平面波照射下無限大導(dǎo)體板上周期孔陣屏蔽效能的解析研究*

白婉欣 李天樂 郭安琪 成睿琦 焦重慶

(華北電力大學(xué)，新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 102206)

1 引 言

平面波對無限大導(dǎo)體板上開孔陣列的電磁透射屬于經(jīng)典電磁問題,在電磁屏蔽、頻率選擇表面等方面有實際應(yīng)用[1-11].理論上,該問題可以通過數(shù)值計算方法求解[12-16],例如,文獻(xiàn)[16]采用矩量法計算了近場輻射源透過無限大導(dǎo)體板的開孔陣列時的電磁耦合特性.然而數(shù)值方法實施相對復(fù)雜,且耗費CPU和存儲資源較多,特別是在需要實時仿真或反復(fù)計算以便進行大量參數(shù)優(yōu)化的場合.解析方法求解雖然適用范圍窄,但具有唯一性、物理意義清晰、易于計算,特別是具有可作為數(shù)值方法的檢驗基準(zhǔn)等優(yōu)點.因此,對于給定的模型,得到其解析解不僅具有理論價值,也具有實際意義[17-20].

本文結(jié)合電磁屏蔽應(yīng)用實際,在電磁波波長明顯大于孔陣周期單元邊長,且孔陣周期單元邊長明顯大于開孔尺寸的前提下,研究透射場的解析表達(dá)式.目前,對于平面波垂直入射圓形孔陣情況,已有解析結(jié)果[21].其中孔陣的影響通過表面阻抗描述,而表面阻抗需要運用分離變量法和平均場方法求解,過程復(fù)雜.在電磁波入射角的影響方面,一般簡單對照平面波對均勻平板材料電磁透射的入射角依賴規(guī)律,缺少嚴(yán)格的理論分析.對于平面波入射金屬網(wǎng)情況,文獻(xiàn)[22]進行了分析.網(wǎng)線的影響同樣通過表面阻抗描述,考慮了平面波入射角的影響.但是該方法普適性有限,無法推廣到其他形狀開孔板的情況.文獻(xiàn)[13]針對開單個孔縫的無限大平面板的磁場屏蔽效能進行了分析.而在實際應(yīng)用中,孔縫通常以陣列形式出現(xiàn),該方法無法直接推廣至多個孔縫的情況.

本文首先基于Bethe理論[23],將透射場表示成偶極子陣列的輻射場.然后對磁偶極子陣列進行平均化,即將其偶極矩分布于板上,由此得到均勻磁化強度.進而,將磁化強度用平板兩側(cè)的磁化面電流表征,然后可以容易地求出面電流所產(chǎn)生電磁場的解析表達(dá)式.對于電偶極子陣列(僅存在于TM極化斜入射情況),通過研究電偶極輻射和磁偶極輻射的對應(yīng)關(guān)系,從而依據(jù)磁偶極陣列輻射場導(dǎo)出電偶極陣列輻射場,最終通過二者疊加得出總的透射場.所導(dǎo)出的解析解理論上適用于所有形狀磁/電極化系數(shù)已知的開孔.對于諸如橢圓、圓形孔,其極化系數(shù)是已知的.對于其他形狀的開孔,通過數(shù)值計算可以獲得極化系數(shù),如矩形開孔等已有相關(guān)結(jié)果發(fā)表.

2 理 論

2.1 垂直入射

圖1為平面波垂直入射導(dǎo)體板示意圖,入射磁場Hi=-Hieˉjkzey,入射電場Ei=-Eieˉjkzex,平面波波矢量k=ke,其中,相鄰z兩孔x方向距離為d1,y方向距離為d2,板厚度為t.假設(shè)坐標(biāo)原點位于板上表面.

圖1 平面波垂直入射開孔導(dǎo)體板示意圖Fig.1.Conductor plate with holes illuminated by a plane wave with vertical polarization.

根據(jù)Bethe小孔理論[23],從開孔耦合到z＞ 0區(qū)域的電磁場,可借助位于開孔中心的等效偶極矩為p,m的電偶和磁偶極子來描述：

式中αe為電極化系數(shù),αmx為小孔沿x方向磁極化系數(shù),αmy為小孔沿y方向磁極化系數(shù).En為小孔作短路處理(即小孔不存在或被導(dǎo)體封堵)時開孔面上電場的法向分量,Htx,Hty分別為短路處理下開孔面上切向磁場的x,y分量.對于垂直入射情況,Htx=0,Hty=2Hi,En=0 .此時,只有磁偶極子作用,z＞ 0區(qū)域的電磁場近似為沿導(dǎo)體板上分布的磁偶極陣列的輻射場.依據(jù)鏡像原理[24],導(dǎo)體板可以去除,同時磁偶極矩加倍.

通過平均化的方法,將每一個磁偶極子的磁偶極矩均勻分布在一個周期單元內(nèi),從而得到板的均勻磁化模型,其等效磁化強度為

其中S代表一個周期單元的面積,ΔV=St.對于圖 1所示情況,S=d1d2.所以板上、下表面磁化面電流密度為：

當(dāng)導(dǎo)體板不開孔時,板表面?zhèn)鲗?dǎo)面電流密度為

對比(4)式—(6)式可得

不難理解,z＞ 0區(qū)域,(6)式激發(fā)的電磁場與入射場完全抵消.進而依據(jù)(7)式可得,(4)式和(5)式所述電流產(chǎn)生的磁場分別為：

其中z1,z2分別是場點到板上表面和下表面的距離.假設(shè)場點P的坐標(biāo)為 (xp,yp,zp)且zp＞0,則z1=zp,z2=zp-t.場點P處透射場的磁場強度為

由于kt趨近于0,所以 1-ejkt≈-jkt,(10)式可寫為

就此得出,平面波垂直入射開孔金屬板情況下,屏蔽效能公式為

2.2 斜入射-TE極化

如圖 2所示,TE極化平面波入射角為θ,入射磁場Hi=(-Hicosθex+Hisinθez)eˉjk·r,入射電場Ei=Eieˉjk·rey,波矢量k=ksinθex+kcosθez.

圖2 TE極化平面波入射均勻開孔導(dǎo)體板示意圖Fig.2.Conductor plate with holes illuminated by a plane wave of TE polarization.

根據(jù)TE極化斜入射情況,En=0,Ht=-2Hicosθeˉjkxsinθex.此時,只有磁偶極子作用.考慮鏡像加倍效應(yīng)后,等效磁偶極矩為

同理,可得上、下表面磁化面電流密度為

當(dāng)導(dǎo)體板不開孔時,板表面?zhèn)鲗?dǎo)面電流密度為

同理,通過分別比較(14)式、(15)式和(16)式的比例關(guān)系,可得(14)式和(15)式所述電流在z＞ 0區(qū)域產(chǎn)生的磁場分別為：

同理,疊加可得場點P處磁場強度為

磁場屏蔽效能為

由電場、磁場和傳播方向三者關(guān)系可得,場點P處電場強度為

2.3 斜入射-TM極化

如圖 3所示,TM極化平面波入射角為θ,入射電場Ei=(-Eicosθex+Eisinθez)eˉjk·r,入射磁場Hi=-Hieˉjk·rey.

圖3 TM極化平面波入射均勻開孔金屬板Fig.3.Conductor plate with holes illuminated by a plane wave of TM polarization.

根據(jù)TM極化斜入射情況,En=Eisinθeˉjk·rez,Ht=-2Hieˉjkxsinθey,故電偶極子、磁偶極子同時作用.考慮鏡像加倍效應(yīng)后,等效磁偶極矩、電偶極矩分別為：

(24)式表明,求得電偶極子、磁偶極子產(chǎn)生的x方向電場,即可求出相應(yīng)的y方向磁場.另一方面,TM極化下,磁場只有y分量,因此y方向磁場即代表總磁場.

令TE極化中磁偶極子激發(fā)的z方向磁場、y方向電場分別為Hz(mTE),Ey(mTE),TM極化中電偶極子、磁偶極子激發(fā)的x方向電場分別為Ex(pTM),Ex(mTM).可以證明(證明過程見附錄)

根據(jù)(19)式和(21)式,TE極化下磁偶極子產(chǎn)生的電場Ey和Hz為：

根據(jù)(25)式—(28)式可得：

由(24)式、(29)式和(30)式得,TM極化下,電偶極子、磁偶極子產(chǎn)生的磁場分別為：

由(31)式和(32)式得TM極化下透射場的磁場強度為

所以屏蔽效能為

比較(20)式和(34)式看出,TE極化下透射場幅值和入射角的關(guān)系比較簡單,即與入射角的余弦成正比,因此屏蔽效能隨入射角的增大而增加；TM極化下,透射場幅值與入射角的關(guān)系相對復(fù)雜,隨著入射角的增大,屏蔽效能有減小的趨勢.當(dāng)電極化系數(shù)相對磁化系數(shù)很小時,附加項可以忽略,但在電極化系數(shù)和磁化系數(shù)接近的情況下,附加項將會對屏蔽效能產(chǎn)生顯著影響.

3 結(jié)果與討論

3.1 開孔的極化系數(shù)

對于圓孔和橢圓孔,其電、磁極化系數(shù)有解析公式,如表 1所列[25].

表1中K為第一類完全橢圓積分,E為第二類完全橢圓積分：

3.2 垂直入射的分析

為了驗證上述公式的準(zhǔn)確性,本文選定幾種情況進行分析.由(12)式可以看出,屏蔽效能的大小與周期單元邊長比(d1/d2)無關(guān),為了驗證該結(jié)論,在周期單元面積S= 16 cm2,開孔為半徑r= 0.25 cm圓孔陣列的情況下,選擇d1/d2= 1,4,16進行計算,CST軟件全波模擬仿真(微波工作室,采用unitcell邊界)結(jié)果如圖 4所示.隨著頻率的增大,屏蔽效能減小.對于d1/d2= 1和d1/d2= 4兩種情況,仿真結(jié)果幾乎一致,對于d1/d2= 16,仿真結(jié)果與其余兩種情況相差約1 dB.所以在d1,d2大于最小開孔尺寸的前提下,屏蔽效能與周期邊長比關(guān)系不大,后續(xù)分析均取d1=d2= 4 cm.

在電磁屏蔽領(lǐng)域,實際應(yīng)用中平面板厚度為mm級.當(dāng)厚度相對小孔尺寸的比值(以圓孔為例,t/r)增大時,小孔的波導(dǎo)效應(yīng)(以圓孔為例,SE波導(dǎo)≈16t/r)隨之增大,會帶來一個附加項的衰減.圖 5展示了開孔半徑為1 cm,厚度t= 0.001 mm和t= 1 mm兩種情況下的公式計算結(jié)果和全波仿真結(jié)果.根據(jù)波導(dǎo)效應(yīng)的公式,本文考察的算例中,波導(dǎo)效應(yīng)帶來的衰減并不大,兩種厚度下的屏蔽效能基本一致.后續(xù)分析中,取t= 0.001 mm.

表1 常見開孔形狀極化系數(shù)Table 1.Polarization coefficients of typical opening shapes.

圖4 d1/d2對屏蔽效能的影響Fig.4.Dependence of the SE on frequency for different d1/d2.

圖5 板厚度對屏蔽效能的影響Fig.5.Dependence of the SE on frequency for different thicknesses of the plane.

圖6展示了圓形開孔下,屏蔽效能隨頻率的變化情況.可以看出,隨著開孔半徑的增大,屏蔽效能下降.r= 0.25,0.5 cm時,公式計算結(jié)果和仿真結(jié)果相差均約為4 dB,r= 1 cm時,兩者相差約為2 dB,且頻率越高,一致性越好.

對于圖 7所示l/w= 10的橢圓形開孔,圖 8展示了長軸l分別為0.5,1 和2 cm時屏蔽效能隨頻率的變化,其中入射波的電場沿x方向.對于長軸l= 0.5 cm和l= 1 cm公式計算結(jié)果與全波仿真結(jié)果一致性較好,對于長軸l= 2 cm,兩者差值隨著頻率的增大而增大.

圖6 圓形孔開孔大小對屏蔽效能的影響Fig.6.Dependence of the SE on frequency for circular apertures with different radius.

圖7 橢圓開孔示意圖Fig.7.Diagram of elliptical opening.

圖8 橢圓孔開孔大小對屏蔽效能的影響Fig.8.Dependence of SE on frequency of different elliptical apertures with different size.

針對如圖 9所示的方形(圖 9(a))、十字形(圖9(b))開孔,文獻(xiàn)[26]分別給出了其磁化系數(shù),將磁化系數(shù)代入(12)式可得其屏蔽效能.圖 10展示了兩種開孔形狀板的屏蔽效能隨頻率的變化.對于邊長a= 1 cm的方形開孔,全波仿真結(jié)果與公式計算結(jié)果一致性較好.對于十字形開孔(l= 30 cm,w/l= 0.33),本文比較了入射波頻率為0—5 GHz的情況,在頻率低于3 GHz時公式計算結(jié)果與全波仿真結(jié)果比較一致,在3 GHz之后,隨著屏蔽效能變差,兩種方法的一致性也稍有下降.

圖9 方形、十字形開孔示意圖Fig.9.Diagram of square and cross opening.

圖10 不同形狀開孔板的屏蔽效能隨頻率的變化Fig.10.Dependence of SE on frequency of different elliptical apertures with different size.

對于混合形狀開孔的情況,滿足各個開孔形狀磁化系數(shù)相同即可計算其屏蔽效能.由圓孔、橢圓孔磁化系數(shù)的表達(dá)式可以得到：r= 0.25 cm的圓孔和l= 24.97 mm,l/w= 10的橢圓孔y方向磁化系數(shù)相等,所以他們在磁場沿y方向電磁波照射下的屏蔽效能可由(12)式得出.圖 11所示為混合形狀開孔周期單元示意圖,圖 12展示了周期單元如圖 11所示的開孔板的屏蔽效能隨頻率的變化,公式計算結(jié)果和仿真結(jié)果比較一致.

圖11 混合形狀開孔周期單元示意圖Fig.11.Diagram of the unit cell of mix shape opening.

圖12 混合形狀開孔的屏蔽效能隨頻率的變化Fig.12.Dependence of SE on frequency of apertures with mix shape.

3.3 斜入射的分析

取開孔為半徑0.5 cm的圓孔,波頻率3 GHz,圖 13給出了屏蔽效能隨入射角θ的變化.對于TE極化入射波,公式計算結(jié)果和全波仿真結(jié)果的差值約為4 dB；對于TM極化入射波,差值約為3 dB.開孔為l= 2 cm的橢圓,屏蔽效能隨入射角變化情況如圖 14所示.入射波為TE極化時,公式計算結(jié)果與全波仿真的差值約為2 dB,入射波為TM模時,公式計算結(jié)果和仿真結(jié)果差值大部分在5 dB內(nèi),且隨著入射角的增大而增加.

圖13 圓形孔屏蔽效能隨入射角的變化（r = 0.5 cm）Fig.13.Dependence of SE on angle of incidence of different polarization of circular apertures (r = 0.5 cm).

圖14所示的TM極化中,磁場方向沿y方向,與橢圓開孔方向垂直,(34)式中電極化系數(shù)和磁化系數(shù)比較接近,附加項影響比較顯著,故隨著入射角的增大,屏蔽效能先增大后減小.

圖14 橢圓孔屏蔽效能隨入射角的變化（l = 2 cm）Fig.14.Dependence of SE on angle of incidence of different polarization of elliptical apertures (l = 2 cm).

4 結(jié) 論

本文提出了一種求解平面波對無限大導(dǎo)體板上周期孔陣的電磁透射場的解析方法.該方法適用的前提條件是：波長大于周期單元尺寸；周期單元尺寸大于開孔尺寸.該方法首先基于Bethe理論將透射場表示為偶極子陣列的輻射場,然后通過平均化將偶極陣列近似成均勻磁化/極化板,進而通過等效磁化面電流求得磁偶極陣列的透射場,以及通過電偶極和磁偶極的對應(yīng)關(guān)系求得電偶極陣列的透射場,最后二者疊加得出總的透射場.依據(jù)該方法分別導(dǎo)出了TE和TM兩種極化方式下不同入射角時透射場的表達(dá)式.通過對幾個案例的計算以及和全波仿真的比較驗證了公式的有效性,并得到了以下結(jié)論.

1)透射場強幅值與波頻率、孔的磁化系數(shù)成正比,與一個周期的面積成反比.

2)TE極化下,由于僅磁偶極陣列起作用,透射場幅值與入射角的關(guān)系十分簡單,即與入射角的余弦成正比.此時,屏蔽效能隨入射角的增加而變大.

3)TM極化下,磁偶極陣列和電偶極陣列同時起作用.透射場幅值與入射角的關(guān)系相對復(fù)雜,不僅與入射角的余弦成反比,還需要乘以一個包括了電極化系數(shù)以及入射角正弦值的附加項.比較而言,磁偶極比電偶極對透射場的貢獻(xiàn)要大.總體上,此時屏蔽效能隨入射角的增加而變小.

附錄A

對于TE極化,只存在x方向的磁偶極子,一個位于x=na,y=pb,z= 0處磁偶極子m=mTEex在場點(xp,yp,zp)處產(chǎn)生的電場為(只考慮遠(yuǎn)場)

其中η0=,λ=2π/k,k=ω/c,c=1/R=(xp-x)ex+(yp-y)ey+(zp-0)ez,R=|R|.代入(1)式有

相應(yīng)的磁場為

對于TM極化,存在y方向磁偶極子m=mTMey和z方向電偶極子p=pTMez.

磁偶極子產(chǎn)生的電場為

磁偶極子產(chǎn)生的磁場為

電偶極子產(chǎn)生的磁場為

電偶極子產(chǎn)生的電場為

根據(jù)(2)式—(7)式,不難得出mTMey產(chǎn)生的Ex與mTEex產(chǎn)生的Ey的關(guān)系為：

pTMez產(chǎn)生的Ex與mTEex產(chǎn)生的Hz的關(guān)系