對“基于Python和梯度下降算法的物理實驗數(shù)據(jù)一元線性擬合方法”稿件的評審意見

朱鶴年

(清華大學(xué) 物理系，北京 100084)

來稿作者在教學(xué)任務(wù)較繁重的情況下堅持開展教學(xué)研究，同時學(xué)習(xí)現(xiàn)代應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)和人工智能領(lǐng)域的新方法，并力圖引入基礎(chǔ)物理實驗教學(xué)中，這種努力和做法值得鼓勵. 但是文章存在較多問題，有些問題是數(shù)據(jù)處理類文章的共性，現(xiàn)在指出如下.

1 科學(xué)追求包括數(shù)學(xué)嚴密性在內(nèi)的邏輯自洽性

1)回歸直線殘差vi=(yie-yi)不是誤差.

2)不能找各點到直線的距離最小解，只能使各點到直線距離在因變量方向投影之和為最小，即令因變量殘差絕對值和最小.

3)殘差絕對值Σ|vi|和與斜率無關(guān)，而距離絕對值之和與斜率有關(guān)，與單位(包括十進制)選擇有關(guān)，是沒有物理意義的量. 自變量單位確定之后，距離之和極小解不一定是最小二乘解.

4)在滿足最小二乘前提條件(高斯-馬爾科夫假定)時，在有解析解的多種回歸方法或經(jīng)典數(shù)值計算方法已被普遍應(yīng)用的現(xiàn)狀下，變換為人工智能等復(fù)雜問題中用的新方法，在絕大多數(shù)物理教實驗學(xué)中可能是蛇足.

5)最小二乘判據(jù)的殘差平方和、斜率相對標準差(或相對不確定度)、最小一乘判據(jù)的殘差絕對值和、線性度指標這4個定量指標都是大學(xué)基礎(chǔ)物理實驗教學(xué)中可選擇其一用于判斷的指標. 至于與約定真值之差最小判據(jù)，從科學(xué)性原則看是最不應(yīng)當采用的指標，該指標不是引導(dǎo)學(xué)生理性(有條件)質(zhì)疑以分析討論如何改進實驗，而是引導(dǎo)學(xué)生尋找“歪打正著”式的好結(jié)果，易導(dǎo)致湊數(shù)，忽視科學(xué)理性精神的培養(yǎng)與熏陶. 科學(xué)追求包括數(shù)學(xué)嚴密性在內(nèi)的邏輯自洽性，尋求主要源于實驗的可重復(fù)或可比對的經(jīng)驗證據(jù)支持.

2 難于評定并回避不確定度是測量數(shù)據(jù)處理類文稿的關(guān)鍵瑕疵

國際計量局在《A concise summary of the International System of Units (8thedition, 2006)》的頁首寫道:“Metrology is the science of measurements, made at a known level of uncertainty, in any field of human activity.” 這說明了測量的普遍性和重要性，也說明了在測量結(jié)果中評定不確定度的必要性. 物理實驗中，定性和半定量觀測固然重要，但基于對物理量科學(xué)測量的定量研究通常更為重要. 大多數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域廣泛遵循的ISO9000族標準中的本世紀的新體系《測量管理體系(MMS)》明文要求“MMS覆蓋的每個測量過程都應(yīng)評定不確定度. ”

對于物理實驗教學(xué)研究中專門討論數(shù)據(jù)處理方法的論文，不應(yīng)回避不確定度評定問題. 應(yīng)符合實驗物理學(xué)、儀器儀表學(xué)和絕大多數(shù)工程技術(shù)測量對結(jié)果可信程度的表述. 而最小二乘法、最小一乘法(計量經(jīng)濟學(xué)中也較常見)等經(jīng)典方法能夠給出處理對象的不確定度.

在光電效應(yīng)案例中，假如模型方程正確，來稿的新結(jié)果斜率“m=0.417 89”與以遏止電壓為因變量方程最小二乘解的斜率0.421 48僅僅相差0.85%，差值小于P=95%時相對擴展不確定度Um/m≈19%的1/20，因此來稿結(jié)果是沒有實質(zhì)改變的.

3 關(guān)于檢驗擬合結(jié)果的指標

包含計量學(xué)的儀器儀表學(xué)和實驗物理學(xué)，定量測量結(jié)果常常用于預(yù)測(報)或反預(yù)測(報). 不應(yīng)當用相關(guān)系數(shù)作為直線回歸的擬合優(yōu)度判據(jù)，早就有陳希孺院士、統(tǒng)計學(xué)家方開泰教授、多位國內(nèi)外專家、NIST及其前身NBS的手冊《實驗統(tǒng)計學(xué)》，都明文反對用相關(guān)系數(shù)評定擬合結(jié)果. 用兩變量之間的相關(guān)系數(shù)曾經(jīng)是國內(nèi)物理教材的普遍性錯誤. 至于可決系數(shù)，雖然比相關(guān)系數(shù)有所改進，但仍然不能作為線性規(guī)律基本已知時擬合結(jié)果線性程度評價的獨立參量，因為可決系數(shù)與回歸的(或稱擬合的)相關(guān)系數(shù)相近，它們只有與自由度一道才能反映擬合質(zhì)量，因變量和自變量一定時它們的量值隨回歸模型(如是否過原點)、擬合方法(如最小二乘、最小一乘或其他穩(wěn)健回歸方法等)的不同而不同. 回歸的(或稱擬合的)相關(guān)系數(shù)，其定義不是兩變量之間的相關(guān)系數(shù)，而是因變量與回歸估值之間的相關(guān)系數(shù).

IEC與中國國家標準已經(jīng)有了一系列評價傳感器建模線性程度的“線性度”的標準. 雖然在近代物理實驗教學(xué)中全面推廣線性度有困難，適當簡化之后，用反映非線性相對誤差限的“線性度”Uy/(ymax-ymin)，是不難引入近代物理實驗的基礎(chǔ)教學(xué)的，這里Uy是因變量的擴展不確定度. 另外，當測量目標只關(guān)注斜率時，用斜率的相對擴展不確定度(或簡化要求時用相對標準差與自由度)，是教學(xué)中實用的簡便方法.

建立新模型和已有模型回歸(擬合)分析，是2個截然不同的研究問題. 計量經(jīng)濟學(xué)與社會、醫(yī)學(xué)等方面的統(tǒng)計中，主要目的是建模；儀器儀表學(xué)、實驗物理教學(xué)中，主要目的是基本已有模型再研究測量過程的方法設(shè)計改進或結(jié)果分析. 高校物理實驗教學(xué)中涉及新建模型或者模型改進的很少. 建模問題可用測定系數(shù)等概念(包括與之近似的回歸的相關(guān)系數(shù))，因為建模問題一般不涉及應(yīng)用該模型時的預(yù)報或者反預(yù)報的不確定度評定要求.

求出有限組實驗數(shù)據(jù)的兩變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)之后，兩變量的總體相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間往往很大，特別是當樣本數(shù)n較小時. 對于來稿光電效應(yīng)案例，回歸的(因變量電壓與其回歸估值之間的)相關(guān)系數(shù)為R=0.994 93，這與從可決系數(shù)所得結(jié)果相同. 審稿人根據(jù)統(tǒng)計學(xué)專著的表述規(guī)律中的曲線和尚欠完整的數(shù)表作近似計算，可以得出置信概率為0.95時，因變量電壓與其回歸估值之間總體相關(guān)系數(shù)的上下限分別為Rmax>0.999 59和Rmin<0.962 36，斜率相對不確定度為18.6% .

4 對物理規(guī)律的準確分析是選擇數(shù)據(jù)處理模型與方法的前提

個別廠家為獲得更接近普朗克常量約定真值的實驗結(jié)果，刻意修改濾光片出廠時的中心波長值. 對于儀器設(shè)計缺陷，面上教學(xué)可改定量實驗為半定量(或定性)實驗，補充其他實驗觀察、觀測與研討的內(nèi)容，探討實驗實際與理想條件間的不同或差距，更能激發(fā)學(xué)生的探索熱情與質(zhì)疑精神.

2)關(guān)于馬呂斯定律的實驗教學(xué). 表述透射率和cos2θ成正比的馬呂斯定律，只是垂軸透射比T2=0(消光比e為0)的近似. 普通薄膜偏振片和偏振棱鏡的消光比一般在10-4～10-5量級. 當偏振器用在θ接近π/2的情形或用作消光調(diào)節(jié)時，宜采用完整式Tθ=(T1-T2)cos2θ+T2. 觀察到實驗物理與物理理論命題的不一致，正是物理實驗教學(xué)的特點之一，在王之江主編的2版《光學(xué)技術(shù)手冊》中，一開始就引入消光比非0的完整公式，而不是先講馬呂斯定律再修正之，這是更適合現(xiàn)代實驗物理教學(xué)的思路. 如果只用馬呂斯定律的公式建模，因為測量的實際始終是透射比，將出現(xiàn)因變量嚴重不等精密度的情形，原則上不能套用等精密度前提下的直線擬合公式與等權(quán)最小二乘法. 另外，通過實驗學(xué)習(xí)新理論命題或者修正大學(xué)物理學(xué)的理論命題，在許多發(fā)達國家大學(xué)教育中也作為基礎(chǔ)實驗課程的內(nèi)容(或任務(wù))之一.