基于光場(chǎng)一階關(guān)聯(lián)的時(shí)域成像*

張瑞雪 李洪國(guó) 李宗國(guó)

(天津理工大學(xué)理學(xué)院,天津 300384)

1 引 言

鬼成像,又稱(chēng)關(guān)聯(lián)成像,是一種基于光的漲落關(guān)聯(lián)獲得物體圖像的新型成像技術(shù).具有漲落關(guān)聯(lián)性質(zhì)的光源發(fā)出的光被分束器分成兩路,在一條光路(物光路)中,透過(guò)物體的光被一個(gè)不具有空間分辨的桶探測(cè)器接收,在另一條光路(參考光路)中光經(jīng)過(guò)一段自由傳播后直接被一個(gè)具有空間分辨的探測(cè)器接收,其中單個(gè)探測(cè)器都不能夠得到物體的像,但是對(duì)兩個(gè)探測(cè)器接收到的信號(hào)進(jìn)行關(guān)聯(lián)測(cè)量卻可重建物體的圖像信息[1].國(guó)內(nèi)外關(guān)于鬼成像的研究逐步走向應(yīng)用,從最初的糾纏光源[2]到熱光源[3-12]、空間光調(diào)制器或投影儀調(diào)制光源[13],從雙臂鬼成像到單臂鬼成像、計(jì)算鬼成像[14,15],從室內(nèi)近距離成像到室外遠(yuǎn)距離遙感成像應(yīng)用[16-18]、從光子鬼成像到電子鬼成像[19].另外在鬼成像的應(yīng)用方面還有關(guān)于鬼成像質(zhì)量影響因素的相關(guān)研究,如大氣湍流對(duì)成像的影響[20,21]、高階關(guān)聯(lián)鬼成像的可見(jiàn)度及信噪比[22,23]、多波長(zhǎng)光源對(duì)信噪比的影響[24]、基于光學(xué)參量放大的鬼成像[25]、壓縮感知鬼成像[26,27]、計(jì)算鬼成像質(zhì)量的優(yōu)化[28]等.最近,Cao等[29]研究了基于熱光源的分?jǐn)?shù)階鬼成像,Yang等[30]首次從概率密度角度理論解釋了熱光的鬼成像,并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.利用空域中光的近軸衍射和時(shí)域中脈沖信號(hào)在色散介質(zhì)中色散之間的空間-時(shí)間二象性,很多空域系統(tǒng)的時(shí)域?qū)?yīng)因此得到了快速發(fā)展,比如超快光信號(hào)處理[31]、超快示波器[32,33]、時(shí)域隱身[34]等.

最近,Ryczkowski等[35]實(shí)現(xiàn)了基于二階關(guān)聯(lián)的時(shí)域鬼成像[36-38],為利用關(guān)聯(lián)方法進(jìn)行時(shí)域信號(hào)的探測(cè)開(kāi)辟了新方向.此前Gao等[39]基于物理上描述鬼成像的強(qiáng)度關(guān)聯(lián)(二階場(chǎng)關(guān)聯(lián))函數(shù)可以分解為一階場(chǎng)關(guān)聯(lián),提出并實(shí)現(xiàn)了基于熱光場(chǎng)一階關(guān)聯(lián)的空域關(guān)聯(lián)成像.而目前關(guān)于一階關(guān)聯(lián)的時(shí)域成像還沒(méi)有相關(guān)研究,本文基于空間-時(shí)間二象性,設(shè)計(jì)并研究基于熱光場(chǎng)一階關(guān)聯(lián)的時(shí)域成像,促進(jìn)利用光場(chǎng)關(guān)聯(lián)實(shí)現(xiàn)時(shí)域信號(hào)探測(cè)的應(yīng)用.這種成像模式采用 Mach-Zehnder干涉儀通過(guò)物光場(chǎng)和參考光場(chǎng)的關(guān)聯(lián)獲得物體的圖像信息,裝置類(lèi)似于基于一階場(chǎng)關(guān)聯(lián)的全息成像[39],但區(qū)別在于一階關(guān)聯(lián)全息成像中是記錄物體的干涉條紋,然后通過(guò)再現(xiàn)獲得物體的圖像.另外這種成像模式與基于一階場(chǎng)關(guān)聯(lián)的光學(xué)相干層析(OCT)成像的相同點(diǎn)是都利用了低相干光源的時(shí)間相干性,但區(qū)別在于OCT成像裝置是基于邁克耳孫干涉儀[40].本文第2部分給出實(shí)現(xiàn)一階關(guān)聯(lián)時(shí)域成像的裝置圖并進(jìn)行理論分析研究,第3部分給出基于一階關(guān)聯(lián)實(shí)現(xiàn)時(shí)域物體成像的結(jié)果,并分析光源的脈沖寬度和相干時(shí)間對(duì)成像可見(jiàn)度和分辨率的影響,最后進(jìn)行總結(jié).

2 理論分析

2.1 時(shí)域脈沖響應(yīng)函數(shù)

為了便于后面得到描述一階時(shí)域成像的關(guān)聯(lián)函數(shù),首先分析給出時(shí)域脈沖響應(yīng)函數(shù).在空域中,描述近軸光場(chǎng)衍射的波方程為

該波方程的通解形式上可寫(xiě)為

其中E(x0,y0,0)和E(x,y,z)分別表示位置(x,y,z)和初始位置 (x0,y0,0)處的光場(chǎng),h(x,y;x0,y0)是描述光學(xué)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù),其表達(dá)式為

上面的解也可以通過(guò)菲涅耳衍射理論得到.這表明近軸波方程與菲涅耳衍射理論存在內(nèi)在聯(lián)系.相應(yīng)地,在一階色散近似條件下[41],描述窄帶光脈沖在色散介質(zhì)中色散的微分方程為

其中E表示與在色散介質(zhì)中傳播的時(shí)間τ和距離l有關(guān)的光場(chǎng)分布,β是光在色散介質(zhì)中的群速度色散系數(shù).根據(jù)以上方程,描述脈沖色散的微分方程與描述近軸光波空間衍射的波方程形式相同.因此時(shí)域脈沖在色散介質(zhì)中的色散可看作空域中光波近軸衍射的時(shí)間對(duì)應(yīng),即空間-時(shí)間二象性.(4)式的解與近軸衍射波方程解的數(shù)學(xué)形式相似,可寫(xiě)為

其中脈沖響應(yīng)函數(shù)h(τ,τ0)表征在色散介質(zhì)中系統(tǒng)在τ時(shí)刻對(duì)初始時(shí)刻τ0輸入脈沖的響應(yīng),其形式為[41]

其中Φ=βl表示長(zhǎng)度為l的色散介質(zhì)的群延遲色散參量.基于上述二像性,也可寫(xiě)出其他光學(xué)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù).因此類(lèi)比空域物體的脈沖響應(yīng)函數(shù),時(shí)域物體的脈沖響應(yīng)函數(shù)為

其中P(τ)是描述物體時(shí)序結(jié)構(gòu)的函數(shù),可以通過(guò)電光調(diào)制器調(diào)制產(chǎn)生.同理,時(shí)域透鏡的脈沖響應(yīng)函數(shù)可寫(xiě)為

其中Φf表征時(shí)域透鏡的“焦時(shí)間”,類(lèi)似于空間透鏡的焦距.時(shí)域透鏡用于對(duì)光脈沖施以二次相位調(diào)制,該調(diào)制也可通過(guò)電光調(diào)制器實(shí)現(xiàn).

2.2 一階關(guān)聯(lián)時(shí)域成像理論分析

采用類(lèi)似于空域中借助 Mach-Zehnder干涉儀實(shí)現(xiàn)一階關(guān)聯(lián)成像的思想,本文設(shè)計(jì)的一階關(guān)聯(lián)時(shí)域成像裝置示意圖如圖1所示.具有光場(chǎng)漲落關(guān)聯(lián)性質(zhì)的時(shí)序光源 TS 發(fā)出的光在色散介質(zhì)如光纖中傳播一段距離后被光纖分束器 FBS1分為強(qiáng)度相等的兩束光,一束光(物光束,Path1 )在色散介質(zhì)中傳播,依次經(jīng)過(guò)時(shí)域物體 TO 和時(shí)域透鏡 TL1后到達(dá)光纖分束器 FBS2；另一束光(參考光束,Path2 )在色散介質(zhì)中經(jīng)過(guò)時(shí)域透鏡 TL2后也到達(dá)光纖分束器 FBS2,兩束光在光纖分束器 FBS2中匯合后被探測(cè)器 Detector 接收,探測(cè)器采集得到的信號(hào)通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡將信號(hào)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)至計(jì)算機(jī).

圖1 基于光場(chǎng)一階關(guān)聯(lián)的時(shí)域成像裝置示意圖Fig.1.Schematic illustration for first-order temporal imaging.

根據(jù)(6)式—(8)式,并考慮脈沖響應(yīng)函數(shù)的級(jí)聯(lián)性質(zhì),可得物光路 Path1 和參考光路 Path2 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)分別為：

其中Φ0表示光源與時(shí)域物體之間色散介質(zhì)的群延遲色散參量,Φf1和Φf2分別表征時(shí)域透鏡 TL1和TL2的“焦時(shí)間”,時(shí)域透鏡 TL1與時(shí)域物體 TO,時(shí)域透鏡 TL1與光纖分束器 FBS2之間色散介質(zhì)的群延遲色散參量也均等于Φf1,時(shí)域透鏡 TL2與光源 TS,時(shí)域透鏡 TL2與光纖分束器 FBS2之間色散介質(zhì)的群延遲色散參量分別為Φ1和Φ2.為了便于討論,假設(shè)時(shí)序熱光源是時(shí)域非相干光的,其關(guān)聯(lián)性質(zhì)滿(mǎn)足

其中E表示與在色散介質(zhì)中傳播的時(shí)間τ和距離l有關(guān)的光場(chǎng)分布,β是光在色散介質(zhì)中的群速度色散系數(shù).根據(jù)以上方程,描述脈沖色散的微分方程與描述近軸光波空間衍射的波方程形式相同.因此時(shí)域脈沖在色散介質(zhì)中的色散可看作空域中光波近軸衍射的時(shí)間對(duì)應(yīng),即空間-時(shí)間二象性.(4)式的解與近軸衍射波方程解的數(shù)學(xué)形式相似,可寫(xiě)為

將(9)式—(11)式代入(12)式,探測(cè)面處的一階場(chǎng)關(guān)聯(lián)可進(jìn)一步寫(xiě)為

其中ΦR=Φ1+Φ2-Φ1Φ2/Φf2.當(dāng)成像條件滿(mǎn)足時(shí),上式化簡(jiǎn)為

(14)式表明時(shí)域物體的像會(huì)受到二次相位因子的影響.分析可知,當(dāng)各部分色散介質(zhì)的群延遲色散參量之間關(guān)系滿(mǎn)足Φ1-Φ0=Φ2=Φf1=2Φf2時(shí),二次相位因子項(xiàng)可以被消掉,這樣(14)式最后化簡(jiǎn)為

由此可知,通過(guò)一階場(chǎng)關(guān)聯(lián)可再現(xiàn)時(shí)域物體信號(hào)的像,即可以實(shí)現(xiàn)時(shí)域成像,不需要額外的色散補(bǔ)償或消除.

3 成像質(zhì)量分析

前面討論了利用時(shí)序非相干熱光源實(shí)現(xiàn)一階關(guān)聯(lián)時(shí)域成像,考慮到實(shí)際光源發(fā)出的脈沖寬度和相干時(shí)間是有限的,因此利用更為普遍的熱光源模型即高斯-謝爾模型,分析成像可見(jiàn)度和分辨率.高斯-謝爾型時(shí)序光源的一階場(chǎng)關(guān)聯(lián)滿(mǎn)足

其中T0和Tc分別表示光源發(fā)出脈沖的寬度和相干時(shí)間.探測(cè)面處的強(qiáng)度是物光路和參考光路的光場(chǎng)疊加的模方,即

將(5)式、(9)式、(10)式、(12)式和(16)式代入(17)式,假設(shè)時(shí)域物體距離光源很近,即Φ0=0,并考慮成像條件和消去二次相位因子條件可得探測(cè)面處一階關(guān)聯(lián)時(shí)域成像的強(qiáng)度表達(dá)式為

假設(shè)時(shí)域物體為具有一定間隔的兩個(gè)矩形波信號(hào),矩形波間隔和寬度分別為20和8 ps,選取色散介質(zhì)的群延遲色散參量為Φ0=0,Φ1=Φ2=Φf1=2Φf2=50ps2.首先分析保持光源脈沖相干時(shí)間不變,改變光源脈沖寬度的成像結(jié)果.根據(jù)(18)式,模擬得到了光源脈沖相干時(shí)間為T(mén)c= 0.5 ps,脈沖寬度T0分別為5,10,50和100 ps條件下的成像結(jié)果,如圖2所示.根據(jù)時(shí)域物體成像質(zhì)量的可見(jiàn)度,圖3給出了光源相干時(shí)間Tc= 0.5 ps 條件下,成像可見(jiàn)度隨光源脈沖寬度的變化曲線(xiàn).由圖2可以看出,隨著脈沖寬度的增加,時(shí)域物體的圖像可見(jiàn)度逐漸降低但分辨率逐漸變好,即時(shí)域物體的矩形波逐漸顯現(xiàn).由圖3可以看出,在保持光源脈沖相干時(shí)間不變時(shí),隨光源脈沖寬度的增加,成像可見(jiàn)度逐漸減小,這與空間域二階鬼成像的結(jié)果類(lèi)似[42].這是因?yàn)楫?dāng)光源脈沖寬度大于時(shí)域物體信號(hào)持續(xù)時(shí)間時(shí),場(chǎng)關(guān)聯(lián)才能完整展現(xiàn)物體的信息.

此外,Qu等[43]的研究結(jié)果表明,在二階時(shí)域鬼成像中時(shí)域物體圖像的保真度(表示像與原物體信號(hào)的相似度)隨脈沖寬度的增加而增加.圖2和圖3表明隨著脈沖寬度的增加,一階時(shí)域成像也有類(lèi)似的結(jié)果,即圖像與原物體信號(hào)的相似度逐漸增加.一階時(shí)域成像的優(yōu)點(diǎn)在于成像質(zhì)量除了與光源的脈沖寬度和相干時(shí)間兩個(gè)參量有關(guān)以外,還與物光和參考光的強(qiáng)度比有關(guān),相同條件下成像可見(jiàn)度比二階時(shí)域鬼成像的高[39].但是一階時(shí)域成像對(duì)物光信號(hào)不執(zhí)行桶探測(cè),需要響應(yīng)較快的探測(cè)器,而二階時(shí)域鬼成像在這方面具有優(yōu)勢(shì),因?yàn)槎A時(shí)域鬼成像對(duì)物光執(zhí)行桶探測(cè)只需慢響應(yīng)探測(cè)器即可.

圖2 光源相干時(shí)間為0.5 ps,光源脈沖寬度寬度分別為5,10,50和100 ps條件下的關(guān)聯(lián)像Fig.2.The correlated images with different pulse widths of the source 5,10,50 and 100 ps,for the source’s coherence time 0.5 ps.

圖3 光源相干時(shí)間Tc為0.5 ps時(shí),成像可見(jiàn)度隨光源脈沖寬度的變化曲線(xiàn)Fig.3.The imaging visibility as a function of the source’s pulse width for the source’s coherence time 0.5 ps.

最后分析當(dāng)保持光源脈沖寬度不變,改變光源相干時(shí)間的成像結(jié)果.根據(jù)(18)式,模擬得到了光源脈沖寬度為T(mén)0= 100 ps,光源相干時(shí)間Tc分別為0.5,1.5,5和10 ps條件下的成像結(jié)果,如圖4所示.由圖4可以看出,隨著相干時(shí)間的增加,時(shí)域物體的像逐漸失真,即成像的分辨率(物體像的半高寬)逐漸變差.由圖5可以看出,隨著光源相干時(shí)間的增加,成像可見(jiàn)度逐漸增加最終基本保持不變.光源的相干時(shí)間類(lèi)似于空域鬼成像中光源的橫向關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度(散斑尺寸),光源的相干時(shí)間越短,成像系統(tǒng)對(duì)于時(shí)域物體的時(shí)序結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)分辨能力越好,但可見(jiàn)度越差.這就說(shuō)明基于一階關(guān)聯(lián)的時(shí)域成像中,可見(jiàn)度和分辨率二者有相互矛盾的關(guān)系.因此需要適當(dāng)選取光源的脈沖寬度和相干時(shí)間以獲得兼顧可見(jiàn)度和分辨率的理想成像結(jié)果.由以上分析可知,當(dāng)光源的相干時(shí)間為0.5 ps、脈沖寬度為T(mén)0= 100 ps 時(shí),間隔為20 ps、寬度為8 ps的時(shí)域矩形波型物體的成像質(zhì)量(兼顧可見(jiàn)度和分辨率)較好.

圖4 光源脈沖寬度為T(mén)0= 100 ps,光源相干時(shí)間Tc分別為0.5,1.5,5和10 ps條件下的關(guān)聯(lián)像Fig.4.The correlated images with different source’s coherence time 0.5,1.5,5 and 10 ps,for the source’s pulse width 100 ps.

圖5 光源脈沖寬度為100 ps時(shí),成像可見(jiàn)度隨光源相干時(shí)間的變化曲線(xiàn)Fig.5.The imaging visibility as a function of the source coherence time for the source’s pulse width 100 ps.

4 結(jié) 論

本文根據(jù)空間光束近軸衍射和光脈沖在色散介質(zhì)中色散現(xiàn)象之間的空間-時(shí)間二象性,在時(shí)域脈沖響應(yīng)函數(shù)基礎(chǔ)上,研究了基于一階場(chǎng)關(guān)聯(lián)的時(shí)域成像,并以高斯-謝爾型熱光源為例,模擬再現(xiàn)了時(shí)域物體信號(hào)的成像結(jié)果,分析了光源脈沖寬度和相干時(shí)間對(duì)成像可見(jiàn)度和分辨率的影響.結(jié)果表明,利用一階場(chǎng)關(guān)聯(lián)在不需要色散補(bǔ)償或消除的條件下可以實(shí)現(xiàn)時(shí)域物體信號(hào)的成像,并且隨著光源脈沖寬度的增加,像的可見(jiàn)度逐漸增加,而隨著光源脈沖相干時(shí)間的增加,成像分辨率逐漸變差,但是可見(jiàn)度逐漸增加.該結(jié)果對(duì)于場(chǎng)關(guān)聯(lián)在時(shí)域信號(hào)測(cè)量中的應(yīng)用具有促進(jìn)作用.