幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題策略探討

廖曉青

[摘 ?要] 幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考常見(jiàn)的重難點(diǎn)問(wèn)題，在解析問(wèn)題時(shí)需要采用合適的策略，構(gòu)建合理的模型和思路，常用的策略有“動(dòng)”“靜”之間的轉(zhuǎn)化與結(jié)合，文章結(jié)合實(shí)例探討化動(dòng)為靜、動(dòng)中取靜、以靜制動(dòng)、動(dòng)靜結(jié)合四種策略.

[關(guān)鍵詞] 動(dòng)點(diǎn);幾何;恒定條件;模型;函數(shù)關(guān)系;特殊位置

幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)較為典型的問(wèn)題，圖形中由于點(diǎn)的位置變化會(huì)引起眾多幾何元素的變化，例如線變、面變和形變，因此學(xué)生在解析時(shí)容易陷入思維停滯，難以獲得解題思路. 一般而言，解析思路有兩條：一是提煉動(dòng)態(tài)圖形中的不變內(nèi)容，二是利用特殊模型來(lái)研究動(dòng)點(diǎn)狀態(tài). 下面對(duì)其轉(zhuǎn)化策略進(jìn)行探究.

化動(dòng)為靜，把握不變條件

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的難點(diǎn)在于對(duì)幾何動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)化，因此某些動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以采用“化動(dòng)為靜”的策略，從中提煉恒定條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的靜態(tài)問(wèn)題，從而快速獲得問(wèn)題突破的思路. 例如，與速度相關(guān)的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，可以分析動(dòng)點(diǎn)的速度，提取動(dòng)點(diǎn)之間的位移關(guān)系.

例1：如圖1所示，△ABC為等邊三角形，在頂點(diǎn)的A和C處各放置一只蝸牛，兩只蝸牛同時(shí)以相同的速度，分別向著點(diǎn)B和點(diǎn)A爬行. 若經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，兩只蝸牛分別爬行到了點(diǎn)D和點(diǎn)E處，回答下列問(wèn)題：

（1）在爬行的過(guò)程中，線段CD和BE是否一直相等.

（2）若將原題中“分別向著點(diǎn)B和點(diǎn)A爬行”改為“沿著AB和CA的延長(zhǎng)線爬行”，而EB與CD的交點(diǎn)為Q，其他條件不變，如圖2所示，蝸牛爬行過(guò)程中∠CQE的大小保持不變，試求證∠CQE =60°.

分析 由于兩只蝸牛分別從A和C出發(fā)，爬行的速度相同，則經(jīng)過(guò)時(shí)間t后所走的路程也相同，即AD=CE，可利用該條件解析問(wèn)題.

解 （1）根據(jù)題意可知AC=BC，∠A=∠ACB=60°，且AD=CE，在△DAC和△ECB中，AD=CE，∠A=∠BCE，AC=BC，則△DAC≌△ECB，所以CD=BE，即CD和BE始終相等.

（2）根據(jù)題干條件可得

BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE，可證△BCD？艿△ABE，所以∠BCD=∠ABE. 所以∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=120°，進(jìn)一步可得∠CQE =60°.

評(píng)析 上述在分析動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)準(zhǔn)確把握題目中的“同時(shí)以相同的速度爬行”的條件，獲得了相應(yīng)的等線段恒定條件，從而將問(wèn)題視為是一般靜態(tài)問(wèn)題，利用全等三角形性質(zhì)、角度換算等方式完成了線段證明和角度求值.

動(dòng)中取靜，確定適用模型原理

在研究幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)也可以采用“動(dòng)中取靜”的策略，根據(jù)題干信息確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，然后根據(jù)圖形特點(diǎn)確定適用的模型原理，利用模型原理來(lái)研究滿足條件時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)求解. 例如研究線段最值問(wèn)題常用的“將軍飲馬模型”“胡不歸模型”就是基于“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理，通過(guò)軸對(duì)稱的方式確定了動(dòng)點(diǎn)的位置，實(shí)現(xiàn)了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化.

例2：如圖3所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是位于邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)在過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，垂足為點(diǎn)H，然后連接DH，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，試求線段DH的最小值.

分析 DH的長(zhǎng)度與點(diǎn)E的位置有關(guān)，由題干信息可知∠AHB始終為90°，則可以利用“直徑所對(duì)的圓周角為直角”定理來(lái)構(gòu)建關(guān)于點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡. 如圖4所示，設(shè)圓心為點(diǎn)P，顯然當(dāng)三點(diǎn)P，H，D共線時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理可知此時(shí)PD與圓的交點(diǎn)就是DH取最小值時(shí)點(diǎn)H的位置，后續(xù)只需要借助幾何性質(zhì)求長(zhǎng)度即可.

解：以AB為直徑畫半圓，圓心設(shè)為點(diǎn)P，連接PD，PD為圓的交點(diǎn)就為滿足條件時(shí)點(diǎn)H的位置，已知AD=4，AP=2，利用勾股定理可求得PD=2 ，而PH為圓的半徑，則PH=2，所以DH=PD-PH=2 -2，即DH的最小值為2 -2.

評(píng)析 上述是常見(jiàn)的與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的線段最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)軌跡來(lái)建立模型或使用原理. 上述所使用的三點(diǎn)共線模型及“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理是該類問(wèn)題最為常用的解析策略.

以靜制動(dòng)，建立函數(shù)關(guān)系

采用“以靜制動(dòng)”的策略來(lái)解析幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的思路是：設(shè)出描述動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，建立與問(wèn)題相關(guān)的函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)分析求解. 該策略的優(yōu)勢(shì)在于忽略了因點(diǎn)動(dòng)引起的次生問(wèn)題，而采用發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)建立運(yùn)動(dòng)元素之間的相互聯(lián)系，可有效降低思維難度.

例3：拋物線的解析式為y=-x2+bx+c，與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）和B（-3，0）兩點(diǎn).

（1）試求該拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)P是拋物線在第二象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，BC，試分析△PBC面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 （1）已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，可以由兩點(diǎn)坐標(biāo)獲得拋物線解析式. （2）分析拋物線上與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的面積問(wèn)題，可以設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)三角形面積割補(bǔ)的方式構(gòu)建面積模型，從而建立與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的面積函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，求最大面積.

解 （1）根據(jù)A（1，0）和B（-3，0）兩點(diǎn)，可得拋物線解析式為y=-（x-1）（x+3），化簡(jiǎn)可得y=-x2-2x+3.

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，-x2-2x+3），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，PE交BC于點(diǎn)F，如圖5所示，通過(guò)面積割補(bǔ)可得S△PBC=S四邊形BPCO-S△BOC，代入面積公式可得S△PBC= - x+ 2+ ，分析可知當(dāng)x=- 時(shí)，S△PBC= ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為- ， .

評(píng)析 上述是以拋物線為背景的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)位于拋物線上，因此以動(dòng)點(diǎn)為頂點(diǎn)建立的三角形面積與動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān). 因此在分析時(shí)可以采用“以靜制動(dòng)”的策略，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)的面積函數(shù)模型. 該策略是函數(shù)性質(zhì)分析幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的典型代表，另外構(gòu)建函數(shù)解析式還可以利用勾股定理、三角形相似性質(zhì)等，解析時(shí)需充分提取圖形特征.

動(dòng)靜結(jié)合，分段特性討論

在某些幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，由于動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)圖形的結(jié)構(gòu)存在規(guī)律性的變化，此時(shí)就可以采用“動(dòng)靜結(jié)合”的解析策略，基于圖形結(jié)構(gòu)來(lái)對(duì)動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)軌跡進(jìn)行分段，然后通過(guò)分類討論、特性分析的方式來(lái)確定答案. 該策略解析的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是對(duì)圖形特性的提取，二是對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡的分段. 解析時(shí)需要綜合考慮，全面分析.

例4 如圖6所示，△ABC的內(nèi)角∠ACB=90°，AC=6，BC=8，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度1沿著路徑A→C→B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以速度3沿著路徑B→C→A運(yùn)動(dòng). 已知兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，到對(duì)應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才會(huì)停止. 在某一時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作l的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和F，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，可使△PEC和△QFC為全等三角形？

分析 本題目屬于雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需要根據(jù)路徑對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行分類討論. 對(duì)于動(dòng)點(diǎn)P：當(dāng)0≤t≤6時(shí)，在線段AC上;而當(dāng)6≤t≤14時(shí)，在線段BC上. 對(duì)于動(dòng)點(diǎn)Q：當(dāng)0≤t≤ 時(shí)，在線段BC上;當(dāng) ≤t≤ 時(shí)，在線段BC上;而當(dāng)t≥ 時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A相重合，則停止運(yùn)動(dòng). 根據(jù)圖形特性和動(dòng)點(diǎn)位置關(guān)系可以分為四種情形：①點(diǎn)P在線段AC上，點(diǎn)Q在線段BC上;②點(diǎn)P和Q均位于AC上;③點(diǎn)P在線段AC上，而點(diǎn)Q與點(diǎn)A相重合，停止運(yùn)動(dòng);④點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)Q與點(diǎn)A相重合，停止運(yùn)動(dòng). 則后續(xù)只需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)區(qū)段，結(jié)合全等要求來(lái)確定討論時(shí)間的合理性即可.

解 設(shè)時(shí)間t后，△PEC？艿△QFC，由全等性質(zhì)可得CP=CQ.

①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，0≤t≤ ，如圖7，CP=6-t，CQ=8-3t，由CP=CQ解得t=1.

②當(dāng)點(diǎn)P和Q均位于AC上時(shí)， ≤t≤ ，如圖8，只有兩點(diǎn)重合才可能全等，則CP=6-t=3t-8，解得t=3.5.

③當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，而點(diǎn)Q與點(diǎn)A相重合，停止運(yùn)動(dòng)，則 ≤t≤6，分析可知不滿足全等條件.

④當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)Q與點(diǎn)A相重合，停止運(yùn)動(dòng)，則6≤t≤14，如圖9，則CQ=6，CP=t-6，由CP=CQ解得t=12.

綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1、3.5或者12時(shí)，△PEC和△QFC可為全等三角形.

評(píng)析 上述在分析與雙動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的三角形全等問(wèn)題時(shí)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所在位置情況確立了分類標(biāo)準(zhǔn)，確定了時(shí)間范圍，進(jìn)而根據(jù)三角形全等條件建立了關(guān)于時(shí)間的方程，完成求解. 上述使用的是“動(dòng)靜結(jié)合”的解析策略，其中“動(dòng)”表示動(dòng)點(diǎn)所在線段上的位置變化，而“靜”表示時(shí)間范圍確定、全等條件固定. 因此在采用“動(dòng)靜結(jié)合”策略解析時(shí)應(yīng)明確其中的“動(dòng)”“靜”條件，靈活建模.