,應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況決定是否要間接設(shè)未知數(shù).

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