借助轉(zhuǎn)化思想探究一道幾何壓軸題

齊欣

摘要：本文通過(guò)對(duì)2016年大慶中考數(shù)學(xué)一模試卷上的一個(gè)填空題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)圖中隱含著基本圖形，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圖形中線段、角之間還可能存在一定的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：幾何綜合題;思路探究;轉(zhuǎn)化思想

一道數(shù)學(xué)試題凝結(jié)了命題者的智慧，具有典型性、示范性，引導(dǎo)性.本文結(jié)合一道中考模擬題的思路探究，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題是如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)加以解決的，萬(wàn)變不離其宗，體會(huì)知識(shí)轉(zhuǎn)化才是一切轉(zhuǎn)化思想與方法的本源.九年級(jí)下中考復(fù)習(xí)時(shí)，2016年大慶中考數(shù)學(xué)一模試卷上的一道求線段長(zhǎng)度填空壓軸題難倒了一大批學(xué)生和教師.筆者研究發(fā)現(xiàn)，借助轉(zhuǎn)化思想，抓住基本圖形，從導(dǎo)角人手，是這類問(wèn)題的重要突破口.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，等腰△ABC中，AB =AC，tan∠B=3/4，BC= 30，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，射線DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E.將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B），射線AB分別交射線DA、DE于點(diǎn)M、N，且DM=DN.

（1）求證：∠ACB =2∠ACH;

（2）求線段DM的長(zhǎng).

2 思路分析

對(duì)于第（1）問(wèn)，作B'K上HN，垂足為點(diǎn)K，則BK//AC.設(shè)CB交DM于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CA交DN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（如圖2），借助平行線轉(zhuǎn)移角，容易得到∠ACH= ∠HBK因此，只需證BN=BH，即證∠BHN=∠BNH.而由已知DM= DN，得∠B'NH= ∠DMN，因此只需證∠B'HN=∠DMN.因?yàn)椤螧'HN是△FHC的外角，∠DMN是△BMG的外角，且∠A'B'C=∠ACB，所以轉(zhuǎn)化為證∠DGC=∠CFE.由AB =AC，AD為中線，根據(jù)“三線合一”，可知∠GDC=90°，從而∠DGC+ ∠BCG= 90°.又∠CFE+∠ACF= 90°，從而只需證∠ACF=∠BCG，只需證∠ACB=∠ACB.結(jié)合旋轉(zhuǎn)這一條件，這是顯然的.

有了第（1）問(wèn)的鋪墊，對(duì)于第（2）問(wèn)的思路探求，就柳暗花明，水到渠成了.如圖3，作∠ACB的角平分線CP，交DE于點(diǎn)P，作PQ⊥BC，垂足為點(diǎn)Q.則由（1）知，∠DCP=∠PCE=∠ECH，PQ= PE= EH.而AD =15×3/4=45/4，DE=9，PQ： DP =4：5，所以EH=PE= PQ =4，DP =5，DQ =3，QC=12，HC= PC =4√10.

3 解后反思

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，注重識(shí)圖、推理、運(yùn)算等能力的考查，原題解答如下：

如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥A'M于點(diǎn)H交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥AD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥MA于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作KL⊥CE于點(diǎn)L，KJ⊥DN于點(diǎn)J

對(duì)于原題的解法，主要是作5條垂線進(jìn)行轉(zhuǎn)化.怎么想到要添加這些輔助線？這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，而這種解法運(yùn)算繁雜也是一個(gè)難點(diǎn).本文通過(guò)增設(shè)第（1）問(wèn)，搭建腳手架，進(jìn)而“運(yùn)用所證的結(jié)論，問(wèn)題迎刃而解[1]”.借助轉(zhuǎn)化思想，達(dá)到了節(jié)省時(shí)間，化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的，可謂一舉多得，事半功倍.

本文的轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在通過(guò)對(duì)問(wèn)題層層深入地分析，不斷轉(zhuǎn)換視角，揭示基本圖形、隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，為尋找解題突破口找到方向，使解法更加自然，更具有一般性.

進(jìn)一步，在習(xí)題課教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，還要善于啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)借助數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想有效探尋解題的突破口[2]，讓學(xué)生通過(guò)比較不同解法和不同思路的優(yōu)缺點(diǎn)，在愉悅的學(xué)習(xí)氛圍中獲取知識(shí);在循序漸進(jìn)的、民主、平等、自由合作的探究過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想，掌握一般方法.

參考文獻(xiàn)：

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[2]孫道斌.加強(qiáng)習(xí)題課的設(shè)計(jì)有效提升教學(xué)效率——以“§4.3探索三角形全等的條件”習(xí)題課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（02）：27 -29.