聚合物驅(qū)的機(jī)會(huì)約束規(guī)劃最優(yōu)控制

雷 陽(yáng)

(福建警察學(xué)院， 福建 福州 350007)

0 引 言

聚合物驅(qū)是指向油藏地層中注入聚合物水溶液，從而達(dá)到提高原油采收率的目的。由于聚合物的成本很高，為了獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，必須確定合理的聚合物注入策略。國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有學(xué)者利用最優(yōu)控制理論或混合遺傳算法研究石油開采中的最優(yōu)注采方案問題，但求解過程中需要推導(dǎo)伴隨方程等條件，計(jì)算量大并且推導(dǎo)過程復(fù)雜[1-3]。雷陽(yáng)、張曉東等[4-5]應(yīng)用混合遺傳算法、控制向量參數(shù)化等方法對(duì)聚合物驅(qū)注采優(yōu)化問題進(jìn)行求解，得到了較好的效果。由于以上方法在求解中均假設(shè)油藏地質(zhì)參數(shù)是確定的，而實(shí)際上，油氣儲(chǔ)層是非均質(zhì)的，地質(zhì)參數(shù)如油藏滲透率、孔隙度等都具有不確定性，油藏地質(zhì)參數(shù)的不確定性會(huì)對(duì)聚合物驅(qū)開發(fā)帶來一定的風(fēng)險(xiǎn)。

針對(duì)油藏地質(zhì)參數(shù)的不確定性問題，文中基于機(jī)會(huì)約束規(guī)劃方法建立了帶有不確定參數(shù)的聚合物驅(qū)最優(yōu)控制模型，提出了求解該模型的隨機(jī)模擬遺傳算法。為聚合物驅(qū)開發(fā)方案的制定提供了新的決策支持依據(jù)。

1 機(jī)會(huì)約束規(guī)劃

機(jī)會(huì)約束規(guī)劃可有效解決帶有不確定性因素的隨機(jī)優(yōu)化問題，最早由Charnes等[6]提出。機(jī)會(huì)約束規(guī)劃將帶有不確定性因素的隨機(jī)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為某一置信水平下的確定性優(yōu)化問題，最優(yōu)決策滿足約束條件的概率不小于該置信水平。對(duì)于復(fù)雜的機(jī)會(huì)約束條件，可引入Monte Carlo隨機(jī)模擬技術(shù)進(jìn)行處理[7]。

機(jī)會(huì)約束規(guī)劃問題可描述為：

(1)

x----n維決策向量；

ξ----隨機(jī)向量；

Pr{·}----{·}中事件成立的概率；

αj、βi----分別為給定的置信水平；

fi(x,ξ)----在保證置信水平至少為βi時(shí)取得的最大值[8-9]。

式(1)中，若m=1，則表示單目標(biāo)機(jī)會(huì)約束規(guī)劃。

2 聚合物驅(qū)最優(yōu)控制模型

2.1 聚合物驅(qū)滲流物理方程

聚合物驅(qū)的滲流物理方程由油、水兩相滲流方程和溶質(zhì)組分的對(duì)流擴(kuò)散吸附方程聯(lián)立獲得，描述水、油兩相通過一維多孔介質(zhì)的流動(dòng)特征，方程中假設(shè)兩種流體是不可壓縮流體。以獲取最大收益為目標(biāo)，要求得聚合物的最優(yōu)注入濃度，該最優(yōu)控制問題可以表示為以下模型：

(2)

式中：Sw----含水飽和度；

fw----流體中水相流量分?jǐn)?shù)；

t----注入流體占巖心孔隙體積的倍數(shù)(PV)；

z----無因次長(zhǎng)度坐標(biāo),z∈[0,1]；

C----巖心中聚合物的質(zhì)量濃度；

M、N----均為吸附參數(shù)，常數(shù)；

γ----常數(shù)；

φ----巖石孔隙度，由于儲(chǔ)層的非均質(zhì)性，其參數(shù)值具有不確定性，可以通過對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析確定其數(shù)值的近似分布規(guī)律；

Pe----Peclet數(shù)，其值與φ有關(guān)；

u----注入聚合物的質(zhì)量濃度，即施加在邊界上的控制量；

J----性能指標(biāo)，產(chǎn)油收益減去聚合物成本，其中

(3)

式中：g----聚合物驅(qū)用量。

J和g都經(jīng)過無因次化處理。

模型初始條件和邊界條件分別為：

(4)

式中：Sor0----已知初始?xì)堄嘤惋柡投龋?/p>

Sor----殘余油飽和度。

在聚合物驅(qū)的注入過程中，通常采用分段注入的方式，注入濃度可以表示為如下的分段函數(shù)形式：

(5)

式中：P----段塞數(shù)；

ui----各段塞的注入濃度，即所要求解確定的控制量。

求解模型還需要水相流量分?jǐn)?shù)、相對(duì)滲透率、聚合物溶液粘度等參數(shù)。

水相流量分?jǐn)?shù)：

(6)

式中：kro、krw----分別為油相和水相相對(duì)滲透率；

μo、μw----分別為油相和水相粘度。

相對(duì)滲透率：

(7)

(8)

聚合物溶液粘度

μw=μw0(1+ap1C+ap2C2+ap3C3)

(9)

式中：μw----純水的粘度，mPa·s；

ap1,ap2,ap3----粘度系數(shù)。

2.2 不確定參數(shù)下的聚合物驅(qū)最優(yōu)控制模型

在不確定的環(huán)境下做出的開發(fā)決策自然會(huì)有一定的風(fēng)險(xiǎn)，其結(jié)果是達(dá)不到預(yù)期開發(fā)效果或收益損失可能增加，因而需要對(duì)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行規(guī)避，制定兼顧收益和風(fēng)險(xiǎn)的聚合物驅(qū)開發(fā)策略。記ξ為隨機(jī)參數(shù)向量，表示模型中具有隨機(jī)特性的不確定參數(shù)；u為控制量，即注入聚合物的濃度；考慮聚合物的用量約束，從而帶有機(jī)會(huì)約束的不確定參數(shù)下聚合物驅(qū)注入策略優(yōu)化模型可描述為：

(10)

式中：g0----聚合物的最大用量；

β----置信水平；

umin，umax----分別為每個(gè)段塞聚合物注入的最小、最大濃度；

式(10)以在一定概率下可能實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)收益最大化為優(yōu)化目標(biāo)，通過優(yōu)化計(jì)算求得最優(yōu)聚合物注入策略。式(10)中的隨機(jī)約束條件等價(jià)于：

(11)

由于聚合物驅(qū)最優(yōu)控制模型的支配方程由偏微分方程組描述，轉(zhuǎn)化為確定性問題極為復(fù)雜，因此提出一種基于隨機(jī)模擬的遺傳算法進(jìn)行求解。

3 隨機(jī)模擬的遺傳算法求解步驟

3.1 隨機(jī)模擬

1)從概率分布Φ(ξ)中產(chǎn)生N個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)向量{ξ1,ξ2,…,ξN}；

2)計(jì)算Ji=J(u,ξ),i=1,2,…,N；

3)對(duì)βN取整，即N′=[βN]；

3.2 遺傳算法求解步驟

遺傳算法是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索的全局智能優(yōu)化方法[10]，為解決復(fù)雜機(jī)會(huì)約束規(guī)劃問題提供了有效途徑。對(duì)于計(jì)算過程中可能產(chǎn)生不可行解，文中將懲罰函數(shù)引入到目標(biāo)函數(shù)中，不可行解存活的概率大大降低[11]。

針對(duì)不確定參數(shù)下聚合物驅(qū)注入策略優(yōu)化問題，利用基于隨機(jī)模擬的遺傳算法的求解步驟為：

1)給定初始置信水平β；

2)初始化種群規(guī)模NP、最大循環(huán)次數(shù)NG、交叉概率Pc和變異概率Pm；

3)隨機(jī)產(chǎn)生NP組初始控制量u；

5)對(duì)控制量u進(jìn)行交叉和變異操作；

6)采用輪盤賭法正比選擇控制量u；

7)是否達(dá)到最大循環(huán)次數(shù)，未達(dá)到則返回4)；

4 不確定參數(shù)下的優(yōu)化模型求解

以聚合物驅(qū)五段塞注入方式(P=5)對(duì)注入方案進(jìn)行優(yōu)化求解。設(shè)t0=0，tf=2，時(shí)間節(jié)點(diǎn)t=[0.05,0.1,0.2,0.3,0.4]，各段塞注入濃度為常數(shù)，設(shè)u=[u1,u2,u3,u4,u5]，且umin=0，umax=2.5，其他參數(shù)取值見表1。

記ξ=φ，設(shè)巖石孔隙度服從正態(tài)分布，即φ～N(μ,σ2)，φ∈[0,1]，其均值μ=0.5，方差σ2=0.152。設(shè)定置信水平β=0.8，聚合物最大用量g0=0.6，采用基于隨機(jī)模擬的遺傳算法進(jìn)行求解。設(shè)定隨機(jī)模擬次數(shù)N=400，種群規(guī)模為NP=10，交叉概率Pc=0.8，變異概率Pm=0.1，經(jīng)過NG=10次循環(huán)得到最優(yōu)結(jié)果為：

u=[1.528 4，2.405 0，2.295 0，0.250 0，1.156 7]

經(jīng)驗(yàn)證，在最優(yōu)控制量u時(shí)，不確定參數(shù)下的性能指標(biāo)J滿足概率約束，即

Pr{J(u,φ)≥0.239 9}≈0.8

所得到的最優(yōu)解滿足機(jī)會(huì)約束條件。

表1 求解聚合物驅(qū)模型所需參數(shù)

保持其他參數(shù)不變，分別取不同的置信水平β，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 不同置信水平β下的最優(yōu)性能指標(biāo)

圖1 不同風(fēng)險(xiǎn)下的目標(biāo)收益曲線

結(jié)果表明，在不確定參數(shù)下，決策者所能承受的實(shí)際收益小于目標(biāo)收益的概率(1-β)越大，則風(fēng)險(xiǎn)越大，獲得的收益也越大，即高風(fēng)險(xiǎn)則高收益。

5 結(jié) 語(yǔ)

建立了不確定參數(shù)下的聚合物驅(qū)注入策略優(yōu)化模型，采用機(jī)會(huì)約束規(guī)劃方法進(jìn)行求解，為聚合物驅(qū)開發(fā)評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)提供了一條新途徑。在不同的置信水平下,可獲得的最大收益情況不同，置信水平越低，風(fēng)險(xiǎn)越大，則可獲得的最優(yōu)收益也越大。

文中所建立的具有不確定參數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)-收益模型仍假設(shè)原油價(jià)格不變，而實(shí)際上原油價(jià)格是不斷變化的，下一步工作將對(duì)原油價(jià)格進(jìn)行合理預(yù)測(cè)，并考慮更多的不確定因素，使模型能夠更符合實(shí)際。