軸對稱特性的解題應用探索

黃煥才

[摘 ?要] 軸對稱以及性質不僅是中學數學重要的知識，還是一種重要的解題工具.在解析問題時若能合理利用軸對稱變換或軸對稱的性質，則可以挖掘題目中的隱含條件，建立高效的解題思路.文章深入探索軸對稱在幾何證明、圖形翻折、線段最值和函數運算中的應用.

[關鍵詞] 軸對稱;證明;翻折;路徑;函數

軸對稱及其性質是初中數學重要的學習內容，具有軸對稱特性的圖形不僅存在外在的美感，還具有內在的關聯性.利用軸對稱的觀點去觀察圖形結構、分析內在聯系、構造幾何圖形，可以挖掘題目中的隱含條件，從而降低思維難度，獲得問題求解的思路，因此可以說軸對稱不僅是圖形的一種特性，同樣可以將其作為是一種工具應用于解題.

軸對稱在幾何證明中的應用

幾何中存在一些具有軸對稱特性的圖形，例如正方形、長方形、菱形、圓等，將這些圖形沿著對稱軸對折可以使其完全重合.利用其軸對稱的性質可以獲得眾多的等量關系，如對應角相等、對應線段相等，在解題時充分利用這些性質可以實現等角或等線段轉化，從而打開解題的突破口.

例1：如圖1所示，四邊形ABCD為正方形，點P為其對角線AC上的任意一點，過點P作PE⊥AB，垂足為點E，再過點P作PF⊥BC，垂足為點F，連接PD，PB，EF，試求證：PD=EF.

分析 題干所給四邊形為正方形，該圖形具有軸對稱的特性，解題時可以充分利用.分析可知PD和EF不具備存在于兩個全等三角形中的條件，不能通過求證三角形全等直接獲得，因此需要綜合利用圖形中的性質進行等邊轉化.具體思路為首先利用正方形的軸對稱性得出PD=PB，然后證明四邊形EBFP為矩形，得出PB=EF，進而證明PD=EF.

證明 已知四邊形ABCD是正方形，則頂點B和D關于對稱軸AC對稱，所以點P到兩點的距離相等，即PD=PB. 又因PF⊥BC，PE⊥AB，所以四邊形EBFP為矩形，則矩形的對角線PB=EF，從而有PD=EF，證畢.

點評 求證不相關的兩條線段相等一般有兩種方式：一是直接進行等邊轉化，二是通過求證三角形全等，利用全等性質來完成. 上述在進行等邊轉化時充分利用了正方形為軸對稱圖形的特性，實現了第一步轉換，為后續(xù)的分析奠定了基礎. 因此在分析問題時要充分利用軸對稱圖形的特性，挖掘隱含條件.

軸對稱在圖形翻折中的應用

翻折是圖形變換的一種方式，在圖形翻折中隱含著角平分、三角形全等、對稱等概念和定理.實際上，翻折前后的圖形關于折痕呈軸對稱圖形，因此在分析翻折問題時可以從軸對稱角度出發(fā)，利用軸對稱的觀點來挖掘隱含條件，建立問題與條件之間的關聯.

例2：如圖2所示，四邊形ABCD為菱形，其對角線分別為6和8，點O為兩條對角線的交點.現選取過點O的一條直線MN為折痕對圖形進行翻折，使點B落在點B′，若B′M=1，試求線段CN的長.

分析 點N位于菱形的邊CD上，翻折前后的圖形關于折痕對稱，利用軸對稱的性質可得B′M=BM，CN=C′N，已知菱形兩條對角線的長，利用勾股定理可求得菱形的邊長. 已知B′M的長度，就需要利用全等三角形進行長度轉化，建立DN與BM之間的等長關系.

解 連接BD和AC，由題干可知四邊形BCNM通過翻折得到了B′C′NM，由軸對稱可得B′M=BM=1，CN=C′N. 菱形的兩條對角線長分別為6和8，則AO=3，BO=4，△ABO為直角三角形，利用勾股定理可求得斜邊AB=5，即菱形的邊長為5. 在△OBM和△ODN中，有∠MBO=∠NDO，OB=OD，∠BOM=∠DON， 所以△OBM？艿△ODN，所以DN=BM.CN=CD-DN=AB-BM=5-1=4，即線段CN的長為4.

點評 翻折是一種較為特殊的圖形變化，其中隱含著眾多的“變”與“不變”，實際上其中的“不變”條件就可以從軸對稱的角度來看，如上述圖形翻折前后的對應線段長相等. 考慮到翻折所得的圖形較為復雜，有時難以準確提取其中的等量關系，分析時可以首先把握圖形翻折前后的對稱點和折痕，則對應點到折痕上任意點的線段長相等.

軸對稱在線段最值問題中的應用

線段最值問題一直都是中考的經典問題，包括單線段最值和多線段和的最值兩類，對于其中的某些特殊情形可以使用將軍飲馬模型來求解，實際上該模型就是對軸對稱變換及其性質的綜合利用. 在解題首先需要對線段所涉及的點進行分類，確定動點和定點，然后通過作對稱點的形式實現點的共線轉化.

例3：在圖4所示的△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，垂足為點O，OE⊥AB，垂足為E. 現以點O為圓心，OE為半徑畫圓，交AO于點F，試回答下列問題.

（1）證明：AC是⊙O的切線;

（2）若點F是線段AO的中點，OE=3，試求圖中陰影部分的面積;

（3）在條件（2）成立的條件下，已知點P是BC邊上的一個動點，試求PE+PF取得最小值時，線段BP的長.

分析 本題目為2018年揚州市的中考幾何壓軸題，第（3）問是關于線段和的最值問題，求BP的長，實際上求線段和取得最小值時，點P的位置.其中點E和點F是位于線段BC同側的兩個動點，而點P是線段BC上的一個動點，顯然符合“將軍飲馬模型”的構建要求. 只需要作點E關于線段BC的對稱點G，連接FG，與BC的交點就是線段和取得最小值時點P的位置，從而可求得線段BP的長.

解 作點E關于線段BC的對稱點G，連接EG交BC于點H，連接FG，與BC的交點為點P，此時點F、P和G三點共線，PE+PF取得最小值. 在Rt△EHO中，EH=EOsin∠EOH= ，BH= ，△EHP∽△FOP，由相似性質可得2HP=OP. 又因為BO=BH+HP+OP，可推得HP= ，所以BP=BH+HP= ，即PE+PF取得最小值時，線段BP的長為 .

點評 上述通過作對稱點的方式，將不共線的三點轉換到同一直線上，然后基于“兩點之間，線段最短”原理，確立了線段和最小值的情形. 另外還可以這樣理解，通過軸對稱的方式實現了線段之間的轉換，使得不共線的兩條線段可以變換到同一直線上，為研究線段最值提供了可能.

軸對稱在函數運算中的應用

拋物線是初中階段需要學生掌握的一種特殊曲線，其特殊之處不僅體現在其函數表達式上，還體現在曲線的對稱性上，即對于拋物線y=ax2+bx+c，其關于對稱軸x=- 對稱. 對于分布于對稱軸兩側的點（x1，y1）和（x2，y2），若兩點到對稱軸的距離相等，則縱坐標的數值相等，即x1- =x2- ，則y1=y2，這也是拋物線中對軸對稱性質的體現，同時也可以利用其對稱性來比較數值大小.

例4：已知拋物線y=x2+4x-5圖像上有A，B，C三點，若其坐標分別為A- ，y1，B- ，y2，C ，y3，試比較y1，y2，y3的數值大小.

分析 對于該題目常規(guī)的思路是將A，B，C三點的橫坐標分別代入拋物線的解析式上，然后比較所求出的y值，但這樣的思路較為煩瑣，容易出錯.較為簡潔的方法是利用拋物線為對稱曲線的特性，通過比較點到對稱軸的距離大小來比較y值的大小.根據拋物線的解析式可知其開口向上，若曲線上的點到對稱軸的距離越大，則對應的y值也越大，根據該思路即可對其做出比較.

解 分析可知拋物線的對稱軸為x=-2，點A位于對稱軸的左側，點B和C位于對稱軸的右側，因此可先求出點A關于對稱軸的對稱點A′- ，y1，分析可知點A′，B，C到對稱軸的距離大小為dB

點評 上述在比較拋物線上點的縱坐標值時，首先通過作對稱點的方式將三點轉化到對稱軸的同側，然后通過比較點到對稱軸的距離直接獲得了答案，該過程不僅利用了拋物線的單調性，還利用了拋物線的軸對稱特性，為函數上點的坐標值大小比較提供了借鑒.

總之，軸對稱及其特性在數學解題中有著廣泛的應用，上述只是其中最具代表性的幾例. 在分析問題時，要注意觀察圖形，把握幾何特性和等量關系，合理利用軸對稱的方式來構建模型. 實際上軸對稱變換也是一種重要的思維方式，在學習時要善于利用軸對稱來拓展解題思維.