電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)原理的簡捷證明

馬玉婷 馬小軍 燕振剛 屠鵬

摘? 要 現(xiàn)有本科物理實(shí)驗(yàn)教材中電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)項(xiàng)目原理部分大多與無限長同軸柱狀導(dǎo)體為例，講解長直導(dǎo)線周圍存在的靜電場(chǎng)與兩比較，其中的證明過程難理解，運(yùn)算復(fù)雜，偏離了實(shí)驗(yàn)教學(xué)的初衷，將學(xué)生的很多時(shí)間花費(fèi)在實(shí)驗(yàn)過程證明的理解和運(yùn)算中，不利于實(shí)驗(yàn)教學(xué)的開展。針對(duì)以上問題，結(jié)合實(shí)驗(yàn)設(shè)備結(jié)構(gòu)，將實(shí)驗(yàn)原理中的證明過程以平行板電容器內(nèi)部靜電場(chǎng)以及平行板間電流場(chǎng)為例，講解模擬法的實(shí)驗(yàn)思想、測(cè)量原理和應(yīng)用條件，證明過程簡單明了，與儀器結(jié)構(gòu)精密結(jié)合，更加有利于學(xué)生加深對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)概念的理解。

關(guān)鍵詞 物理實(shí)驗(yàn);實(shí)驗(yàn)設(shè)備;靜電場(chǎng);電流場(chǎng);模擬法;平行板電容器;電勢(shì)

Abstract Existing undergraduate physics experiment teaching ma-terial in the current field simulation principle of electrostatic field projects mostly with infinite coaxial cylindrical conductor， for exam-ple on long straight wire electrostatic field around compared with two， proof that the process is hard to understand， the operation is complex， deviated from the original intention of the experimental teaching， the students spend a lot of time in the experiment proves that the process of understanding and operation， is not conducive to the experimental teaching. In view of the above problem， this paper combined with the experiment equipment structure， the experiment principle of proof process in parallel plate capacitor internal static electric field and current field between parallel plate as an example explain simulation experiment thought， measuring principle and application conditions， proof process simple and clear， with preci-sion instrument structure， more conducive to the students to deepen understanding of the concept of electric field strength and electric potential.

Key words physics experiment; experimental equipment; electro-static field; current field; simulation; parallel plate capacitor; electric potential

1 引言

物理教學(xué)中常用到模擬法，模擬法[1-3]的本質(zhì)是當(dāng)某種物理狀態(tài)（過程）不易測(cè)量時(shí)，如能找到符合條件的另一種容易測(cè)量或者實(shí)現(xiàn)的物理狀態(tài)（或過程）時(shí)，把不容易實(shí)現(xiàn)或者不便測(cè)量的狀態(tài)（過程）用這種較為容易實(shí)現(xiàn)、方便測(cè)量的物理狀態(tài)或者過程進(jìn)行模擬。但以上兩種狀態(tài)（或過程）必須滿足以下條件：兩種狀態(tài)（過程）有相互對(duì)應(yīng)的物理量，并且相應(yīng)的物理量符合相同的數(shù)學(xué)關(guān)系以及相應(yīng)的邊值條件。如：熱學(xué)中一定邊界條件下求熱流矢量場(chǎng)的穩(wěn)定導(dǎo)熱問題[4];在流體力學(xué)中，研究在一定邊界條件下不可壓縮流體的速度場(chǎng)[5];等等。以上問題均可通過用模擬法的思想來解決。

此外，模擬法還可以包括放大或縮小某些已知量，再求出與未知量有數(shù)學(xué)關(guān)系的相關(guān)量，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)關(guān)系算出所求量，這也屬于模擬法的一種類型[6]。

任何電荷周圍均存在相應(yīng)電場(chǎng)，相對(duì)參考點(diǎn)靜止的電荷在周圍空間激發(fā)的電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)[7]，且電荷分布決定靜電場(chǎng)[8]。求解靜電場(chǎng)分布解析解十分困難，因此，一般需要數(shù)值解法求出或用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量出電場(chǎng)的分布[9]。然而儀表（或其探測(cè)頭）在靜電場(chǎng)中會(huì)使被測(cè)場(chǎng)發(fā)生一定變化，并且除靜電式儀表外的大部分儀表也不能用于靜電場(chǎng)的直接測(cè)量（因?yàn)殪o電場(chǎng)中無電流流過，部分儀表無法使用），因此，儀器直接測(cè)量靜電場(chǎng)的電位分布存在很多問題。

通過理論研究與長期實(shí)踐，已經(jīng)證明恒定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)這兩種狀態(tài)（過程）滿足模擬條件[10-11]（有相互對(duì)應(yīng)的物理量，并且對(duì)應(yīng)的物理量滿足相同的數(shù)學(xué)方程及邊值條件），因此可以利用模擬法，即用容易測(cè)量的恒定電流場(chǎng)模擬難以測(cè)量的靜電場(chǎng)。也就是說根據(jù)測(cè)量結(jié)果來描繪出與靜電場(chǎng)對(duì)應(yīng)的恒定電流場(chǎng)的電位分布，從而確定靜電場(chǎng)的電位分布。

現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)教材中大多以無限長同軸柱狀導(dǎo)體為例，講解長直導(dǎo)線周圍存在的靜電場(chǎng)與電流場(chǎng)[9-10，12-13]比較，其中的證明過程運(yùn)算復(fù)雜。本文結(jié)合實(shí)驗(yàn)設(shè)備結(jié)構(gòu)，將實(shí)驗(yàn)原理中的證明過程以平行板電容器內(nèi)部靜電場(chǎng)以及平行板間電流場(chǎng)為例，講解模擬法的實(shí)驗(yàn)思想、測(cè)量原理和應(yīng)用條件，證明過程簡單明了，與儀器結(jié)構(gòu)精密結(jié)合，更加有利于學(xué)生加深對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)概念的理解。

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

現(xiàn)本科物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，電流場(chǎng)模擬靜電項(xiàng)目常用儀器設(shè)備結(jié)構(gòu)如圖1所示，內(nèi)部主要作用結(jié)構(gòu)由均勻的微晶導(dǎo)電玻璃組成[11-14]。

3 實(shí)驗(yàn)原理及證明

用恒定電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)原理? 靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒電流場(chǎng)（圖2）可以用兩組一一相互對(duì)應(yīng)的物理量來描述，并且這兩組物理量遵循相同的數(shù)學(xué)規(guī)律[10]。

電極通常由導(dǎo)電性能良好的導(dǎo)體制成，點(diǎn)電位在同一電極上時(shí)相等，因而穩(wěn)恒電流場(chǎng)和靜電場(chǎng)滿足相同的邊界條件。當(dāng)導(dǎo)體M、N間的電位差與電極M、N間的電位差相等時(shí)，運(yùn)用電磁場(chǎng)的理論可以證明：具有相同邊界條件的相同方程，其解也相同（兩個(gè)電位的解可能相差一個(gè)常數(shù)）[10，15]。

因此，可以用穩(wěn)恒電流場(chǎng)來模擬靜電場(chǎng)，通過測(cè)量穩(wěn)恒電流場(chǎng)的電位來求得所模擬的靜電場(chǎng)中電位的分布。

原證明方法? 描述電場(chǎng)可以用矢量電場(chǎng)強(qiáng)度，也可以用標(biāo)量電勢(shì)U。與矢量相比較，標(biāo)量的測(cè)量更為簡便，因此，通常用標(biāo)量電勢(shì)U來描述電場(chǎng)。

常見實(shí)驗(yàn)原理的證明中一般以無限長同軸柱狀均勻帶電導(dǎo)體的靜電場(chǎng)和無限長同軸柱狀通電恒流導(dǎo)體電流場(chǎng)為例[9]，分析實(shí)驗(yàn)探測(cè)的結(jié)果。

1）無限長同軸柱狀均勻帶電導(dǎo)體靜電場(chǎng)。若真空靜電場(chǎng)中圓柱導(dǎo)體N的半徑為rn，電勢(shì)為UL0;柱面導(dǎo)體M的內(nèi)徑為rm，且M接地（即UM=0）。導(dǎo)體單位長度帶電±τ，如圖3所示。根據(jù)高斯定理，在導(dǎo)體N、M之間與中心軸距離為x的任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：

通過積分運(yùn)算得到電勢(shì)為：

2）無限長同軸柱狀通電恒流導(dǎo)體電流場(chǎng)（圖4）。將N、M間充以電阻率為ρ、厚度為dI均勻?qū)щ娰|(zhì)，不改變其幾何條件及N、M的電位，則在N、M之間將形成穩(wěn)恒電流場(chǎng)。設(shè)場(chǎng)中距中心線x點(diǎn)處的電勢(shì)為UIx，在x處寬度為dx的導(dǎo)電質(zhì)環(huán)的電阻為：

由以上推論得出，由于穩(wěn)恒電流的電場(chǎng)和靜電場(chǎng)具有這種等效性，因此可以由穩(wěn)恒電流的電場(chǎng)表示相應(yīng)的靜電場(chǎng)的分布。

改進(jìn)后的證明方法? 以上實(shí)驗(yàn)原理中包含有積分運(yùn)算公式，對(duì)于學(xué)生來說較難理解，并且實(shí)驗(yàn)原理的講解與實(shí)驗(yàn)設(shè)備脫節(jié)，不利于學(xué)生從實(shí)驗(yàn)原理的理解到實(shí)踐環(huán)節(jié)的過渡，過于抽象，實(shí)驗(yàn)原理與實(shí)際操作脫節(jié)。為了與現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)設(shè)備的結(jié)構(gòu)相結(jié)合，方便學(xué)生將原理與實(shí)踐結(jié)合，本文預(yù)結(jié)合平行板電容器為例講解內(nèi)部電場(chǎng)分布。

1）平行板電容器的靜電場(chǎng)。

設(shè)真空靜電場(chǎng)中平行板電容器兩板A、B間距為dL′，上極板A電勢(shì)為UL0′;下極板B接地（即ULB=0），如圖5所示。電容器內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：

2）平行板導(dǎo)體間電流場(chǎng)。將兩板間充以電阻率為ρ、厚度為dI′的導(dǎo)電微晶，不改變平行板的幾何條件及A、B的電勢(shì)（UIAB=UI0′），則在A、B之間將形成穩(wěn)恒電流場(chǎng)，如圖6所示。

比較（7）式和（9）式可知，穩(wěn)恒電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布是相同的。改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)原理更容易理解，實(shí)驗(yàn)原理與實(shí)驗(yàn)設(shè)備實(shí)際情況一致，容易理解和掌握。

4 結(jié)語

與以無限長同軸柱狀導(dǎo)體為例的電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)原理相比較，應(yīng)用平行板電容以及平行板間電流場(chǎng)講解實(shí)驗(yàn)原理容易理解，證明過程簡單，與儀器結(jié)構(gòu)結(jié)合緊密，主要存在以下幾方面的優(yōu)勢(shì)。

1）應(yīng)用平行板電容以及平行板間電流場(chǎng)講解的實(shí)驗(yàn)原理中避免了積分運(yùn)算，減少了較復(fù)雜的推理過程，證明過程簡潔明了。

2）在理論學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)平行板電容器中靜電場(chǎng)的影響較深，容易接受和理解;而對(duì)于無限長同軸柱狀導(dǎo)體周圍靜電場(chǎng)和電流場(chǎng)分布在理論學(xué)習(xí)過程中由于較為抽象以及積分運(yùn)算的出現(xiàn)，理解過程本來存在困難，在實(shí)驗(yàn)原理中講解不易掌握。

3）與儀器結(jié)構(gòu)精密結(jié)合，有助于學(xué)生理解實(shí)驗(yàn)儀器的制造原理。將抽象的實(shí)驗(yàn)原理形象地展示在實(shí)驗(yàn)儀器中，更好地達(dá)到了實(shí)驗(yàn)的真正目的：原理應(yīng)用于實(shí)踐。

針對(duì)現(xiàn)有本科物理實(shí)驗(yàn)教材中電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)項(xiàng)目原理證明過程難理解，運(yùn)算復(fù)雜等問題，本文結(jié)合實(shí)驗(yàn)設(shè)備結(jié)構(gòu)，將實(shí)驗(yàn)原理中的證明過程以平行板電容器內(nèi)部靜電場(chǎng)以及平行板間電流場(chǎng)為例，講解模擬法的實(shí)驗(yàn)思想、測(cè)量原理和應(yīng)用條件，證明過程簡單明了，與儀器結(jié)構(gòu)精密結(jié)合，更加有利于學(xué)生加深對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)概念的理解，教學(xué)效果很好。

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